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江苏省南通市区2023-2024学年八年级上学期 期中统考数学试题
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这是一份江苏省南通市区2023-2024学年八年级上学期 期中统考数学试题，共20页。
1．（3分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在下列运算中，正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（ab2）3＝a3b6
C．（a3）4＝a7D．a6÷a3＝a2
【分析】直接利用积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项错误；
B、（ab2）3＝a3b6，故此选项正确；
C、（a3）4＝a12，故此选项错误；
D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）关于x轴的对称点是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出答案．
【解答】解：点A（2，1）关于x轴对称点的坐标是（2，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题的关键．
4．（3分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）
A．12B．7C．2D．14
【分析】由全等三角形的性质得到AC＝DC＝7，CB＝CE＝5，再根据BD＝DC+CB即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，CB＝CE，
∵CE＝5，AC＝7，
∴CB＝5，DC＝7，
∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．
故选：A．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：不能使△ABC≌△AED的条件（ ）
A．BC＝EDB．AB＝AEC．∠C＝∠DD．∠B＝∠E
【分析】由∠1＝∠2结合等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠CAB＝∠DAE，
A、加上条件BC＝ED不能证明△ACB≌△ADE；
B、加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ACB≌△ADE；
C、加上条件∠C＝∠D可利用ASA证明△ACB≌△ADE；
D、加上条件∠B＝∠E可利用AAS证明△ACB≌△ADE；
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（3分）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，则a2+b2的值为（ ）
A．11B．3C．D．
【分析】直接利用完全平方公式化简求出答案．
【解答】解：∵（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，
∴a2+2ab+b2＝7，a2﹣2ab+b2＝4，
∴2（a2+b2）＝11，
∴a2+b2＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（ ）
A．10B．16C．8D．5
【分析】先根据角平分线的性质定理证得AD＝DE，根据△ABC与△CDE的周长分别为13和3证得AB＝BE＝5．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB＝BE，
∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3，
∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3，
∴AB+BE＝10，
∴AB＝BE＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握并熟练运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝20，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝12，则AD＝（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据垂直定义可得∠BEC＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCE＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BE＝10，从而可得DE＝2，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵BC＝20，
∴BE＝BC＝10，
∵BD＝12，
∴DE＝BD﹣BE＝12﹣10＝2，
∵CA＝CD，
∴AD＝2DE＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．（3分）某中学开展以“筑梦冰雪，相约冬奥”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形ABCD的相邻两边之差为8，且四个正方形的面积和为160，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】先根据题意得出关于AB和BC的两个等式，再运用整体思想进行变形即可．
【解答】解：由题知，
AB﹣BC＝8，2AB2+2BC2＝160．
则AB2+BC2＝80．
又（AB﹣BC）2＝82，即AB2+BC2﹣2AB•BC＝64．
所以2AB•BC＝16，
则AB•BC＝8．
即长方形ABCD的面积为8．
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，将AB﹣BC＝4两边都平方再结合AB2+BC2＝40是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③OE=OF； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④C．①③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④D．①② = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
【分析】由角平分线的定义、三角形的内角和定理得∠AOB与∠C的关系，判定①正确；在AB上取一点H，使BH＝BE，证△HBO≌△EBO，得∠BOH＝∠BOE＝60°，再证△HAO≌△FAO，得AF＝AH，判定②正确；过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，由三角形的面积证得 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④正确；即可得出结论．
【解答】解：①∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，故①正确；
②∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，连接OH，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
③缺少∠C＝60°这个条件，无法证明△HAO≌△FAO，故③错误；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×ON+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，故 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质以及角平分线的性质与判定等知识，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分30分）
