2024版新教材高中数学章末质量检测三复数湘教版必修第二册

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章末质量检测(三)　复数考试时间：120分钟　满分：150分一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．复数(2＋i)2等于(　　)A．3＋4i　 B．5＋4i C．3＋2i　 D．5＋42i2．已知复数z＝ eq \f(5,3－4i)，则z的虚部为(　　)A． eq \f(4,5)i B．－ eq \f(4,5)i C． eq \f(4,5) D．－ eq \f(4,5)3．设(－1＋2i)x＝y－1－6i，x，y∈R，则|x－yi|＝(　　)A．6 B．5 C．4 D．34．已知i为虚数单位，(1－i)z＝2，则复平面上z对应的点在(　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知复数z满足(z－1)(1＋2i)＝－2＋i，则|z|＝(　　)A． eq \r(2) B．2 eq \r(2) C．2 D．16．已知复数z＝ eq \f(2,1＋2i)(i是虚数单位)，则 eq \o(z,\s\up6(－))＝(　　)A． eq \f(1,5)＋ eq \f(2,5)i B． eq \f(1,5)－ eq \f(2,5)i C． eq \f(2,5)＋ eq \f(4,5)i D． eq \f(2,5)－ eq \f(4,5)i7．若 eq \f(1－7i,2＋i)＝a＋bi(a，b∈R)，则ab的值是(　　)A．－3　 B．－1 C．3　 D．18．已知复数z＝(1－i)－m(1＋i)是纯虚数，则实数m＝(　　)A．－2　 B．－1 C．0　 D．1二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．)9．下列关于复数的说法，其中正确的是(　　)A．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0B．复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0C．若z1，z2互为共轭复数，则z1z2是实数D．若z1，z2互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于虚轴对称10．已知复数z＝(1＋2i)(2－i)， eq \o(z,\s\up6(－))为z的共轭复数，则下列结论正确的是(　　)A．z的虚部为3B．| eq \o(z,\s\up6(－))|＝5C．z－4为纯虚数D． eq \o(z,\s\up6(－))在复平面上对应的点在第一象限11．设i为虚数单位，复数z＝(a＋i)(1＋2i)，则下列命题正确的是(　　)A．若z为纯虚数，则实数a的值为2B．若z在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))C．实数a＝－ eq \f(1,2)是z＝ eq \o(z,\s\up6(－))( eq \o(z,\s\up6(－))为z的共轭复数)的充要条件D．若z＋|z|＝x＋5i(x∈R)，则实数a的值为212．已知z＝a＋bi(a，b∈R)为复数， eq \o(z,\s\up6(－))是z的共轭复数，则下列命题一定正确的是(　　)A．z· eq \o(z,\s\up6(－))＝|z|2B．若 eq \f(1,z)∈R，则z∈RC．若z2为纯虚数，则a＝b≠0D．若|z－i|＝1，则|z|的最大值为2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．)13．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．14．若复数z＝ eq \f(i,i2 021＋2)，则复数z在平面内对应的点在第________象限．15．若 eq \f(1＋ai,2－i)为实数，则实数a的值为________．16．1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式eix＝cos x＋isin x，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据此公式，则eiπ＋1＝________； eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i)) eq \s\up12(3)＝________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知z＝1＋i，若 eq \f(z2＋az＋b,z2－z＋1)＝1－i，求实数a，b的值．18.(本小题满分12分)设复数z＝lg (m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求实数m为何值时？(1)z是实数；(2)z对应的点位于复平面的第二象限．19．(本小题满分12分)在①z>0；②z的实部与虚部互为相反数；③z为纯虚数．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知复数z＝m2－m－6＋(m2－9)i.(1)若________，求实数m的值；(2)若m为整数，且|z|＝10，求z在复平面内对应点的坐标．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．20．(本小题满分12分)已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为A(－2，1)，B(a，3)，a∈R.