2024版新教材高中数学第五章三角函数单元素养水平监测新人教A版必修第一册

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第五章　单元素养水平监测(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．与角－420°终边相同的最小正角是(　　)A．－60°B．60°C.300°D．120°2．若cosα＝eq \f(\r(3),2)，且角α的终边经过点P(x，－2)，则P点的横坐标x是(　　)A．2eq \r(3)B．±2eq \r(3)C．2eq \r(2)D．－2eq \r(3)3．已知一个面积为π的扇形所对的弧长为π，则该扇形圆心角的弧度数为(　　)A．eq \f(1,2)B．eq \f(π,2)C．2D．π4．下列函数中最小正周期为π且是奇函数的为(　　)A．y＝tan2xB．y＝tan (x＋eq \f(π,4))C．y＝cos (2x＋eq \f(3π,2)) D．y＝sin (2x＋eq \f(π,2))5．已知a＝coseq \f(9π,5)，b＝sineq \f(20π,7)，c＝taneq \f(19π,3)，则有(　　)A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a6．计算：eq \f(2\r(3)sin70°－\r(3)sin10°,cos10°)＝(　　)A．1B．2C．3D．47．函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<eq \f(π,2))的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝(　　)A.2cos2xB．eq \r(3)sin (2x－eq \f(π,6))C．eq \r(3)sin (2x＋eq \f(π,6)) D．2sin (2x＋eq \f(π,6))8．设函数f(x)＝eq \r(3)sinωx＋cosωx(ω>0)，其图象的一条对称轴在区间(eq \f(π,6)，eq \f(π,3))内，且f(x)的最小正周期大于π，则ω的取值范围为(　　)A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B．(0，2)C．[1，2) D．(1，2)二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列说法正确的是(　　)A．钝角大于锐角B．时间经过两个小时，时针转了60°C．三角形的内角必是第一象限角或第二象限角D．若α是第三象限角，则eq \f(α,2)是第二象限角或第四象限角10．下列等式正确的是(　　)A．sin15°cos15°＝eq \f(1,4)B．2sin222.5°－1＝eq \f(\r(2),2)C．sin26°cos34°＋cos26°sin34°＝eq \f(\r(3),2)D．eq \f(tan71°－tan26°,1＋tan71°tan26°)＝111．cos (eq \f(π,4)＋α)＝(　　)A．sin (eq \f(5π,4)＋α) B．sin (eq \f(π,4)－α)C．cos (－eq \f(3π,4)＋α) D．cos (eq \f(7π,4)－α)12．已知函数f(x)＝sinx＋eq \r(3)cosx＋|sinx－eq \r(3)cosx|，则下列说法正确的是(　　)A．函数f(x)的一个周期为πB．函数f(x)图象不关于y轴对称C．函数f(x)在[eq \f(5π,2)，3π]上单调递减D．函数f(x)的值域为[－eq \r(3)，2eq \r(3)]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知α∈[－3π，3π]，且cos (α－eq \f(π,6))＝－eq \f(\r(3),2)，写出一个满足条件的α的值：________．14．已知tan (α＋eq \f(π,3))＝2eq \r(3)，则tan (α＋eq \f(π,6))的值为________．15．已知α，β∈(0，eq \f(π,2))，sin (α＋β)＝eq \f(6,7)，tanα＝2tanβ，则sin (α－β)＝________．16．将函数f(x)＝sin (2x＋eq \f(π,6))的图象向右平移eq \f(π,6)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的解析式为g(x)＝________，若函数y＝g(x)在区间[－eq \f(π,12)，eq \f(3,2)a]与[4a，eq \f(4π,3)]上均单调递增，则实数a的取值范围是________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题10分)已知角α的终边经过点P(2coseq \f(2π,3)，3eq \r(2)sineq \f(π,4))，试求：(1)tan (π＋α)的值；(2)2sin2α＋3sinαcosα－cos2α的值．18．(本小题12分)已知函数f(x)＝2sin(2x＋eq \f(π,6))＋1.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)当x∈[－eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]时，求f(x)的值域．19．(本小题12分)已知函数f(x)＝2sinxcosx＋1－2sin2x.(1)求f(x)的对称轴；(2)若α∈[eq \f(π,4)，eq \f(π,2)]且f(α)＝eq \f(3\r(2),5)，求cos2α.20(本小题12分)若函数f(x)＝2eq \r(2)cosx·sin (x＋eq \f(π,4))－1.(1)求函数f(x)的最大值及最小正周期；(2)求使f(x)≥1成立的x的取值集合．21．(本小题12分)已知函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<eq \f(π,2))，其图象过点(eq \f(π,3)，eq \r(3))，相邻两条对称轴之间的距离为π.(1)求函数f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数g(x)的图象，若方程g(x)－m＝0在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围．22.(本小题12分)“湾区之光”摩天轮位于深圳市华侨城欢乐港湾内，摩天轮总高128米，转轮直径约为114米，共有28个酷似太空舱胶囊的全景式进口轿厢，每个轿厢可容纳25人．“湾区之光”旋转一圈时间是28分钟，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，设开始转动t(单位：min)后距离地面的高度为H(单位：m).(1)求在转动一周的过程中，H关于t的函数解析式H(t)；(2)若甲、乙两人进舱时间相差eq \f(14,3)分钟，则在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h(单位：m)第一次达到最大时所需要的时间t，并求该最大值．第五章　单元素养水平监测1．解析：与角－420°终边相同的角为α＝－420°＋k·360°，k∈Z，当k＝2时，α取最小正角，为－420°＋2×360°＝300°.故选C.答案：C2．解析：由三角函数的定义可得：cosα＝eq \f(x,\r(x2＋（－2）2))＝eq \f(\r(3),2)，(x>0)，解得x＝2eq \r(3).故选A.答案：A3．解析：设扇形的半径为r，圆心角为α，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)αr2＝π,αr＝π))，解得r＝2，α＝eq \f(π,2).故选B.答案：B4．解析：y＝tan2x的最小正周期为eq \f(π,2)，故A错误；y＝tan (x＋eq \f(π,4))为非奇非偶函数，故B错误；y＝cos (2x＋eq \f(3π,2))＝sin2x，易知为奇函数，且最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，故C正确；y＝sin (2x＋eq \f(π,2))＝cos2x为偶函数，故D错误．故选C.答案：C5．解析：a＝coseq \f(9π,5)＝cos (eq \f(9π,5)－2π)＝cos (－eq \f(π,5))＝coseq \f(π,5)＝sineq \f(3π,10)，b＝sineq \f(20π,7)＝sin (2π＋eq \f(6π,7))＝sineq \f(6π,7)＝sineq \f(π,7)，因为y＝sinx在(0，eq \f(π,2))为增函数，所以sineq \f(π,7)π，由eq \f(π,6)<eq \f(4π,3ω)<eq \f(π,3)，得4<ω<8，此时T＝eq \f(2π,ω)<π，不合题意，依次当k取其它整数时，不合题意，所以ω的取值范围为(1，2).故选D.答案：D9．解析：对于A，因为锐角α1∈(0，eq \f(π,2))，钝角α2∈(eq \f(π,2)，π)，因此钝角大于锐角，A正确；对于B，时间经过两个小时，时针转了－60°，B不正确；对于C，当三角形的一个内角为eq \f(π,2)时，该角不是第一象限角，也不是第二象限角，C不正确；对于D，因为α是第三象限角，即2kπ－π<α<2kπ－eq \f(π,2)，k∈Z，则kπ－eq \f(π,2)<eq \f(α,2)