安徽省合肥市第四中学2023-2024学年高三数学上学期学情调研与诊断(三)试题（Word版附解析）

这是一份安徽省合肥市第四中学2023-2024学年高三数学上学期学情调研与诊断(三)试题（Word版附解析），共22页。试卷主要包含了 已知全集，集合，，则， 已知函数的部分图像大致为， ，，，则， 已知函数，给出下面三个结论， 函数的部分图象如图所示，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题（共8小题）
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合，再由交集，补集，并集的定义判断A，C，D；由集合间的关系判断B.
【详解】由，则，解得：，
所以，
由可得，即，则，
解得：，故， 故B错误；
故A或，故A错误；
或，，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
2. 若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先将条件转化为，使成立，再参变分离构造函数，转化为最值问题，求导确定最值即可求解.
【详解】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，；
令，则，则在上单增，，则.
故选：C.
3. 已知函数的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出的定义域可排除A；证明是奇函数可排除B；当且趋近于时，可排C，进而可得正确选项.
【详解】的定义域为，故排除选项A；
定义域为，关于原点对称，
，所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除选项B；
当且趋近于时，，故排除选项C，
故选：D
4. 某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户，如果教师用户人数与天数t之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布的时间，则教师用户超过30000名至少经过的天数为（ ）
（参考数据：）
A. 11B. 12C. 13D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，列出方程组求得，由不等式，结合对数的预算性质，即可求解.
【详解】由题意得，可得，
所以，则，
故，
所以教师用户超过20000名至少经过天.
故选：C
5. ，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先构造函数，通过求导判断单调性，比较出b和c的大小；再找中间值和，通过构造函数，证明，判断，构造函数，通过单调性判断，于是证明，即可求得a、b、c的大小关系.
【详解】令
则，显然
即单调递减，所以，即，.
令
则，即在上单调递增
所以，即，
所以
令
则
当时，，即在上单调递增
又，所以当时，
所以，即
即，
又，所以，即.
综上：.
故选：C.
6. 已知函数，给出下面三个结论：
①函数f（x）没有最大值，而有最小值；
②函数f（x）在区间上不存在零点，也不存在极值点；
③设，则，
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①③B. ①②C. ②③D. ①②③
【答案】B
【解析】
【分析】把函数看作点 与点 连线的斜率，结合函数的图象和导数的几何意义判断①；由函数，求导，利用导数法判断②③.
【详解】因为函数可看作点 与点 连线的斜率，
如图所示：
函数在（0，0）处的切线的斜率为，则，
所以 ，故f（x）无最大值，
当时，过原点，作的切线，y轴右侧的第一个切点为，
则，所以f（x）有最小值，故①正确；
因为函数，所以，
令，则，
当时，，则在上递减，
所以，即，
所以在上递减，又故②正确③错误，
故选：B
7. 已知△ABC满足，，则△ABC面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，利用面积公式和余弦定理表示出三角形的面积为，根据的范围即可讨论最大面积.
【详解】设，
所以，
又由余弦定理得，
所以，
由三角形的三边关系可得解得，
所以当时，面积有最大值为，
故选：B.
8. 设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A. B. C. 7D.
【答案】B
【解析】
【分析】设t为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.
【详解】设t为在上的零点，则，
所以，即点直线，
又表示点到原点距离的平方，
则，即，
令，可得，
因为，
所以，
可得在上为单调递增函数，
所以当t=0，，
所以，即最小值为.
故选：B
【点睛】解题的关键是根据的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数求解，分析、计算难度大，属难题.
二.多选题（共4小题）
9. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B. 图象的一条对称轴方程是
C. 图象的对称中心是，
D. 函数是偶函数
【答案】BD
【解析】
【分析】首先根据题意得到，再根据三角函数的性质和平移变换依次判断选项即可得到答案.
【详解】由函数的图象知：
，所以；即，解得，所以，
因为，所以，，
即，，因为，所以，.
