湘教版（2019）必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数同步测试题

这是一份湘教版（2019）必修 第二册2.1 两角和与差的三角函数同步测试题，共6页。

1．sin 465°＝( )
A． eq \f(\r(6)＋\r(2),4) B． eq \f(\r(6)－\r(2),4)
C． eq \f(\r(3)＋1,4)D． eq \f(\r(3)－1,4)
2．求值：cs 25°cs 35°－cs 65°cs 55°＝( )
A． eq \f(1,2)B． eq \f(\r(3),2)
C．－ eq \f(1,2) D．－ eq \f(\r(3),2)
3．cs eq \f(π,12)＋ eq \r(3)sin eq \f(π,12)的值为( )
A．－2 B． eq \r(2)
C． eq \f(1,2)D． eq \r(3)
4．已知cs α＝ eq \f(12,13)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值为( )
A． eq \f(5\r(2),13) B． eq \f(7\r(2),13)
C． eq \f(17\r(2),26) D． eq \f(7\r(2),26)
5．已知a＝2cs 66°，b＝cs 5°－ eq \r(3)sin 5°，c＝2(sin 47°sin 66°－sin 24°sin 43°)，则a、b、c的大小关系为( )
A．aC．c6．已知sin (π＋α)＝ eq \f(1,3)，|α|< eq \f(π,2)，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝( )
A． eq \f(2\r(2)＋3,6)B． eq \f(2\r(6)＋1,6)
C． eq \f(2\r(2)－\r(3),6) D． eq \f(2\r(6)－1,6)
7．sin (α＋β)sin α－cs (α＋β)cs α＝________．
8．已知cs α＝ eq \f(3,5)，α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，则cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝________．
9．已知α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sin α＝ eq \f(\r(5),5).
(1)求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值；
(2)求cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(5π,6)))的值．
10．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点(3，4).
(1) eq \f(sin （π－α）－2sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),cs （π＋α）－sin （－α）)的值；
(2)已知 eq \f(π,2)<β<π，且cs β＝－ eq \f(1,3)，求cs (α＋β)的值．
[提能力]
11．已知cs α＝ eq \f(3,5)，cs (α－β)＝ eq \f(7\r(2),10)，且0<β<α< eq \f(π,2)，那么β＝( )
A． eq \f(π,12) B． eq \f(π,6) C． eq \f(π,4) D． eq \f(π,3)
12．(多选)已知α，β∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))且sin α＝ eq \f(2\r(2),3)，sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋β))＝ eq \f(2,3)，则( )
A．cs (α＋β)＝ eq \f(\r(5),3) B．cs (α＋β)＝－ eq \f(\r(5),3)
C．cs β＝ eq \f(4\r(2)＋\r(5),9) D．cs β＝ eq \f(4\r(2)－\r(5),9)
13. eq \f(2cs 5°－sin 25°,sin 65°)＝________．
14．已知α、β为锐角，sin α＝ eq \f(3,5)，cs (α＋β)＝－ eq \f(5,13)，则cs β＝________．
15．已知α，β均为锐角，cs α＝ eq \f(\r(3),3)，cs (α＋β)＝ eq \f(3,5).
(1)求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))的值；
(2)求cs β的值．
[培优生]
16．已知锐角α与钝角β，sin α＝ eq \f(2\r(5),5)，sin β＝ eq \f(\r(2),10).
(1)求cs (α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
课时作业(十四) 两角和与差的余弦公式
1．解析：sin465°＝sin (450°＋15°)＝cs15°＝cs (45°－30°)
＝cs45°cs30°＋sin45°sin30°＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4).
答案：A
2．解析：cs25°cs35°－cs65°cs55°
＝cs25°cs35°－sin25°sin35°
＝cs (25°＋35°)
＝eq \f(1,2).
答案：A
3．解析：原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs\f(π,12)＋\f(\r(3),2)sin\f(π,12)))
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,3)cs\f(π,12)＋sin\f(π,3)sin\f(π,12)))＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,12)))＝2cseq \f(π,4)＝eq \r(2).
答案：B
4．解析：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，所以sinα＝－eq \f(5,13)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝csαcseq \f(π,4)＋sinαsineq \f(π,4)＝eq \f(12,13)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(7\r(2),26).
答案：D
5．解析：b＝cs5°－eq \r(3)sin5°＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs5°－\f(\r(3),2)sin5°))＝2cs (60°＋5°)＝2cs65°，
c＝2(sin47°sin66°－sin24°sin43°)＝2(cs43°cs24°－sin24°sin43°)＝2cs (43°＋24°)＝2cs67°
a＝2cs66°，
因为函数y＝2csx在区间(0°，90°)上是减函数，65°<66°<67°，
所以2cs65°>2cs66°>2cs67°，即b>a>c，
答案：C
6．解析：∵sin (π＋α)＝－sinα＝eq \f(1,3)，∴sinα＝－eq \f(1,3).又|α|答案：B
7．解析：原式＝－[cs (α＋β)csα－sin (α＋β)sinα]＝－cs (2α＋β).
