湘教版（2019）必修 第二册6.2 数学建模——从自然走向理性之路课后作业题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册6.2 数学建模——从自然走向理性之路课后作业题，共6页。


2．如图，广场上有一盏路灯挂在高10 m的电线杆上，记电线杆的底部为A，顶部为S.把路灯看作一个点光源，身高1.5 m的女孩站在离点A5 m的点B处．回答下面的问题：
(1)若女孩以5 m为半径绕着电线杆走一个圆圈，人影扫过的是什么图形，求这个图形的面积；
(2)若女孩向点A前行4 m到达点D，然后从点D出发，沿着以BD为对角线的正方形走一圈，画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹，说明轨迹的形状．
课时作业(五十一) 数学建模案例(二)：距离问题
1．解析：如果不考虑花结用绳，或者认为两种捆扎方法中花结的用绳长度相同，推理过程可以表述如下：
设长方体点心盒子的长、宽、高分别为x，y，z，依据图2的捆扎方式，把彩绳的长度记作l，因为长方体每个面上的那一段绳都与相交的棱垂直，所以l＝2x＋2y＋4z.
依据图1的捆扎方式，可以想象将长方体盒子展开在—个平面上，则彩绳的平面展开图是一条由A到A的折线．在“扎紧”的情况下，彩绳的平面展开图是一条由A到A的线段，记为A′A″(如图3).这时用绳最短，绳长记作m，在△A′BA″中，由三角形中两边之和大于第三边，得
m＝|A′A″|<|A′B|＋|A″B|＝2y＋2z＋2x＋2z＝2x＋2y＋4z，
即l>m，因此，图1所示的捆扎方式节省材料．
2．解析：(1)如题图所示，S为路灯位置，C为女孩头顶部，女孩的影子为线段BP.女孩绕着电线杆走—个圆圈，人影扫过的是—个圆环．
已知SA＝10m，AB＝5m．BC＝1.5m．设BP＝xm．则由BC∥SA，得eq \f(BP,AP)＝eq \f(BC,SA)，即eq \f(x,x＋5)＝eq \f(1.5,10)，解得x＝eq \f(15,17).因此圆环面积为π(AP2－AB2)＝π[(x＋5)2－52]＝eq \f(2775,289)π≈30.15(m2)
(2)如图1，女孩头顶运动的轨迹是以CE为对角线的正方形(CE与BD平行且相等)，且该正方形平行于地面，则在点光源S的投射下，投影应与原图形相似，因此女孩头顶影子的轨迹也是一个正方形．