2022-2023学年高二上学期期中模拟卷02（培优卷）（解析版）

这是一份2022-2023学年高二上学期期中模拟卷02（培优卷）（解析版），共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在棱长为的正四面体中，点、分别在线段、上，且，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知，再求向量的模即可.
【详解】解：设，，，点在上，且，，
， ，
，
又空间四面体的棱长均为，
， ．

所以， ．
故选:C
2．在长方体中，，，动点P在体对角线上，则顶点B到平面APC距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】以点D为原点建立空间直角坐标系，表示出的坐标，然后求出平面APC的法向量，表示出点B到平面APC的距离为，即可得到其最大值.
【详解】
如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设，
则，，，，则，故，
又，，于是，
设平面APC的法向量，则有，
可取，
则点B到平面APC的距离为，
当时，点B到平面APC的距离为0，
当时，，
当且仅当时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为，
故选:D．
3．已知点，.若直线与线段AB恒相交，则k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题意，求直线所过的定点，作图，根据斜率的变化规律，可得答案.
【详解】由直线方程，令，解得，故直线过定点，如下图：
则直线的斜率，直线的斜率，
由图可知：.
故选：D.
4．直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用圆的弦长、半径、弦心距的关系结合已知求出弦心距的范围，再借助点到直线的距离公式计算作答.
【详解】令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，
则有，又，于是得，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：B
5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长，焦距．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找，，之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用，表示出，并且，，在中根据勾股定理可得到：该式变形即可求解．
【详解】解：如图，
设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：
得，
，，设，，
在中由勾股定理得，
化简得：该式可变成：，即．
故选：C.
6．著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离.结合上述观点，可得的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】记点、、，可得出，数形结合可求得的最小值.
【详解】因为，
记点、、，则，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，即的最小值为.
故选：C.
7．在正三棱柱中，，点E是的中点，点F是上靠近点B的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意，建立空间直角坐标系，根据向量数乘的坐标公式，求得点的坐标，写出直线的方向向量，结合向量夹角公式，可得答案.
【详解】取的中点O，的中点，易知，，两两垂直，
以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，
所以，，，，，
则的中点，
由点F是上靠近点B的三等分点，则，设，
故，所以
解得,，
故，，
因为，
所以异面直线与所成角的余弦值是.
故选：B.
8．设为椭圆上的动点，为椭圆的焦点，为的内心，则直线和直线的斜率之积（ ）
A．是定值B．非定值，但存在最大值
C．非定值，但存在最小值D．非定值，且不存在最值
【答案】A
【分析】连接并延长交轴于，，再由内角平分线定理可得；设，，，代入椭圆方程可求出，结合得，进一步求出，再表示出，化简即可得答案．
【详解】连接并延长交轴于，
则由内角平分线定理可得：，，；
设，，，则，，
，则，又，则．
，则，，，
则，
直线和直线的斜率之积是定值．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列四个结论正确的是（ ）
A．若空间中的，，，满足，则，，三点共线
B．空间中三个向量，，，若，则，，共面
C．空间中任意向量，，，都满足
D．若，则为钝角
【答案】AB
【分析】根据共线向量定理可判断A，根据共面向量的概念可判断B，根据向量数量积及向量数乘的概念可判断C，根据向量数量积的定义可判断D.
【详解】对于A，因为，则，即，
所以，所以A，B，C三点共线，故A正确；
对于B，空间中三个向量，，，若共线，则，，共面，故B正确；
对于C，是与共线的向量，是与共线的向量，
而与方向不确定，故无法确定与是否相等，故C错误；
对于D，当非零向量方向相反时，，此时向量夹角为，故D错误.
故选：AB.
10．已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．存在，使得的倾斜角为B．对任意的，与都有公共点
C．对任意的，与都不重合D．对任意的，与都不垂直
【答案】ABD
【分析】当时可判断A；直线与均过点可判断B；当时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：当时，直线：，此时直线的倾斜角为，故选项A正确；
对于B，直线与均过点，所以对任意的，与都有公共点，故选项B正确；
对于C，当时，直线为，即与重合，故选项C错误；
对于D，直线的斜率为，若的斜率存在，则斜率为，所以与不可能垂直，所以对任意的，与都不垂直，故选项D不正确；
故选：ABD.
11．已知抛物线过点，过点的直线交抛物线于，两点，点在点右侧，若为焦点，直线，分别交抛物线于，两点，则（ ）
A．B．
C．A，，三点共线D．
【答案】AC
【分析】设直线方程联立抛物线方程消参，利用定义表示出，然后由韦达定理和解不等式可判断A；用坐标表示出，利用韦达定理表示后，由m的范围可判断B；设直线NF，借助韦达定理表示出P点坐标，同理可得Q点坐标，然后由斜率是否相等可判断C；根据M和P的横坐标关系，结合AN斜率可判断D.
