2024省齐齐哈尔普高联谊校高三上学期期中考试数学含解析

这是一份2024省齐齐哈尔普高联谊校高三上学期期中考试数学含解析，共11页。试卷主要包含了本卷命题范围，已知函数，则的图像大致是，已知，，则下列关系正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：集合，逻辑，不等式，函数，导数占40%；三角函数及解三角形（含三角恒等变换），平面向量占60%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知角终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数，则的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．世界上最大的球形建筑是位于瑞典斯德哥尔摩的爱立信球形体育馆（瑞典语：Ericssn Glbe），在世界上最大的瑞典太阳系模型中，由该体育馆代表太阳的位置，其外形像一个大高尔夫球，可容纳16000名观众观看表演和演唱会，或14119名观众观看冰上曲棍球比赛．某数学兴趣小组为了测得爱立信体育馆的直径，在体育馆外围测得，，，（其中，，，四点共面），据此可估计该体育馆的直径大约为（ ）
（参考数据：，）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在中，，，为内角，，的对边，若，则角（ ）
A．B．C．D．
10．已知，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
11．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．的一个对称中心为
C．的一个单调递增区间为
D．可将函数的图像向右平移个单位长度得到的图象
12．设函数的定义域为，且满足，，当时，，则（ ）
A．是奇函数
B．
C．的值域是
D．方程在区间内恰有1518个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．中，已知，则___________．
14．设，且，，若定义在区间上的函数是奇函数，则的值可以是___________．（写出一个值即可）
15．已知向量，满足，，，则___________．
16．已知函数，若，则的取值范围是___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）证明：；
（2）若，求的值．
18．（12分）
已知为等边所在平面内的一点，，，且线段上存在点，使得．
（1）试确定点的位置，并说明理由；
（2）求的值．
19．（12分）
已知函数．
（1）求方程的解集；
（2）求函数在上的单调增区间．
20．（12分）
已知在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求；
（2）若的角平分线交于点，且，求面积的最小值．
21．（12分）
已知向量，，函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值．
22．（12分）
已知函数，．
（1）求函数的图象在点处的切线方程；
（2）求证：当时，．
齐齐哈尔普高联谊校高三期中考试—数学参考答案、提示及评分细则
1．C 因为，，所以由交集的定义可知．
2．A 命题“，”的否定是“，”．
3．B 由题意角终边经过点，可得，由诱导公式得．
4．D 平面向量，，则，由，则，解得．
5．C 由，而恒成立，对于，则，即在定义域上单调递增，所以时，恒成立，综上，在上，排除A、B、D．
6．A 由于函数在上是增函数，因为函数为减函数，则函数在区间上为减函数，所以，得，当时，有，得，因此实数的取值范围是．
7．B 因为，，所以，因为，当时，，所以时，有且只有两个零点，只能是0，，所以，解得，所以的取值范围为．
8．C 连接，，在中，由正弦定理知，即，解得，在中，由余弦定理得：，即，所以．
9．BD 由题得，根据余弦定理可知，所以或．
10．AC 由题知，，，A正确；因为，所以，B错误；因为，，所以，所以，C正确；，D错误．
11．ABD 由图象可知，，则可得，所以A正确；又，所以，又，所以，即；对于B，当时，，所以函数图象关于成中心对称，即B正确；对于C，由，，可得，，令，可得是函数的一个单调增区间，所以不是函数的一个单调增区间，故C错误；对于D，将函数向右平移个单位长度得到，即D正确．
12．ACD 函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以，又因为，所以，所以是奇函数，A正确；由，得，所以以4为周期，因为，所以，故B错误；因为当时，，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以．
因为为奇函数，所以当时，，因为的图象关于直线对称，
所以当时，，因为的周期为4，所以当时，，故C正确；
方程的解的个数，即的图象与的图象交点个数．因为的周期为4，且当时，与有3个交点，所以当时，与有个交点，故D正确．
13． 在中，，则，由，得，即，所以．
14．（答案不唯一，即可） 因为是奇函数，所以，即，即，解得，因为，所以，则，由，解得：，所以的定义域为的非空子集，即，所以．
15． 因为向量，满足，，，所以，又，所以，所以．
16． 易知函数是定义在上的奇函数，，当时，，所以在上单调递增，又，所以，所以，而，，所以，所以，解得或，所以，所以，，则的取值范围是．
17．（1）证明：由，整理得，
再由正弦定理可得．
（2）解：由余弦定理可得，
再由（1）可得，整理得．
令，则，即，解得，即的值为．
18．解：（1）因为，所以，
所以，
从而，
故点为靠近点的一个三等分点．
（2）因为，
所以，
，
．
19．解：（1）
，
令，则，，解得，．
故方程的解集为．
（2）令，，解得，，
当时，满足条件；当时，满足条件；
综上所述：在上的单调增区间是和．
20．解：（1）由正弦定理及，得，
由得，
所以，所以，
由于，则，所以，即．
又，所以．
（2）因为的角平分线交于点，且，
所以，
根据三角形面积公式可得，
又，得，得，当时等号成立，
所以，即的面积最小值为．
21．解：（1）由题知，
，
故最小正周期．
（2）结合（1）得
，
令，则，
所以，
即
可得，当，即时，；当，即时，．
因为存在，，对任意，有恒成立，
所以为的最小值，为的最大值，所以，，
若求的最小值，即求的最小值，
利用正弦函数的图象与性质，不妨在一个周期内取两个相邻的满足题意的自变量，
即，所以．
22．（1）解：，，
所以，，
所以函数的图象在点处的切线方程为，即．
（2）证明：因为，，
令得，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，，
由，得，则有，即，
故，即有．
又，，
由，则有，得，即，
函数在上单调递减，
当时，，时，
则，，此时，
则时，，时，，
在上单调递增，在上单调递减，
，
函数在上单调递减，，
故，即．
所以当时，．