11．（3分）若（x+1）0＝1，则x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）得出x+1≠0，从而得出答案．
【解答】解：根据零指数幂：a0＝1（a≠0）得：x+1≠0，
∴x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．
12．（3分）化简：3a2﹣a（2a﹣1）＝ a2+a ．
【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可．
【解答】解：3a2﹣a（2a﹣1）＝3a2﹣2a2+a＝a2+a．
故答案为：a2+a．
【点评】本题考查了多项式乘以单项式法则，能正确根据法则进行计算是解此题的关键．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 14° ．
【分析】△ABC中已知两个角的度数，求出∠B的度数，由折叠可知△ACD≌△ECD，知道∠CED的度数，再利用三角形外角与内角关系求出∠EDB即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°，
由题意可知△ECD≌△ACD，
∴∠CED＝∠A＝52°，
由图可知∠CED是△EBD 的外角，
∴∠CED＝∠B+∠EDB，
∴52°＝38°+∠EDB，
∴∠EDB＝14°．
故答案为：14°．
【点评】主要考查三角形内角和、三角形外角与内角的关系，关键要掌握三角形外角等于和它不相邻的两个内角和．
14．（4分）如图，△ABC中，∠B＝46°，∠C＝25°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝ 38° ．
【分析】由条件可求得∠EAB＝∠EBA，∠GAC＝∠GCA，且可求得∠BAC＝109°，则可求得∠EAB+∠GAC＝71°，再利用角的和差可求得∠EAG．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA＝46°，
同理∠GAC＝∠GCA＝25°，
∴∠GAC+∠EAB＝25°+46°＝71°，
∵∠B＝46°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣46°﹣25°＝109°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠GAC+∠EAB）＝109°﹣71°＝38°
故答案为：38°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，BC＝9，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 9 ．
【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为8cm．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
16．（4分）若x，y为正整数，且x﹣2y﹣1＝0，则2x÷4y×8等于 16 ．
【分析】根据幂的乘方，可化成同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．
【解答】解：∵x﹣2y﹣1＝0，
∴x﹣2y＝1，
∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8＝2x﹣2y×8＝2×8＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了幂的乘方的逆用，先化成要求的形式，再进行同底数幂的除法运算，正确的计算是解决本题的关键．
17．（4分）请同学们应用公式解决问题：已知a、b、c满足a2+b2+c2＝6，则的最小值为 ．
【解答】解：
∵且a2+b2+c2＝6，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为6.
故答案为：6．
【点评】此题考查了因式分解的应用，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（4分）如图，△ABC与△A1BC1是全等的两个等边三角形，且A、B、A1三点在一条直线上，D为线段BC1上一动点，若AD+CD的最小值为5，则等边三角形ABC的边长是 2.5 ．
【分析】连接CA1交BC1于点E，C，A1关于直线BC1对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝5．
【解答】解：连接CA1交BC1于点E，
∵直线l⊥AB，且△ABC与△A1BC1关于直线l对称，
∴A，B，A1共线，
∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，
∴∠CBC1＝60°，
∴∠C1BA1＝∠C1BC，
∵BA1＝BC，
∴BD⊥CA1，CD＝DA1，
∴C，A1关于直线BC1对称，
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝5，
∴等边三角形ABC的边长是2.5.
故答案为：2.5．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共8题，满分90分）
19．（8分）计算：
（1）4a4b3÷（﹣2ab）2；
（2）（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y）．
【分析】（1）先算乘方，再算单项式除以单项式即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）4a4b3÷（﹣2ab）2
＝4a4b3÷4a2b2
＝a2b；
（2）（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y）
＝9x2﹣6xy+y2﹣9x2+4y2
＝5y2﹣6xy．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（10分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x﹣2）2﹣3x2，其中x＝﹣．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2﹣1﹣x2+4x﹣4﹣3x2＝4x﹣5，
当x＝﹣时，原式＝﹣1﹣5＝﹣6．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1,B1,C1的坐标；
（2）求△ABC的面积;
（3）在x轴上找一点P，使得△PAC的周长最小（保留作图痕迹）.
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，进而写出顶点C1的坐标；
（2）根据割补法即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；顶点C1的坐标为（4，﹣4）；
△ABC的面积＝4×4﹣1×2﹣2×4﹣3×4＝16﹣1﹣4﹣6＝5．
如图，找出C点关于x轴的对称点C’，连接AC’与x轴的交点即为所求的P点.
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
【分析】（1）由“AAS”即可证△ABD≌△EDC；
（2）结合（1）可得AB＝DE，BD＝CD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
23．（8分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E在AC上，点F在BC上，且∠EDF＝90°．
求证：EC=BF．
【分析】根据等腰直角三角形的性质证明△ADE≌△CFD（SAS），根据全等三角形的性质可得结论.
