2023-2024学年宁夏银川三中治平分校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年宁夏银川三中治平分校九年级（上）期中数学试卷（含解析），共1页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答题.等内容，欢迎下载使用。

1．下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．3，6，7，9B．2，5，6，8C．3，6，9，18D．1，2，3，4
2．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．﹣1B．0C．1和2D．﹣1和2
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝4，BD＝2，则AE：AC的值为（ ）
A．0.5B．2C．D．
4．一个盒子内装有大小相同的4个球，其中红球1个，绿球1个，白球2个，小明摸出1个球不放回，再摸1个球，则两次都摸出白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．某口罩厂10月份的口罩产量为25万只，由于市场需求量增大，到12月份第四季度的总产量达到91万只，设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．91（1+x）2＝25
B．91（1﹣x）2＝25
C．25（1+x）2＝91
D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝91
6．如图，E、F分别是正方形ABCD边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣3＝3x+4有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．k≥﹣且k≠0
C．D．k＞﹣且k≠0
8．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1B．P2C．P3D．P4
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ．
10．在一个不透明的口袋中有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在15%左右，则口袋中的白球大约有 个．
11．根据下列表格的对应值，由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足 ．
12．若菱形的边长为1cm，其中一个内角为60°，则它的面积是 ．
13．小英和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成紫色）每个转盘均被分成面积相等的几个扇形，将两个转盘各转动一次，若配成紫色，则小英获胜，否则小丽获胜，则小英获胜的概率是 ，小丽获胜的概率是 ，可知这个戏规则 .（填“公平”或“不公平”）
14．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则的值是 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是 ．
三、解答题（每小题6分，共36分）
17．选取最恰当的方法解方程：
（1）4x2+8x+1＝0；
（2）x（x+2）＝3x+6．
18．求值：
（1）已知a：b：c＝3：1：4，求；
（2）已知，且b﹣d+2f≠0，求的值．
19．在△ABC和△AED中，AB•AD＝AC•AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC∽△AED．
20．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
21．学生社团是指学生在自愿基础上结成的各种群众性文化、艺术、学术团体．不分年级、由兴趣爱好相近的同学组成，在保证学生完成学习任务和不影响学校正常教学秩序的前提下开展各种活动．某校就学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）请根据图中信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中m＝ ，并补全条形统计图；
（2）已知该校有1200名学生，请估计“文学社团”共有多少人？
（3）在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁四名同学表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22．如图，已知菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形OCED的周长．
四、解答题（第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，共36分）.
23．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？
24．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积．
25．今年受“疫情”影响，某服装专卖店出现了库存积压状况，为尽快减少库存，该店决定降价促销，经调查发现，一款进价为70元的衬衫，当销售价为100元时，每天可售出20件，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）每件衬衫降价多少元时，平均每天盈利750元？
（2）要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由．
26．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列各组线段中，能成比例的是（ ）
A．3，6，7，9B．2，5，6，8C．3，6，9，18D．1，2，3，4
【分析】根据比例线段的定义对各选项进行判断．
解：A、3×9≠6×7，所以A选项错误；
B、2×8≠5×6，所以B选项错误；
C、3×18＝6×9，所以C选项正确；
D、1×4≠2×3，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2．一元二次方程x（x﹣2）＝2﹣x的根是（ ）
A．﹣1B．0C．1和2D．﹣1和2
【分析】利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
解：x（x﹣2）＝2﹣x，
x（x﹣2）﹣（2﹣x）＝0，
x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（x+1）＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
x1＝2，x2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝4，BD＝2，则AE：AC的值为（ ）
A．0.5B．2C．D．
【分析】直接利用平分线分线段成比例定理求解．
解：∵DE∥BC，
∴＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．一个盒子内装有大小相同的4个球，其中红球1个，绿球1个，白球2个，小明摸出1个球不放回，再摸1个球，则两次都摸出白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及两次都摸出白球的结果数，再利用概率公式可得出答案．
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次都摸出白球的结果有2种，
∴两次都摸出白球的概率为．
故选：C．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