(1)若|z1－z2|＝ eq \r(5)，求a的值；(2)若复数z＝z1· eq \o(z,\s\up6(－))2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a的值．21．(本小题满分12分)设z1是虚数，z2＝z1＋ eq \f(1,z1)是实数，且－1≤|z2|≤1.(1)求|z1|的值；(2)求z1的实部的取值范围．22．(本小题满分12分)若z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，在复平面内z所对应的点为Z，且|z＋2－2i|＝1，(1)求满足上述条件的点Z的集合是什么图形并且求该图形的方程；(2)|z－2－2i|的最小值．章末质量检测(三)　复数1．解析：(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝3＋4i.答案：A2．解析：z＝eq \f(5,3－4i)＝eq \f(5（3＋4i）,（3＋4i）（3－4i）)＝eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i，则复数z的虚部为eq \f(4,5).答案：C3．解析：因为(－1＋2i)x＝y－1－6i，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＝－6,－x＝y－1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3,y＝4))，所以|x－yi|＝|－3－4i|＝eq \r(（－3）2＋（－4）2)＝5.答案：B4．解析：因为(1－i)z＝2，所以z＝eq \f(2,1－i)＝eq \f(2（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝1＋i，复数对应的点是(1，1)，所以z对应的点在第一象限．答案：A5．解析：由(z－1)(1＋2i)＝－2＋i得(z－1)(1＋2i)(1－2i)＝(－2＋i)(1－2i)，即5(z－1)＝－2＋2＋5i，z－1＝i，z＝1＋i，|z|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2).答案：A6．解析：z＝eq \f(2,1＋2i)＝eq \f(2（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq \f(2,5)－eq \f(4,5)i，∴＝eq \f(2,5)＋eq \f(4,5)i.答案：C7．解析：∵eq \f(1－7i,2＋i)＝eq \f(（1－7i）（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq \f(－5－15i,5)＝－1－3i＝a＋bi∴a＝－1，b＝－3∴ab＝3.答案：C8．解析：∵z＝(1－i)－m(1＋i)＝(1－m)－(1＋m)i∴当z是纯虚数时，m＝1.答案：D9．解析：复数z＝a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是b＝0，显然成立，故A正确；若复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数则a＝0且b≠0，故B错误；若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi(a，b∈R)，所以z1z2＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－b2i2＝a2＋b2是实数，故C正确；若z1，z2互为共轭复数，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝a－bi(a，b∈R)，所对应的坐标分别为(a，b)(a，－b)，这两点关于实轴对称，故D错误．答案：AC10．解析：z＝(1＋2i)(2－i)＝2－i＋4i－2i2＝4＋3i，则z＝4＋3i的虚部为3，A正确，＝4－3i，||＝eq \r(42＋（－3）2)＝5，B正确，z－4＝3i，是纯虚数，C正确，＝4－3i对应的点为(4，－3)，位于第四象限，D错误．答案：ABC11．解析：z＝(a＋i)(1＋2i)＝a－2＋(1＋2a)iz为纯虚数，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2＝0,1＋2a≠0))，可得a＝2，故A正确；z在复平面内对应的点在第三象限，有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2<0,1＋2a<0))，解得a<－eq \f(1,2)，故B错误；a＝－eq \f(1,2)时，z＝＝－eq \f(5,2)；z＝时，1＋2a＝0即a＝－eq \f(1,2)，它们互为充要条件，故C正确；z＋|z|＝x＋5i(x∈R)时，有1＋2a＝5，即a＝2，故D正确．答案：ACD12．解析：z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2，所以A正确；eq \f(1,z)＝eq \f(1,a＋bi)＝eq \f(a－bi,（a＋bi）（a－bi）)＝eq \f(a,a2＋b2)－eq \f(b,a2＋b2)i，因为eq \f(1,z)∈R，所以b＝0，从而z∈R，所以B正确；z2＝(a＋bi)2＝(a2－b2)＋2abi为纯虚数，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝0,2ab≠0))，即a＝±b≠0，所以C错误；由复数模的三角不等式可得|z|＝|(z－i)＋i|≤|z－i|＋|i|＝2，所以D正确．