【详解】因为抛物线过点，
所以，所以抛物线方程为
设
设过点的直线方程为，代入整理得：
则，，即或
又
由定义可知，，
所以，故A正确；
所以
又，故B错误；
记
设直线NF方程为，代入整理得：
则，，同理可得
因为，
，所以A，，三点共线，C正确；
因为，，所以
由上可知，直线AM的斜率，所以，所以，D错误.
故选：AC
12．已知点，点是双曲线：左支上的动点，为其右焦点，是圆：上的动点，直线交双曲线右支于（为坐标原点），则（ ）
A．过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条
B．的最小值为
C．若的内切圆与圆外切，则圆的半径为
D．过作轴垂线，垂足为（与不重合），连接并交双曲线右支于，则（为直线斜率，为直线斜率）
【答案】BD
【分析】根据点的位置可确定与双曲线有一个公共点的直线条数，知A错误；
根据，，结合双曲线定义可知B正确；
设圆，由两圆外切可构造方程求得圆的半径，知C错误；
设，可求得，，从而将化为，利用基本不等式可求得D正确.
【详解】
对于A，双曲线的渐近线方程为，点在双曲线外，
过可作平行于渐近线的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；
又过可作双曲线的两条切线，与双曲线有且仅有一个交点，
过点作与双曲线有一个公共点的直线恰有条，A错误；
对于B，由双曲线方程知其焦点为，圆的圆心为双曲线的左焦点，
；
（当且仅当三点共线时取等号），
（当且仅当三点共线时取等号），
，B正确；
对于C，由双曲线焦点三角形性质可知：的内切圆的圆心必在上，
可设，则圆的半径为，
圆与圆相外切，，解得：，
即的内切圆的半径为，C错误；
对于D，设，，，则，，，
；
又，，
，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，O为底面中心，M为中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若，则点P形成的轨迹长度为___________
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点的轨迹方程，得到的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长．
【详解】解：建立空间直角坐标系．如图所示，设，，，，2，，，，，，．
于是有．
由于，所以，
即，此为点形成的轨迹方程，
其在底面圆内的长度为．
故答案为：
14．已知圆C关于直线对称的圆的方程，则圆C的方程为_________.
【答案】
【分析】根据给定条件，求出圆的圆心关于直线的对称点即可作答.
【详解】圆的圆心，半径，
令点关于直线的对称点坐标为，
于是得，解得，因此圆C的圆心为，半径，
所以圆C的方程为.
故答案为：
15．已知是定义在R上的奇函数，其图象关于点对称，当时，，若方程的所有根的和为6，则实数k的取值范围是____________．
【答案】
【分析】根据函数的对称性和奇偶性得出函数的周期，从而画出函数和直线的图像，数形结合可得的取值范围.
【详解】方程的根，
即为和的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点对称，要使所有根的和为6，
则两个图象有且只有3个公共点．
因为函数是奇函数，所以有，
又因为函数的图象关于点对称，所以，
所以，即，
所以函数的周期，
当时，，
其图像是以为圆心，以为半径的下半圆，
作出和的图象如图所示．
当时，只需直线与圆相离，
此时圆心到直线的距离，
解得：或（舍）
当时，只需直线与圆相切，
此时圆心到直线的距离
可得或（舍），
综上：k的取值范围是．
故答案为：
16．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线l与椭圆交于A，B两点（A点在第一象限），则的周长为_______；当，直线l的斜率为________．
【答案】
【分析】由椭圆的定义知的周长为，即可求解；
由题可设直线方程为，与椭圆联立得，利用韦达定理结合已知条件可求得A，B两点的横坐标，进而求得，又A点在第一象限，知，即可得解.
【详解】由椭圆，得，
由椭圆的定义知，
又，的周长
由题知直线的斜率存在，设直线方程为，设
联立，整理得
其中，①，②
由，得，即③
由①③解得：，，代入②解得，
此时，，又A点在第一象限，，
故答案为：，
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线：与直线：的交点为.
(1)求过点且与直线：垂直的直线的方程；
(2)求过点，且点到它的距离为3的直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）先联立，方程得，再根据垂直关系求解即可；
（2）根据题意分直线斜率存在与直线斜率不存在两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）解：根据题意联立方程得，即
因为直线：的斜率为，所求直线与直线垂直，
所以，所求直线的斜率为，方程为，即
所以，所求直线方程为
（2）解：由（1）知，
所以，当直线斜率不存在时，所求直线方程为，点(4，0)到它的距离为3，满足题意；
当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，
所以点到它的距离为，解得，
所以，所求直线方程为，
所以，所求直线方程为或.
18．（12分）已知椭圆C：+ ＝1（a＞b＞0）的一个焦点与抛物线的焦点相同，F1，F2为C的左、右焦点，M为C上任意一点，最大值为1．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线：交椭圆C于A，B两点，若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线方程可得焦点为，即，当M为椭圆的短轴端点时，面积最大，即可得到，进而求得，即可求解；
（2）联立直线方程与椭圆方程，可得，由韦达定理可得，结合点到直线距离公式可得，则根据即可求解.