5．某口罩厂10月份的口罩产量为25万只，由于市场需求量增大，到12月份第四季度的总产量达到91万只，设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，根据题意可列方程为（ ）
A．91（1+x）2＝25
B．91（1﹣x）2＝25
C．25（1+x）2＝91
D．25+25（1+x）+25（1+x）2＝91
【分析】设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，根据该厂10月份及第四季度的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，则11月份的口罩产量为25（1+x），12月份的口罩产量为25（1+x）2，
依题意，得：25+25（1+x）+25（1+x）2＝91．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．如图，E、F分别是正方形ABCD边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由正方形的性质得CD＝DA＝AB，∠D＝∠FAB＝90°，而CE＝DF，可推导出DE＝AF，即可证明△DAE≌△ABF，得AE＝BF，∠DAE＝∠ABF，可判断①正确；因为∠AOB＝∠AFB+∠DAE＝∠AFB+∠ABF＝90°，所以AE⊥BF，可判断②正确；如果AO＝OE＝AE，那么AO＝BF，但题中没有这样的条件，可判断③错误；由S△DAE＝S△ABF，得S△AOB+S△AOF＝S四边形DEOF+S△AOF，则S△AOB＝S四边形DEOF，可判断④正确，于是得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD＝DA＝AB，∠D＝∠FAB＝90°，
∵CE＝DF，
∴CD﹣CE＝DA﹣DF，
∴DE＝AF，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴AE＝BF，∠DAE＝∠ABF，
故①正确；
∴∠AOB＝∠AFB+∠DAE＝∠AFB+∠ABF＝90°，
∴AE⊥BF，
故②正确；
∵AE＝BF，
∴如果AO＝OE＝AE，那么AO＝BF，
显然题中没有这样的条件，
∴AO与OE不一定相等，
故③错误；
∵△DAE≌△ABF，
∴S△DAE＝S△ABF，
∴S△AOB+S△AOF＝S四边形DEOF+S△AOF，
∴S△AOB＝S四边形DEOF，
故④正确，
故选：C．
【点评】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明△DAE≌△ABF是解题的关键．
7．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣3＝3x+4有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．k≥﹣且k≠0
C．D．k＞﹣且k≠0
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣3＝3x+4有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∵kx2﹣4x﹣3＝3x+4，
∴kx2﹣7x﹣7＝0
∴49+28k≥0，
解得：k≥﹣，
∵关于x的一元二次方程kx2﹣7x﹣7＝0中k≠0，
∴k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
8．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1B．P2C．P3D．P4
【分析】由于∠BAC＝∠PED＝90°，而＝，则当＝时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判断△ABC∽△EPD，然后利用DE＝4，所以EP＝6，则易得点P落在P3处．
解：∵∠BAC＝∠PED，
而＝，
∴＝时，△ABC∽△EPD，
∵DE＝4，
∴EP＝6，
∴点P落在P3处．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．已知关于x的方程（m﹣1）+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】根据一元二次方程定义可得：m2+1＝2且m﹣1≠0，再解即可．
解：由题意得：m2+1＝2且m﹣1≠0，
解得m≠﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
10．在一个不透明的口袋中有3个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在15%左右，则口袋中的白球大约有 17 个．
【分析】由摸到红球的频率稳定在15%附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出白球个数即可．
解：设白球个数为：x个，
∵摸到红色球的频率稳定在15%左右，
∴＝15%，
解得：x＝17，
故白球的个数为17个．
故答案为：17．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
11．根据下列表格的对应值，由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足 1.1＜x＜1.2 ．
【分析】利用表中数据得到x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，则可判断x2+12x﹣15＝0时，有一个根满足1.1＜x＜1.2．
解：∵x＝1.1时，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，
x＝1.2时，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2时，x2+12x﹣15＝0，
即方程x2+12x﹣15＝0必有一个解x满足1.1＜x＜1.2，
故答案为：1.1＜x＜1.2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．若菱形的边长为1cm，其中一个内角为60°，则它的面积是 ．
【分析】首先根据题意画出图形，由菱形的边长为1cm，其中一内角60°，即可求得此菱形的高，继而可求得它的面积．
解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝BC＝1cm，∠B＝60°，
∴AE＝AB•sin60°＝，
∴它的面积为：BC•AE＝．
故答案为：
【点评】此题考查了菱形的性质以及三角函数的定义．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
13．小英和小丽用如图所示的两个转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起配成紫色）每个转盘均被分成面积相等的几个扇形，将两个转盘各转动一次，若配成紫色，则小英获胜，否则小丽获胜，则小英获胜的概率是 ，小丽获胜的概率是 ，可知这个戏规则 不公平 .（填“公平”或“不公平”）
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出配成紫色的结果数，然后计算出小英获胜的概率和小丽获胜的概率，于是通过比较两概率大小可判断游戏规则是否公平．
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中配成紫色的结果数为3，
所以小英获胜的概率＝＝，小丽获胜的概率为，
因为＜，
所以这个游戏规则不公平．
故答案为：，，不公平．
【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
14．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，则的值是 ﹣ ．
【分析】利用根与系数的关系求解即可．
解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，
