2024六盘水纽绅中学高三上学期10月月考数学试题含解析

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注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：数列占60%，集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数、平面向量与复数、三角函数与解三角形占40%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式求得集合，求函数的定义域求得集合，由此求得.
【详解】由，解得，所以.
由得，所以，
所以.
故选：D
2. 已知复数，则的虚部为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算得到，再确定虚部得到答案.
【详解】，故，
故的虚部为.
故选：B.
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. 2B. C. D. 2023
【答案】A
【解析】
【分析】由递推式得到数列的周期，利用周期性确定.
【详解】由，，，……，
所以是周期为3的数列，故.
故选：A
4. 已知x，y为非零实数，向量，为非零向量，则“”是“存在非零实数x，y，使得”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】化简得到得到，共线且方向相同，存在非零实数x，y，使得得到，共线，得到答案.
【详解】，故，整理得到，即，
故，共线且方向相同，
存在非零实数x，y，使得，故，共线，
即“”是“存在非零实数x，y，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
5. 已知某公司第1年的销售额为a万元，假设该公司从第2年开始每年的销售额为上一年的倍，则该公司从第1年到第11年（含第11年）的销售总额为（ ）（参考数据：取）
A. 万元B. 万元C. 万元D. 万元
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得数列是首项为a，公比为的等比数列，结合等比数列的前项和公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】设第年的销售额为万元，
依题意可得数列是首项为a，公比为的等比数列，
则该公司从第1年到第11年的销售总额为万元．
故选：D
6. 已知直线与曲线相切，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数、切点、斜率、切线方程列方程来求得的值.
【详解】设切点为，
，故斜率为，
则切线方程为，
整理得，
所以，解得
故选：B
7. 设，，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式求得正确答案.
【详解】依题意，
，而，
所以.
故选：D
8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造新函数，根据新函数的奇偶性和单调性解不等式.
【详解】令，易知为奇函数且在上单调递增.
化简，
即，
所以，解得，
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为3B. 的最小正周期为
C. 的图象关于点对称D. 在上单调递增
【答案】BCD
【解析】
【分析】化简得到，验证周期对称点和单调性得到BCD正确，函数最大值为，A错误，得到答案.
【详解】
，
对选项A：函数的最大值为，错误；
对选项B：函数的最小正周期为，正确；
对选项C：，则，故的图象关于点对称，正确；
对选项D：，则，函数单调递增，正确；
故选：BCD.
10. 已知等差数列的前项和为，则（ ）
A. 数列可能是等差数列B. 数列一定是等差数列
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据等差数列的定义判断AB，根据等差数列求和公式和通项公式计算CD.
【详解】设的首项为，公差为，则，，
所以当时，即为常数列时，为等差数列，故A正确；
，所以是等差数列，故B正确；
，，所以，故C正确；
，，所以和不一定相等，故D错.
故选：ABC.
11. 已知，则（ ）
A. B.
C. D. 当时，最小值为4
【答案】ACD
【解析】
【分析】由对数化简式和对数基本运算逐一验证ABC选项即可；由换底公式和基本不等式可验证D项
【详解】由题可知，则，A正确；
由，得，
所以，B错误；
，C正确；
当时，，则
，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为4，D正确．
故选：ACD
12. 在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组，，，表示把中每个1都变为0，0，每个0都变为1，所得到的新的有序实数组，例如，则.定义，，若，则（ ）
A. 中有个1
B. 中有个0
C. 中0的总个数比1的总个数多
D. 中1的总个数为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定有序数列的定义得到，，,，，探究得到的规律，然后利用数列的知识求通项求和即可.
【详解】因，所以，，，，，
显然，，，中共有2,4,8项，其中1和0的项数相同，
，，中共有3,6,12项，其中为1，为0，
设中总共有项，其中有项1，项0，
则，，，
所以中有个1，A正确；
中有个0，B错；
，则，，，，中的总数比1的总数多，C正确；
，，，，中1的总数为，D错.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知，， 是与的等比中项，则的最小值为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据等比中项的性质得，再结合基本不等式求在最小值.