答案：ABD13．解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为实部为0，所以a－2＝0，即a＝2.答案：214．解析：z＝eq \f(i,i2021＋2)＝eq \f(i,i＋2)＝eq \f(i（2－i）,（2＋i）（2－i）)＝eq \f(1＋2i,5)＝eq \f(1,5)＋eq \f(2,5)i∴复数z在复平面内对应的点在第一象限．答案：一15．解析：∵eq \f(1＋ai,2－i)＝eq \f(（1＋ai）（2＋i）,（2－i）（2＋i）)＝eq \f(1,5)(2－a)＋eq \f(1,5)(2a＋1)i∈R∴2a＋1＝0∴a＝－eq \f(1,2).答案：－eq \f(1,2)16．解析：eiπ＋1＝cosπ＋isinπ＋1＝－1＋1＝0，eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)i＝coseq \f(π,3)＋isineq \f(π,3)＝eeq \f(π,3)i，因此，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq \s\up12(3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(e\f(π,3)i))eq \s\up12(3)＝eπi＝cosπ＋isinπ＝－1.答案：0　－117．解析：因为z2＋az＋b＝(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝a＋b＋(2＋a)i，z2－z＋1＝(1＋i)2－(1＋i)＋1＝i，所以eq \f(z2＋az＋b,z2－z＋1)＝(2＋a)－(a＋b)i＝1－i，由复数相等，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋a＝1，,a＋b＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2.))18．解析：(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m－6＝0,m2＋2m－14>0))⇒m＝3(舍去－2).(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(lg（m2＋2m－14）<0,m2－m－6>0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(00))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－14>0,m2＋2m－15<0,m2－m－6>0))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m<－1－\r(15)或m>－1＋\r(15),－53))⇒－50，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m－6>0,m2－9＝0))，解得m＝－3；若选②：z的实部与虚部互为相反数，则m2－m－6＋m2－9＝0，解得m＝3或m＝－eq \f(5,2)；若选③：z为纯虚数，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－m－6＝0,m2－9≠0))，解得m＝－2；(2)因为|z|＝10，所以(m2－m－6)2＋(m2－9)2＝100，即(m－3)2(2m2＋10m＋13)＝100，因为m为整数，所以(m－3)2为平方数，2m2＋10m＋13为奇数，又因为100＝102×1或100＝22×25，所以验证可得m－3＝－2，即m＝1，因为m＝1，所以z＝－6－8i，所以z在复平面内对应点的坐标为(－6，－8)20．解析：由复数的几何意义可知z1＝－2＋i，z2＝a＋3i.(1)因为|z1－z2|＝eq \r(5)，所以|－2－a－2i|＝eq \r(（－2－a）2＋（－2）2)＝eq \r(5)，即(a＋1)(a＋3)＝0，解得a＝－1或a＝－3.(2)复数z＝z1·2＝(－2＋i)(a－3i)＝(－2a＋3)＋(a＋6)i.由题意可知，点(－2a＋3，a＋6)在直线y＝－x上，所以a＋6＝－(－2a＋3)，解得a＝9.21．解析：(1)设z1＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，则z2＝z1＋eq \f(1,z1)＝a＋bi＋eq \f(1,a＋bi)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(a,a2＋b2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(b,a2＋b2)))i∵z2是实数，且b≠0，∴b－eq \f(b,a2＋b2)＝0，得a2＋b2＝1，∴|z1|＝1.(2)由(1)知z2＝2a，则－1≤2a≤1，即－eq \f(1,2)≤a≤eq \f(1,2)，∴z1的实部的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).22.解析：(1)由|z＋2－2i|＝1得|z－(－2＋2i)|＝1，因此复数z对应的点Z在以z0＝－2＋2i对应的点Z0为圆心，1为半径的圆上，方程为：(x＋2)2＋(y－2)2＝1如图所示．(2)设y＝|z－2－2i|，则y是Z点到2＋2i对应的点A的距离．又∵|AZ0|＝4，∴由图知ymin＝|AZ0|－1＝3.