对选项A，因为，故A错误.
对选项B，，故B正确．
对选项C，令，k∈Z，解得，，
所以的对称中心是，，故C错误．
对选项D，设，
则的定义域为R，，
所以为偶函数，故D正确.
故选：BD
10. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 是奇函数D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用赋值法，可判断A项；令，可判断B项；令并结合奇函数的定义可判断C项；令可判断D项.
【详解】因为，所以令，得，故A正确；
令，得，所以，
令，得，所以，故B错误；
令，得，又，所以，
所以函数是奇函数，故C正确；
令，得，
又，，所以，故D正确；
故选：ACD.
11. 任取多组正数，通过大量计算得出结论：，当且仅当时，等号成立．若，根据上述结论判断的值可能是（ ）
A. B. C. 5D. 3
【答案】BD
【解析】
【分析】利用已知结论求出的最大值进行判断，为此需凑出三个正数的和为定值．
【详解】根据题意可得，
当且仅当，即时，等号成立．故的最大值为4．
从而AC不可能，BD可以取．
故选：BD．
12. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】令，得到，推得为偶函数，得到的图象关于对称，再利用导数求得当时，单调递增，当时，单调递减，把不等式转化为恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数，
令，则，可得，
可得，
所以为偶函数，即函数的图象关于对称，
又由，令，
可得，所以为单调递增函数，且，
当时，，单调递增，即时，单调递增；
当时，，单调递减，即时，单调递减，
由不等式，可得，即
所以不等式恒成立，即恒成立，
所以解集为，所以且，
解得，结合选项，可得BC适合.
故选：BC.
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法设，从而得到，证明其为偶函数，则得到的图象关于对称，再结合其单调性即可得到不等式组，解出即可.
三､填空题（共4小题）.
13. 已知为锐角，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系式、两角差的正切公式求得正确答案.
【详解】由于为锐角，所以，
，
所以.
故答案为：
14. 函数的定义域为，且，，，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再结合求出即可求解作答.
【详解】函数的定义域为，由，
得，
因此函数是以3为周期的周期函数，且，即，
由，得，又，，从而，
所以.
故答案为：2
15. 已知函数，若且，则的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由且，可求得，则，然后构造函数，利用导数判断出函数在上单调递减，从而可求出的范围，进而可得的取值范围
【详解】解：，
因为且，所以，
所以，所以，所以，
所以，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：
16. 已知函数，，若，，使成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的单调性，分别求得函数和的值域构成的集合 ，结合题意，得到，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，函数在为单调递减函数，可得 ，
即函数的值域构成集合，
又由函数在区间 上单调递增，可得，
即函数的值域构成集合，
又由， ，使成立，即 ,
则满足，解得 ，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有 成立，故；
（2）若，，有 成立，故；
（3）若， ，有成立，故 ；
（4）若， ，有，则 的值域是值域的子集 ．
四､解答题（共6小题）
17. 计算求值：
（1）；
（2）已知，均为锐角，，，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）发掘角关系再利用诱导公式，降幂公式化简求值即可.
（2）先将用来表示，代入，利用两角和差公式求解即可.
【小问1详解】
【小问2详解】
∵、都为锐角，∴，
又，
∴，
，
∴
.
18. 为响应国家“降碳减排”号召，新能源汽车得到蓬勃发展，而电池是新能源汽车最核心的部件之一.湖南某企业为抓住新能源汽车发展带来的历史性机遇，决定开发生产一款新能源电池设备.生产这款设备的年固定成本为200万元，每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足45台时，万元，当年产量不少于45台时，万元.若每台设备的售价与销售量的关系式为万元，经过市场分析，该企业生产新能源电池设备能全部售完.
（1）求年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；
（2）年产量为多少台时，该企业在这一款新能源电池设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
【答案】（1）
（2）当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万
【解析】
【分析】（1）根据题目给出的函数解析式，利用收益减去成本，可得答案；
（2）根据二次函数的性质以及基本不等式，可求得最值，可得答案.