答案：－cs (2α＋β)
8．解析：因为csα＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)π，2π))，
所以sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(4,5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝csαcseq \f(π,3)＋sinαsineq \f(π,3)
＝eq \f(3,5)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(3－4\r(3),10).
答案：eq \f(3－4\r(3),10)
9．解析：(1)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(\r(5),5)，
∴csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5).
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sinαcseq \f(π,4)＋csαsineq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sinα＋csα))＝－eq \f(\r(10),10)；
(2)∵sin2α＝2sinαcsα＝－eq \f(4,5)，cs2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(3,5)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(5π,6)))＝cs2αcseq \f(5π,6)＋sin2αsineq \f(5π,6)＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(1,2)＝－eq \f(3\r(3)＋4,10).
10．解析：(1)依题意tanα＝eq \f(4,3)，
原式＝eq \f(sin（π－α）－2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)),cs（π＋α）－sin（－α）)＝eq \f(sinα－2csα,－csα＋sinα)＝eq \f(tanα－2,tanα－1)＝－2；
(2)因为α终边过点(3，4)，
所以sinα＝eq \f(4,5)，csα＝eq \f(3,5)，
因为eq \f(π,2)<β<π，且csβ＝－eq \f(1,3)，所以sinβ＝eq \f(2\r(2),3)
所以cs (α＋β)＝csαcsβ－sinαsinβ＝eq \f(3,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))－eq \f(4,5)×eq \f(2\r(2),3)＝－eq \f(3＋8\r(2),15).
11．解析：由0<β<α答案：C
12．解析：因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以α＋β∈(0，π)，
又因为sin (α＋β)＝eq \f(2,3)＜sinα＝eq \f(2\r(2),3)，
所以α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
故csα＝eq \f(1,3)，cs (α＋β)＝－eq \f(\r(5),3)，
故csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)csα＋sin (α＋β)sinα＝－eq \f(\r(5),3)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(4\r(2)－\r(5),9).
答案：BD
13．解析：eq \f(2cs5°－sin25°,sin65°)＝eq \f(2cs（30°－25°）－sin25°,cs25°)
＝eq \f(\r(3)cs25°＋sin25°－sin25°,cs25°)
＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
14．解析：∵α，β都是锐角，∴α＋β∈(0，π)，
又sinα＝eq \f(3,5)，cs (α＋β)＝－eq \f(5,13)，∴csα＝eq \f(4,5)，sin (α＋β)＝eq \f(12,13)，
则csβ＝cs [(α＋β)－α]＝cs (α＋β)csα＋sin (α＋β)sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))×eq \f(4,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(3,5)＝eq \f(16,65).
答案：eq \f(16,65)
15．解析：(1)∵csα＝eq \f(\r(3),3)，α为锐角，∴sinα＝eq \f(\r(6),3)
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝sinαcseq \f(π,6)＋csαsineq \f(π,6)
＝eq \f(\r(6),3)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),3)×eq \f(1,2)
＝eq \f(3\r(2)＋\r(3),6).
(2)∵cs (α＋β)＝eq \f(3,5)，α＋β∈(0，π)，∴sin (α＋β)＝eq \f(4,5)
csβ＝cs [(α＋β)－α]
＝cs (α＋β)csα＋sin (α＋β)sinα
＝eq \f(3,5)×eq \f(\r(3),3)＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(6),3)
＝eq \f(3\r(3)＋4\r(6),15).
16．解析：(1)由题可知：α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
且sinα＝eq \f(2\r(5),5)，sinβ＝eq \f(\r(2),10)，
所以csα＝eq \f(\r(5),5)，csβ＝－eq \f(7\r(2),10)，
所以cs (α－β)＝csαcsβ＋sinαsinβ
＝eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7\r(2),10)))＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(2),10)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则(α－β)∈(－π，0)，
又由(1)可知，cs (α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，所以(α－β)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，
所以sin (α－β)＝－eq \f(3\r(10),10)，
则2α－β＝α＋α－β，所以(2α－β)∈(－π，0)，
所以cs (2α－β)＝csαcs (α－β)－sinαsin (α－β)
＝eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(10),10)))－eq \f(2\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3\r(10),10)))＝eq \f(\r(2),2)，
所以2α－β＝－eq \f(π,4).