【详解】（1）由抛物线的方程得其焦点为，则，
当点M为椭圆的短轴端点时，面积最大，此时，则，
所以，故椭圆的方程为.
（2）联立得，，
，则（*），
设，，则，，
因为且，代入（*）得，，
因为，
设点O到直线AB的距离为d，则，
所以，
所以，即.
19．（12分）如图所示，三棱台的体积为7，其上、下底面均为正三角形，平面平面且，棱与的中点分别为．
(1)证明：平面；
(2)求直线到平面的距离；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【分析】(1)根据题意建立如图空间直角坐标系，求出各点和各向量的坐标，利用向量法求出平面FGH的法向量，结合即可证明；
(2)结合(1)，利用向量法直接求出线面距；
(3)求出平面BCF的法向量，利用向量法即可求出面面角.
【详解】（1）由题意得上底面面积为，下底面面积为，
设三棱台的高为h，则，得．
设DF的中点为I，如图，连接GB，GI，由条件可知GB，GC，GI两两互相垂直，
以G为坐标原点，以GB，GC，GI所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
由已知可得，，，
∴，，
设平面FGH的法向量为，
则,令，可得．
由，可得，
∴，又平面FGH，∴平面FGH．
（2）由（1）知平面FGH，直线AE到平面FGH的距离即点A到平面FGH的距离d．
∵，∴．
（3）设平面BCF的法向量为，
由，，可得，，
∴，令，得．
∴，
∴平面BCF与平面FGH的夹角的余弦值为．
20．（12分）已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．
(1)过点的直线被圆M截得的弦最短，求的方程；
(2)若的外接圆圆心为C，试问：当P运动时，圆C是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由；
【答案】(1)
(2)圆过定点，.
【分析】（1）判断点Q在圆M内，进而可得过点且与MQ垂直的弦长最短，然后根据斜率公式求出的斜率即可求解；
（2）设，由，进而可得圆C的方程为，即，从而即可求解.
【详解】（1）解：因为圆，，
所以，
所以Q在圆内，所以过点且与MQ垂直的弦长最短，
因为圆心M点坐标为，所以，
所以所求直线的斜率k＝1，
所以的方程为，即；
（2）解：由题意，设，
因为，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径的圆，
其方程为，即，
由，解得或，
所以圆过定点，．
21．（12分）设A，B为双曲线C：的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形．
(1)求双曲线C的离心率；
(2)已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上一动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围．
【答案】(1)2；
(2)或
【分析】（1）当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，故，列出方程，得到，求出离心率；
（2）直线的斜率存在时，设出直线，与双曲线联立后得到两根之和，两根之积，求出直线，得到，同理得到，由为锐角可得到，代入数据可得答案；再验证当直线的斜率不存在时，求出点P ，，同样利用求解即可
【详解】（1）由双曲线C：可得：右焦点，
将代入中，，
当直线垂直于轴时，为等腰直角三角形，
此时，
即，整理得：，
因为，所以，
方程两边同除以得：，解得：或（舍去），
所以双曲线的离心率为2；
（2）因为，所以，
因为，解得，故，
所以双曲线的方程为，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为：，
与双曲线联立得：，
设，则，，
则，
因为直线过右焦点且与双曲线的右支交于两点，
所以，解得：，
直线，则，同理可求得：，
所以，，
因为为锐角，所以，
即，所以
所以即，解得或；
当直线的斜率不存在时，将代入双曲线可得，此时不妨设，
此时直线，点P坐标为，同理可得：，
所以，，
因为为锐角，所以，解得或；
综上所述，t的取值范围或
22．（12分）已知椭圆过点，A、B为左右顶点，且.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点A作椭圆内的圆的两条切线，交椭圆于C、D两点，若直线CD与圆O相切，求圆O的方程；
(3)过点P作（2）中圆O的两条切线，分别交椭圆于两点Q、R，求证：直线QR与圆O相切.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的基本量可得，代入即可得椭圆的方程；
（2）根据对称性可得直线CD与轴垂直，再根据相切的性质，结合三角函数的关系列式求解半径即可；
（3）设圆O的切线方程为，根据切线到圆心的距离可得的二次方程，进而得到的斜率，再联立的方程与椭圆方程可得的横坐标，进而表达出的方程，求解圆心到的距离表达式，代入数据求解得即可证明.
【详解】（1）依题意，则，代入可得，解得，故椭圆方程为
（2）由椭圆与圆的对称性可得，直线关于轴对称，故直线CD与轴垂直.
代入到，不妨设，设为与圆的切点，为与圆的切点.
则由切线的性质，，，故，故.
故，故.
故圆O的方程为.
（3）设圆O的切线方程为，即.
则，故，化简得.
则该方程两根分别为的斜率，则，.
联立，则.
设，则，即，同理.
故，，所以.
又，故直线的方程为，即
，
故到直线的距离
，代入数据可得，故直线QR与圆O相切.