【小问1详解】
当，时，
；
当，时，
；
综上所述：
【小问2详解】
当，时，，则当时，的最大值为650；
当，时，
（当且仅当，即时等号成立）；
∴当年产量为49台时，该企业在这款新能源电池设备的生产中获利润最大，最大为701万.
19. 在中，角的对边分别为，向量，向量，且.
（1）求角的大小；
（2）设的中点为，且，求的最大值.
【答案】（1）;（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由向量共线可得到坐标间的关系，即三角形边角的关系式，结合余弦定理可求得的大小；（2）由正弦定理将边转化为三角形的内角表示，借助于三角函数单调性可求得最大值.
解：（1）因为，所以.由正弦定理可得，即.由余弦定理可知.
因为，所以.
（2）设，则在中，由，可知.由正弦定理及，有，所以，所以，从而，由，可知，所以当，即时，取得最大值.
点睛：本题是向量与解三角形的结合，解答题中的向量运算以坐标运算为主，在解三角形问题中常利用正弦定理实现边化角，利用三角函数性质求最值，利用余弦定理由边可求得角的大小.
20. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递减区间；
（2）已知中，内角的对边分别为，若边的中线长为，求面积的最大值.
【答案】（1）的最小正周期，的单调递减区间为；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式，化简得，再由三角函数的周期公式、正弦函数的肯定答案；
（2）由函数解出，利用、余弦定理，结合基本不等式解出，由此利用三角形的面积公式可得答案.
【小问1详解】
，
，
故最小正周期，
由，得，
的单调递减区间为；
【小问2详解】
由（1）得，，即，
，
又，
，
，
，当仅时取等号，
面积，
面积的最大值为.
21. 已知函数，.
（1）若存在极值，求m的取值范围.
（2）若关于x的不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，先求导，再对m进行分类讨论单调性，最后极值的概念求m的范围.
（2）)先讨论当时a的取值范围,再分离参数,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出a的取值范围.
【小问1详解】
，定义域为，
.
当时，恒成立，所以在单调递增，不存在极值.
当，令，解得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在存在一个极小值点，无极大值点.
综上所述，m的取值范围为.
【小问2详解】
由题知原不等式，可化为，
当时，恒成立，
当时，，
由（1）知当时，函数在处有最小值1，
，即，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，
综上所述，实数a的取值范围为.
【点睛】该题考查导数的综合应用，属于难题，关于恒成立问题的方法如下:
(1)若，恒成立，则只需.
(2) 若，恒成立，则只需.
(3) 若，恒成立，则只需.
(4) 若，恒成立，则只需.
(5) 若，恒成立，则只需.
(6) 若，恒成立，则只需.
(7) 若，恒成立，则只需.
(8) 若，恒成立，则只需.
22. 已知函数．
（1）若，讨论的单调性．
（2）已知关于的方程恰有个不同的正实数根．
（i）求的取值范围；
（ii）求证：．
【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导后，根据的正负可确定的单调性；
（2）（i）将问题转化为与有两个不同交点的问题，利用导数可求得的单调性和最值，从而得到的图象，采用数形结合的方式可确定的范围；
（ii）设，根据：，，采用取对数、两式作差整理的方式可得，通过分析法可知只需证即可，令，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可证得结论.
【小问1详解】
当时，，则；
令，解得：或，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减.
【小问2详解】
（i）由得：，
恰有个正实数根，恰有个正实数根，
令，则与有两个不同交点，
，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，又，
当从的右侧无限趋近于时，趋近于；当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于；
则图象如下图所示，
当时，与有两个不同交点，
实数的取值范围为；
（ii）由（i）知：，，
，，
，
不妨设，则，
要证，只需证，
，，，则只需证，
令，则只需证当时，恒成立，
令，
，
在上单调递增，，
当时，恒成立，原不等式得证.