江西省南昌市南昌外国语集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份江西省南昌市南昌外国语集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共6页。试卷主要包含了二次函数的图象的顶点坐标是，如图为的直径，，则等内容，欢迎下载使用。

2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1.如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.方程的根是（ ）
A.B.C.，D.，
3.二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A.B.C.D.
4.如图为的直径，，则（ ）
A.55°B.50°C.45°D.40°
5.如图，是内接四边形的一个外角，若，那么的度数为（ ）
A.160°B.162°C.164°D.170°
6.如图是二次函数图象的一部分，是对称轴，且经过点.有下列判断：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则.其中正确的是（ ）
A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.关于的一元二次方程的一个根为，则的值为______.
8.一元二次方程的两个根为，则______.
9.抛物线的对称轴是直线，则______.
10.石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形.如图，已知某公园石拱桥的跨度米，拱高米，那么桥拱所在圆的半径______米.
11.如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，且，则______.
12.若关于的函数的图象与坐标轴有两个交点，则的值为______.
三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.解下列方程：（1）；
（2）.
14.已知关于的方程.
（1）若该方程的一个根是，求该方程的另一个根；
（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
15.已知二次函数（）中，函数与自变量的部分对应值如表：
（1）求二次函数的表达式，并写出这个二次函数图象的顶点坐标；
（2）求出该函数图象与轴的交点坐标.
16.如图，经过，，三个格点，请仅用无刻度的直尺作图.
（1）画出圆心；
（2）画弦，使平分.
17.如图，是的直径，是的弦，半径于点.
（1）求证；
（2）若，，求.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.如图，点是等边内一点，，，将绕点按顺时针旋转60°，得，连接.
（1）当时，试判断的形状，并说明理由；
（2）直接写出为多少度时，是等腰三角形.
19.如图，四边形是的内接四边形，点是延长线上的一点，且平分，于点.
（1）求证；
（2）若，，求的长.
20.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元.为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元；
（2）该商场平均每天盈利最多多少元？达到最大值时应降价多少元.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽与桥长均为，在距离点6米的处，测得桥面到桥拱的距离为，以桥拱顶点为原点，桥面为轴建立平面直角坐标系.
图1 图2
（1）求桥拱顶部离水面的距离；
（2）如图2，桥面上方有3根高度均为的支柱，，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值.
22.材料背景：如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程式“邻根方程”.例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”.
知识应用：（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”：
①；②.
拓展延伸：（2）已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求的值.
综合探究：（3）若关于的一元二次方程（，是常数，且）是“邻根方程”，令，求当为何值时，的最大值是多少.
六、解答题（本大题共12分）
23.如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点.
图1 图2
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标.当为何值时，的面积最大？并求出这个面积的最大值；
（3）如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线（），平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为直线上的一点，点是平面坐标系内一点，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
2023—2024学年第一学期期中质量检测初三年级
数学学科试卷参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. B
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 8.3 9.2 10.10 11.30° 12.2或或3
三、简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.解：（1），
，或.
（2），
或；
14.解：（1）将代入方程，得，，
设另外一个根为，由根与系数的关系可知：，，
（2）由题意可知：，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根
15.解：（1）由题意，得.
将点，代入，得解得
.顶点坐标为.
（2）当时，，解得：或，
函数图象与轴的交点坐标为，.
16.解：（1）如图，点为所求，
（2）线段即为所求.
17.（1）证明：是直径，
，
，，
，；
（2）解：设，
，，，
在中，，，
，
或（舍去），
.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.解：（1）当时，是直角三角形.
理由如下：
绕点按顺时针方向旋转60°得，
，
绕点按顺时针方向旋转60°得，
，
，是等边三角形.
，
当时，是直角三角形.
（2），
.
是等边三角形，，
，，
①当时，，解得：
②当时，，解得：，
③当时，，解得：
，，..
19.（1）证明：平分，，
，，
，
，，；
（2）解：过点作，垂足为点.
平分，，，
，，
在和中，，
，，
在和中，
，
，
，.
20.解：（1）设每件衬衫应降价元，则每件盈利元，每天可以售出件，
由题意，得，即：，
解，得，，
为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以的值应为20，
所以，若商场平均每天要盈利1200元，每件袝衫应降价20元；
（2）设商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价元，
由题意，得，
当元时，该函数取得最大值为1250元，
所以，商场平均每天盈利最多1250元，达到最大值时应降价15元.
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.解：（1）根据题意可知点的坐标为，
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：.
将代入有：，求得，
，
当时，，
桥拱顶部离水面高度为.
（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为，
可设其表达式为，
将代入其表达式有：，求得，
右边钢缆所在抛物线表达式为：，
同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：
②设彩带的长度为，
则，
当时，，
答：彩带长度的最小值是.
22.解：（1）①，，
或，解得，，
方程不是“邻根方程”；
（2），，
或，解得，，
方程是“邻根方程”；
②设方程的较小的一根为，则另一根为，
，，
，，解得或；
（3）设方程的较小的一根为，则另一根为，
，
，，，
，且，，
，，
当时，有最大值为66.
六、解答题（本大题共12分）
23.解：（1）将点和点代入，
得，解得，；
（2）令，则，，
设直线的解析式为，
则有，解得，
过点作轴交于，
由已知可得，则，
，
当时，有最大值，此时；
（3），
将抛物线向左平移2个单位长度，则，
联立，，
，，
点在直线上，设，
1°当四边形为菱形时，如图1，
，，或（舍），；
2°当四边形为菱形时，如图2，
，，或，
或；
3°当四边形为菱形时，如图3，
设的中点为，则，
，，
，，；
综上所述：点的坐标为或或或.
图1 图2 图3…
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2
…
…
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