【详解】因为，， 是与的等比中项，
，则
当且仅当，且，即时等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：4
14. 在等腰直角中，，，是边上一点，且，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求得.
【详解】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，
由于，所以，由于，
所以，
，所以
故答案为：
15. 剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术.如图，原纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以通过对折、沿，裁剪、展开实现. 已知点在圆上，且，，则四边形面积为______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据角平分线得到，结合勾股定理得到，利用余弦定理得到，再计算面积得到答案.
【详解】如图所示：设圆心为，连接，，
，，故平分，，
又，解得，，，
中：，即，
解得或（舍）.
故，
故四边形的面积为.
故答案为：.
16. 已知函数的最小值为1，则的取值范围为_______________.
【答案】
【解析】
【分析】变换得到，换元构造新函数，确定单调区间，计算最值得到有解，变换得到，构造新函数，求导得到单调区间，画出图像，根据图像得到答案.
【详解】，，
设，，，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故，故有解，即，，，
即，，
设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递增；
，画出函数图像，如图所示：
根据图像知，解得或，即.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求参数的取值范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将取值范围问题转化为函数的最值问题，再利用函数图像求解是解题的关键.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知幂函数在上单调递增
（1）求的值；
（2）若函数在上单调递减，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义及幂函数的单调性即可求出符合条件的参数的值；
（2）首先对函数求导，根据函数单调性将问题转化为导函数的恒成立问题，最后根据函数恒成立求得参数的取值范围.
【小问1详解】
已知函数为幂函数，
得，解得：或；
当时，在单调递减，不符合题意；
当时，在单调递增；
综上可得：.
【小问2详解】
由（1）可知，，
，
由于在上单调递减，
所以在上恒成立；
故得，解得：.
因此得得取值范围为
18. 正项数列满足，且.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）确定数列是首项为，公差为的等差数列，计算得到答案.
（2），根据裂项求和法计算得到答案.
【小问1详解】
正项数列满足，且，故，，
同理得到，，
则数列是首项为，公差为的等差数列，即，.
【小问2详解】
，
数列的前项和.
19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量，，.
（1）求角A的大小；
（2）若为上一点，且，，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量垂直得到，计算化简得到，根据余弦定理得到答案.
（2）根据余弦定理得到，再利用均值不等式得到，计算面积得到最值.
【小问1详解】
，故，
即，故，
整理得到，即，，故.
【小问2详解】
，，故为等边三角形，即，
中：，
即，
即，当且仅当时等号成立.
.
20. 已知数列满足，.
（1）证明为等差数列，并求的通项公式；
（2）若不等式对于任意都成立，求正数的最大值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由等差数列的定义，即可证明，结合等差数列的通项公式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，将不等式变形，可得，令，由其单调性可得，即可得到结果.
【小问1详解】
因为，两边同时取倒数可得，，即，
所以，且，所以是以为首项，为公差的等差数列，且，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，则，
令，所以，
由可知，随增大而增大，只需即可，
且，所以的最大值为.
21. 已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据递推关系作差即可求解，
（2）根据错位相减法即可求和.
【小问1详解】
当时，．
当时，，
即，
当时，上式也成立，
所以．
当时，也符合，所以．
【小问2详解】
由（1）知．
，
，
则，
所以．
22. 已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围；
（2）若，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导根据单调性得到，根据函数的单调性计算最值得到答案.
（2）确定函数定义域，构造，分别求导得到函数得到单调区间，计算最大最小值得到证明.
【小问1详解】
，，
在上单调递增，故在上恒成立，
即，
设，函数在上单调递增，故，即，
故.
【小问2详解】
，，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故.
设，，则，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
，
故，即，即恒成立，得证.
【点睛】关键点睛：本题考查了根据函数的单调区间求参数，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将不等式的证明转化为求两个函数的最值是解题的关键.