【解答】证明：∵BC＝AC，∠BCA＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵CD⊥AB,
∴D为AB中点，
∴AD＝CD＝AB，CD平分∠BCA，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，∠A＝∠FCD，AD=CD，
∵∠EDF＝90°,
∴∠ADE＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（ASA），
∴AE＝CF,
∵BC＝AC，
∴EC=BF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ADE≌△CFD是解题的关键．
24．（13分）已知Rt△ABC满足BC＝AC，∠ACB＝90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（a，0），点B的坐标是（0，b），且满足+（b﹣3）2＝0，请直接写出a、b的值以及点A的坐标．
（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，在滑动的过程中，当B的坐标为（0，4），点C的坐标为（5，0）时，求A的坐标；
（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，若BD=2AE，试说明y轴恰好平分∠ABC.
图① 图② 图③
【解答】解：（1）如图①中，
∵+（b﹣3）2＝0，
又∵≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴C（﹣1，0），B（0，3），
∴OC＝1，OB＝3，
∵AD⊥OD，
∴∠ADC＝∠ACB＝∠BOC＝90°，
∴∠ACD+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ACD＝∠CBO，
在△ACD和△CBO中，
，
∴△ACD≌△CBO（AAS），
∴AD＝OC＝1，CD＝OB＝3，
∴OD＝4，
∴A（﹣4，1）；
如图，过A点作AG⊥x轴于点G.
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠ACG=90°，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠OBC=∠ACG，
在BOC和CGA中，
,
∴△BOC≌△CGA（ASA），
∴OB=CG,OC=AG,
∵B（0，4），C（5，0），
∴OB=CG=4，OC=AG=5，
∴OG=1，
∴A（1，-5）.
（3）如图，延长AE、BC交于点F，
∵AE⊥x轴，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠EAD+∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BDC+∠CBD＝90°，
∴∠DAE＝∠CBD，
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（ASA），
∴BD＝AF，
∵BD＝2AE，
∴AF＝2AE，
∴AE=EF,
在△ABE和△FBE中,
,
∴△ABE≌△FBE（SAS）,
∴∠ABE=∠FBE，
∴y轴恰好平分∠ABC.
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解本题的关键是判断出△ACD≌△CBO．
25．（13分）（1）如图①是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示．请直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
（2）若m+n＝6，mn＝4，求m﹣n的值；
（3）如图③，正方形ABCD的边长为x，AE＝2，CG＝6，长方形EFGD的面积是21，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图③中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）由图形知，大正方形的面积为（a+b）2，中间小正方形的面积为（b﹣a）2，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
将m+n＝6，mn＝4代入得：（m﹣n）2=36﹣16＝20，
∴m﹣n＝；
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝2，CG＝6，，
∴DE＝x﹣2，DG＝x﹣6，
∵S长方形EFGD=21
∴（x﹣2）（x﹣6）＝21，
设a＝x﹣2，b＝x﹣6，ab＝21，
∴a﹣b＝4，
∵四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形,
∴四边形MFNP是正方形，且边长为a+b，
∵S阴影＝S正方形MFNP-S长方形EFGD=（a+b）2-21＝（a﹣b）2+4ab-21
＝42+4×21-21
＝79，
∴图中阴影部分的面积为79．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用．
26．（16分）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
图2
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，得到BE=AD，在△ABE中求得2AD的取值范围，从而求得AD的取值范围是 1＜AD＜5 ．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE+∠CAF＝180°，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD＝CE．求证：AB+AC＞AD+AE.