∴+＝＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 （5，4） ．
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴DO＝4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．
16．如图，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是 3． ．
【分析】连接BP，BE，则BP＝DP，PE+PD＝PE+PB≥BE，即PE+PD的最小值是BE长度．
解：连接BP，BE，则BP＝DP，
∴PE+PD＝PE+PB≥BE，
即PE+PD的最小值是BE长度，
∵AB＝9，DE＝2CE，
∴CE＝＝＝3，
∴BE＝＝＝3，
∴PE+PD的最小值是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查轴对称最短问题以及矩形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
三、解答题（每小题6分，共36分）
17．选取最恰当的方法解方程：
（1）4x2+8x+1＝0；
（2）x（x+2）＝3x+6．
【分析】（1）先利用配方法得到（x+1）2＝，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x+2＝0或x﹣3＝0，然后解两个一次方程即可．
解：（1）4x2+8x+1＝0，
x2+2x＝﹣，
x2+2x+1＝﹣+1，
（x+1）2＝，
x+1＝±，
所以x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）x（x+2）＝3x+6，
x（x+2）﹣3（x+2）＝0，
（x+2）（x﹣3）＝0，
x+2＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣2，x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．求值：
（1）已知a：b：c＝3：1：4，求；
（2）已知，且b﹣d+2f≠0，求的值．
【分析】（1）先由a：b：c＝3：1：4，可设a＝3k，b＝k，c＝4k，进而代入待求式中计算即可；
（2）先由，且b﹣d+2f≠0，得a＝﹣b，c＝﹣d，e＝﹣f，再代入所求的式子中计算即可．
解：（1）∵a：b：c＝3：1：4，
∴设a＝3k，b＝k，c＝4k（k≠0），
∴
＝
＝
＝﹣；
（2）∵，且b﹣d+2f≠0，
∴a＝﹣b，c＝﹣d，e＝﹣f，
∴
＝
＝﹣1．
【点评】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决此题的关键．
19．在△ABC和△AED中，AB•AD＝AC•AE，∠BAD＝∠CAE，求证：△ABC∽△AED．
【分析】由AB•AD＝AC•AE，得＝，由∠BAD＝∠CAE推导出∠BAC＝∠EAD，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED．
【解答】证明：∵AB•AD＝AC•AE，
∴＝，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠EAD＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且推导出＝，∠BAC＝∠EAD是解题的关键．
20．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2＝0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；
（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．
【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2＝0有两个不相等的实数根，即判别式Δ＝b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．
（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．
解：（1）∵b2﹣4ac＝（2）2﹣4×1×（a﹣2）＝12﹣4a＞0，
解得：a＜3．
∴a的取值范围是a＜3；
（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：
，
解得：，
则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
21．学生社团是指学生在自愿基础上结成的各种群众性文化、艺术、学术团体．不分年级、由兴趣爱好相近的同学组成，在保证学生完成学习任务和不影响学校正常教学秩序的前提下开展各种活动．某校就学生对“篮球社团、动漫社团、文学社团和摄影社团”四个社团选择意向进行了抽样调查（每人选报一类），绘制了如图所示的两幅统计图（不完整）请根据图中信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中m＝ 20 ，并补全条形统计图；
（2）已知该校有1200名学生，请估计“文学社团”共有多少人？
（3）在“动漫社团”活动中，甲、乙、丙、丁四名同学表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加“中学生原创动漫大赛”，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）用C类别人数除以其占总人数的比例可得总人数，再求出A类别的人数，由A的人数可得其所占百分比，由A得人数即可补全条形图；
（2）用1200乘以文学社团所占得比例即可；
（3）首先根据题意列出表格，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
解：（1）本次调查的总人数为15÷25%＝60（人），
∴A类别人数为：60﹣（24+15+9）＝12，
则，
∴m＝20．
补全图形如下：
，
故答案为：20；
（2）估计“文学社团”共有1200×25%＝300（人）；
（3）列表得：
∵共有12种等可能的结果，恰好选中甲、乙两位同学的有2种情况，
∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【点评】本题考查的是条形统计图与扇形统计图、用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，掌握概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
22．如图，已知菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AB＝5，AC＝6，求四边形OCED的周长．
【分析】（1）由CE∥BD，DE∥AC，证明四边形OCED是平行四边形，由菱形的性质得AC⊥BD，则∠COD＝90°，所以四边形OCED是矩形；
（2）由AC＝6，得OC＝OA＝AC＝3，而CD＝AB＝5，由勾股定理得OD＝＝4，所以DE＝OC＝3，CE＝OD＝4，即可求得四边形OCED的周长是14．
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，
∴∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵CD＝AB＝5，AC＝6，
∴OC＝OA＝AC＝×6＝3，
∴OD＝＝＝4，
∴DE＝OC＝3，CE＝OD＝4，
∴OC+DE+OD+CE＝3+3+4+4＝14，
∴四边形OCED的周长是14．
【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、矩形的周长等知识，证明∠COD＝90°并且正确地求出OD的长是解题的关键．
四、解答题（第23、24题每题8分，第25、26题每题10分，共36分）.