【解答】解：（1）在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）EF＝2AD，
理由：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE+∠CAF＝180°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
（3）设BC的中点为M，连接AM并延长至N，使AM＝MN，连接BN、DN，
∵M是BC的中点，
在△AMC和△NMB中，
，
∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴BN＝AC，
同理△AME≌△NBD，
∴AE＝DN，
延长AD交BN于F，
则AB+BF＞AD+DF，且FN+DF＞DN，
∴AB+BF+FN+DF＞AD+DF+DN，
∴AB+BN＞AD+DN，
即AB+AC＞AD+AE．
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1．（3分）在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）在下列运算中，正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12B．（ab2）3＝a3b6
C．（a3）4＝a7D．a6÷a3＝a2
【分析】直接利用积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项错误；
B、（ab2）3＝a3b6，故此选项正确；
C、（a3）4＝a12，故此选项错误；
D、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，1）关于x轴的对称点是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（1，2）
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出答案．
【解答】解：点A（2，1）关于x轴对称点的坐标是（2，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题的关键．
4．（3分）如图，△ABC≌△DEC，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD长（ ）
A．12B．7C．2D．14
【分析】由全等三角形的性质得到AC＝DC＝7，CB＝CE＝5，再根据BD＝DC+CB即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴AC＝DC，CB＝CE，
∵CE＝5，AC＝7，
∴CB＝5，DC＝7，
∴BD＝DC+CB＝7+5＝12．
故选：A．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．
5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：不能使△ABC≌△AED的条件（ ）
A．BC＝EDB．AB＝AEC．∠C＝∠DD．∠B＝∠E
【分析】由∠1＝∠2结合等式的性质可得∠CAB＝∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB，
即∠CAB＝∠DAE，
A、加上条件BC＝ED不能证明△ACB≌△ADE；
B、加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ACB≌△ADE；
C、加上条件∠C＝∠D可利用ASA证明△ACB≌△ADE；
D、加上条件∠B＝∠E可利用AAS证明△ACB≌△ADE；
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6．（3分）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，则a2+b2的值为（ ）
A．11B．3C．D．
【分析】直接利用完全平方公式化简求出答案．
【解答】解：∵（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝4，
∴a2+2ab+b2＝7，a2﹣2ab+b2＝4，
∴2（a2+b2）＝11，
∴a2+b2＝．
故选：D．
【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确应用完全平方公式是解题关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的角平分线交AC于点D，DE⊥BC于点E，若△ABC与△CDE的周长分别为13和3，则AB的长为（ ）
A．10B．16C．8D．5
【分析】先根据角平分线的性质定理证得AD＝DE，根据△ABC与△CDE的周长分别为13和3证得AB＝BE＝5．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，
∴AD＝DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴AB＝BE，
∵△ABC与△CDE的周长分别为13和3，
∴AB+BC+AC＝AB+AC+BE+EC＝13，DE+EC+DC＝AD+EC+DC＝AC+EC＝3，
∴AB+BE＝10，
∴AB＝BE＝5．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握并熟练运用角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，BC＝20，点D在BA的延长线上，CA＝CD，BD＝12，则AD＝（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据垂直定义可得∠BEC＝90°，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BCE＝30°，然后利用含30度角的直角三角形的性质可得BE＝10，从而可得DE＝2，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答．
【解答】解：过点C作CE⊥AD，垂足为E，
∴∠BEC＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵BC＝20，
∴BE＝BC＝10，
∵BD＝12，
∴DE＝BD﹣BE＝12﹣10＝2，
∵CA＝CD，
∴AD＝2DE＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．（3分）某中学开展以“筑梦冰雪，相约冬奥”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对冬奥会的祝福．小冬以长方形ABCD的四条边为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示．若长方形ABCD的相邻两边之差为8，且四个正方形的面积和为160，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【分析】先根据题意得出关于AB和BC的两个等式，再运用整体思想进行变形即可．
【解答】解：由题知，
AB﹣BC＝8，2AB2+2BC2＝160．
则AB2+BC2＝80．
又（AB﹣BC）2＝82，即AB2+BC2﹣2AB•BC＝64．
所以2AB•BC＝16，
则AB•BC＝8．
即长方形ABCD的面积为8．
故选：B．
【点评】本题考查完全平方公式的应用，将AB﹣BC＝4两边都平方再结合AB2+BC2＝40是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③OE=OF； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④C．①③ = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④D．①② = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④
【分析】由角平分线的定义、三角形的内角和定理得∠AOB与∠C的关系，判定①正确；在AB上取一点H，使BH＝BE，证△HBO≌△EBO，得∠BOH＝∠BOE＝60°，再证△HAO≌△FAO，得AF＝AH，判定②正确；过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，由三角形的面积证得 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④正确；即可得出结论．
【解答】解：①∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴∠OBA＝∠CBA，∠OAB＝∠CAB，
∴∠AOB＝180°﹣∠OBA﹣∠OAB＝180°﹣∠CBA﹣∠CAB＝180°﹣（180°﹣∠C）＝90°+∠C，故①正确；
②∵∠C＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝120°，
∵AE，BF分别是∠BAC与∠ABC的平分线，
∴∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC）＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∴∠AOF＝60°，
∴∠BOE＝60°，
如图，在AB上取一点H，使BH＝BE，连接OH，
∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠HBO＝∠EBO，
在△HBO和△EBO中，
，
∴△HBO≌△EBO（SAS），
∴∠BOH＝∠BOE＝60°，
∴∠AOH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠AOH＝∠AOF，
在△HAO和△FAO中，
，
∴△HAO≌△FAO（ASA），
∴AF＝AH，
∴AB＝BH+AH＝BE+AF，故②正确；
③缺少∠C＝60°这个条件，无法证明△HAO≌△FAO，故③错误；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④过O作ON⊥AC于点N，OM⊥AB于点M，
∵∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，
∴点O在∠C的平分线上，
∴ON＝OM＝OD＝a，
∵AB+AC+BC＝2b
∴S△ABC＝×AB×OM+×AC×ON+×BC×OD＝（AB+AC+BC）•a＝ab，故 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质以及角平分线的性质与判定等知识，正确作出辅助线证得△HBO≌△EBO是解题的关键．
二．填空题（共8小题，满分30分）
11．（3分）若（x+1）0＝1，则x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【分析】根据零指数幂：a0＝1（a≠0）得出x+1≠0，从而得出答案．
【解答】解：根据零指数幂：a0＝1（a≠0）得：x+1≠0，
∴x≠﹣1．
故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．
12．（3分）化简：3a2﹣a（2a﹣1）＝ a2+a ．
【分析】先根据单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可．
【解答】解：3a2﹣a（2a﹣1）＝3a2﹣2a2+a＝a2+a．
故答案为：a2+a．
【点评】本题考查了多项式乘以单项式法则，能正确根据法则进行计算是解此题的关键．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，将其折叠，使点A落在边BC上的点E处，CA与CE重合，折痕为CD，则∠EDB的度数是 14° ．
【分析】△ABC中已知两个角的度数，求出∠B的度数，由折叠可知△ACD≌△ECD，知道∠CED的度数，再利用三角形外角与内角关系求出∠EDB即可．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝52°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°，
由题意可知△ECD≌△ACD，
∴∠CED＝∠A＝52°，
由图可知∠CED是△EBD 的外角，
∴∠CED＝∠B+∠EDB，
∴52°＝38°+∠EDB，
∴∠EDB＝14°．
故答案为：14°．
【点评】主要考查三角形内角和、三角形外角与内角的关系，关键要掌握三角形外角等于和它不相邻的两个内角和．
14．（4分）如图，△ABC中，∠B＝46°，∠C＝25°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，连接AE，则∠EAG＝ 38° ．
【分析】由条件可求得∠EAB＝∠EBA，∠GAC＝∠GCA，且可求得∠BAC＝109°，则可求得∠EAB+∠GAC＝71°，再利用角的和差可求得∠EAG．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠EAB＝∠EBA＝46°，
同理∠GAC＝∠GCA＝25°，
∴∠GAC+∠EAB＝25°+46°＝71°，
∵∠B＝46°，∠C＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣46°﹣25°＝109°，
∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠GAC+∠EAB）＝109°﹣71°＝38°
故答案为：38°．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，BC＝9，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是 9 ．
【分析】分别利用角平分线的性质和平行线的判定，求得△DBP和△ECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得BD＝PD，CE＝PE，那么△PDE的周长就转化为BC边的长，即为8cm．
【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝9．
故答案为：9．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
16．（4分）若x，y为正整数，且x﹣2y﹣1＝0，则2x÷4y×8等于 16 ．
【分析】根据幂的乘方，可化成同底数幂的除法，根据同底数幂的除法，可得答案．
【解答】解：∵x﹣2y﹣1＝0，
∴x﹣2y＝1，
∴2x÷4y×8＝2x÷22y×8＝2x﹣2y×8＝2×8＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了幂的乘方的逆用，先化成要求的形式，再进行同底数幂的除法运算，正确的计算是解决本题的关键．
17．（4分）请同学们应用公式解决问题：已知a、b、c满足a2+b2+c2＝6，则的最小值为 ．
【解答】解：
∵且a2+b2+c2＝6，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为6.