23．如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为多少米？
【分析】设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，根据矩形绿地的面积为480m2，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，经检验后得出x＝20不符合题意，此题得解．
解：设人行通道的宽度为x米，将两块矩形绿地合在一起长为（30﹣3x）m，宽为（24﹣2x）m，
由已知得：（30﹣3x）•（24﹣2x）＝480，
整理得：x2﹣22x+40＝0，
解得：x1＝2，x2＝20，
当x＝20时，30﹣3x＝﹣30，24﹣2x＝﹣16，
不符合题意，
答：人行通道的宽度为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
24．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连接BM、DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝8，求菱形BMDN的面积．
【分析】（1）由矩形的性质得AD∥CB，则∠ODM＝∠OBN，由MN垂直平分BD得OD＝OB，而∠DOM＝∠BON，即可证明△ODM≌△OBN，得DM＝BN，因为DM＝BM，DN＝BN，所以DM＝BM＝DN＝BN，即可证明四边形BMDN是菱形；
（2）由勾股定理得AB2+AM2＝BM2，而AM＝8﹣DM，DM＝BM，所以42+（8﹣DM）2＝DM2，求得DM＝5，则S菱形BMDN＝DM•AB＝5×4＝20．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥CB，
∴∠ODM＝∠OBN，
∵MN垂直平分BD，
∴OD＝OB，
在△ODM和△OBN中，
，
∴△ODM≌△OBN（ASA），
∴DM＝BN，
∵DM＝BM，DN＝BN，
∴DM＝BM＝DN＝BN，
∴四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵∠D＝90°，AB＝4，AD＝8，
∴AB2+AM2＝BM2，AM＝8﹣DM，
∵DM＝BM，
∴42+（8﹣DM）2＝DM2，
解得DM＝5，
∵AB⊥DM，
∴S菱形BMDN＝DM•AB＝5×4＝20，
∴菱形BMDN的面积为20．
【点评】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△ODM≌△OBN是解题的关键．
25．今年受“疫情”影响，某服装专卖店出现了库存积压状况，为尽快减少库存，该店决定降价促销，经调查发现，一款进价为70元的衬衫，当销售价为100元时，每天可售出20件，如果每件衬衫降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）每件衬衫降价多少元时，平均每天盈利750元？
（2）要想平均每天盈利1000元，可能吗？请说明理由．
【分析】（1）设每件衬衫降价x元，则每件的销售利润为（100﹣x﹣70）元，平均每天可售出（20+2x）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽快减少库存，即可得出结论；
（2）不能平均每天盈利1000元，假设能平均每天盈利1000元，设每件衬衫降价y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣70）元，平均每天可售出（20+2y）件，利用总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，根据Δ＝﹣400＜0，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即不能平均每天盈利1000元．
解：（1）设每件衬衫降价x元，则每件的销售利润为（100﹣x﹣70）元，平均每天可售出（20+2x）件，
根据题意得：（100﹣x﹣70）（20+2x）＝750，
整理得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15，
又∵要尽快减少库存，
∴x＝15．
答：每件衬衫降价15元时，平均每天盈利750元；
（2）不能平均每天盈利1000元，理由如下：
假设能平均每天盈利1000元，设每件衬衫降价y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣70）元，平均每天可售出（20+2y）件，
根据题意得：（100﹣y﹣70）（20+2y）＝1000，
整理得：y2﹣20y+200＝0，
∵Δ＝（﹣20）2﹣4×1×200＝﹣400＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，
即不能平均每天盈利1000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0，方程没有实数根”．
26．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值．
【分析】（1）分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．
解：根据勾股定理得：BA＝；
（1）分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，，
∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8，
∴，解得，t＝1，
②当△BPQ∽△BCA时，，
∴，解得，t＝；
∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA；
（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图所示：
则PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，
∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，
∴∠NAC＝∠PCM，
∵∠ACQ＝∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴，
∴，解得t＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．x
﹣1
1
1.1
1.2
x2+12x﹣15＝0
﹣26
﹣2
﹣0.59
0.84
x
﹣1
1
1.1
1.2
x2+12x﹣15＝0
﹣26
﹣2
﹣0.59
0.84
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）