故答案为：6．
【点评】此题考查了因式分解的应用，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．（4分）如图，△ABC与△A1BC1是全等的两个等边三角形，且A、B、A1三点在一条直线上，D为线段BC1上一动点，若AD+CD的最小值为5，则等边三角形ABC的边长是 2.5 ．
【分析】连接CA1交BC1于点E，C，A1关于直线BC1对称，推出当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝5．
【解答】解：连接CA1交BC1于点E，
∵直线l⊥AB，且△ABC与△A1BC1关于直线l对称，
∴A，B，A1共线，
∵∠ABC＝∠A1BC1＝60°，
∴∠CBC1＝60°，
∴∠C1BA1＝∠C1BC，
∵BA1＝BC，
∴BD⊥CA1，CD＝DA1，
∴C，A1关于直线BC1对称，
∴当点D与B重合时，AD+CD的值最小，最小值为线段AA1的长＝5，
∴等边三角形ABC的边长是2.5.
故答案为：2.5．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共8题，满分90分）
19．（8分）计算：
（1）4a4b3÷（﹣2ab）2；
（2）（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y）．
【分析】（1）先算乘方，再算单项式除以单项式即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可．
【解答】解：（1）4a4b3÷（﹣2ab）2
＝4a4b3÷4a2b2
＝a2b；
（2）（3x﹣y）2﹣（3x+2y）（3x﹣2y）
＝9x2﹣6xy+y2﹣9x2+4y2
＝5y2﹣6xy．
【点评】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
20．（10分）先化简，再求值：（2x+1）（2x﹣1）﹣（x﹣2）2﹣3x2，其中x＝﹣．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2﹣1﹣x2+4x﹣4﹣3x2＝4x﹣5，
当x＝﹣时，原式＝﹣1﹣5＝﹣6．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1,B1,C1的坐标；
（2）求△ABC的面积;
（3）在x轴上找一点P，使得△PAC的周长最小（保留作图痕迹）.
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，进而写出顶点C1的坐标；
（2）根据割补法即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；顶点C1的坐标为（4，﹣4）；
△ABC的面积＝4×4﹣1×2﹣2×4﹣3×4＝16﹣1﹣4﹣6＝5．
如图，找出C点关于x轴的对称点C’，连接AC’与x轴的交点即为所求的P点.
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．
（1）求证：△ABD≌△EDC；
（2）若AB＝2，BE＝3，求CD的长．
【分析】（1）由“AAS”即可证△ABD≌△EDC；
（2）结合（1）可得AB＝DE，BD＝CD，可得结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC．
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
（2）∵△ABD≌△EDC，
∴AB＝DE＝2，BD＝CD，
∴CD＝BD＝DE+BE＝2+3＝5．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．
23．（8分）已知：如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，点E在AC上，点F在BC上，且∠EDF＝90°．
求证：EC=BF．
【分析】根据等腰直角三角形的性质证明△ADE≌△CFD（SAS），根据全等三角形的性质可得结论.
【解答】证明：∵BC＝AC，∠BCA＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵CD⊥AB,
∴D为AB中点，
∴AD＝CD＝AB，CD平分∠BCA，CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，∠A＝∠FCD，AD=CD，
∵∠EDF＝90°,
∴∠ADE＝∠FCD，
在△ADE和△CFD中，
，
∴△ADE≌△CFD（ASA），
∴AE＝CF,
∵BC＝AC，
∴EC=BF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ADE≌△CFD是解题的关键．
24．（13分）已知Rt△ABC满足BC＝AC，∠ACB＝90°，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．
（1）如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（a，0），点B的坐标是（0，b），且满足+（b﹣3）2＝0，请直接写出a、b的值以及点A的坐标．
（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，在滑动的过程中，当B的坐标为（0，4），点C的坐标为（5，0）时，求A的坐标；
（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，若BD=2AE，试说明y轴恰好平分∠ABC.
图① 图② 图③
【解答】解：（1）如图①中，
∵+（b﹣3）2＝0，
又∵≥0，（b﹣3）2≥0，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴C（﹣1，0），B（0，3），
∴OC＝1，OB＝3，
∵AD⊥OD，
∴∠ADC＝∠ACB＝∠BOC＝90°，
∴∠ACD+∠BCO＝90°，∠BCO+∠CBO＝90°，
∴∠ACD＝∠CBO，
在△ACD和△CBO中，
，
∴△ACD≌△CBO（AAS），
∴AD＝OC＝1，CD＝OB＝3，
∴OD＝4，
∴A（﹣4，1）；
如图，过A点作AG⊥x轴于点G.
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCO+∠ACG=90°，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠OBC=∠ACG，
在BOC和CGA中，
,
∴△BOC≌△CGA（ASA），
∴OB=CG,OC=AG,
∵B（0，4），C（5，0），
∴OB=CG=4，OC=AG=5，
∴OG=1，
∴A（1，-5）.
（3）如图，延长AE、BC交于点F，
∵AE⊥x轴，
∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠EAD+∠BDC＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BDC+∠CBD＝90°，
∴∠DAE＝∠CBD，
在△BCD和△ACF中，
，
∴△BCD≌△ACF（ASA），
∴BD＝AF，
∵BD＝2AE，
∴AF＝2AE，
∴AE=EF,
在△ABE和△FBE中,
,
∴△ABE≌△FBE（SAS）,
∴∠ABE=∠FBE，
∴y轴恰好平分∠ABC.
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解本题的关键是判断出△ACD≌△CBO．
25．（13分）（1）如图①是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图②所示．请直接写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab ；
（2）若m+n＝6，mn＝4，求m﹣n的值；
（3）如图③，正方形ABCD的边长为x，AE＝2，CG＝6，长方形EFGD的面积是21，四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形，四边形PQDH是长方形，求图③中阴影部分的面积．
【解答】解：（1）由图形知，大正方形的面积为（a+b）2，中间小正方形的面积为（b﹣a）2，
大正方形的面积减去小正方形的面积等于4个长宽分别为a，b的长方形面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；
（2）∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
将m+n＝6，mn＝4代入得：（m﹣n）2=36﹣16＝20，
∴m﹣n＝；
（3）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝2，CG＝6，，
∴DE＝x﹣2，DG＝x﹣6，
∵S长方形EFGD=21
∴（x﹣2）（x﹣6）＝21，
设a＝x﹣2，b＝x﹣6，ab＝21，
∴a﹣b＝4，
∵四边形NGDH和四边形MEDQ都是正方形,
∴四边形MFNP是正方形，且边长为a+b，
∵S阴影＝S正方形MFNP-S长方形EFGD=（a+b）2-21＝（a﹣b）2+4ab-21
＝42+4×21-21
＝79，
∴图中阴影部分的面积为79．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，图形的面积，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义，并能进行公式的变形应用．
26．（16分）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝6，AC＝4，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
图2
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，得到BE=AD，在△ABE中求得2AD的取值范围，从而求得AD的取值范围是 1＜AD＜5 ．
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE+∠CAF＝180°，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明；
（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD＝CE．求证：AB+AC＞AD+AE.
【解答】解：（1）在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝4，
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）EF＝2AD，
理由：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE+∠CAF＝180°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
（3）设BC的中点为M，连接AM并延长至N，使AM＝MN，连接BN、DN，
∵M是BC的中点，
在△AMC和△NMB中，
，
∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴BN＝AC，
同理△AME≌△NBD，
∴AE＝DN，
延长AD交BN于F，
则AB+BF＞AD+DF，且FN+DF＞DN，
∴AB+BF+FN+DF＞AD+DF+DN，
∴AB+BN＞AD+DN，
即AB+AC＞AD+AE．
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