北师大版八年级数学上册课件 7.5.1 三角形内角和定理

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7.5.1 三角形内角和定理平行线的性质性质定理命题证明步骤两直线平行，同位角相等根据题意画出图形根据题意写出已知及求证写出证明过程两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补知识回顾学习目标 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2.应用三角形内角和定理解决相关问题.课堂导入我们知道三角形三个内角的和等于180°. 你还记得这个结论的探索过程吗?如图，当时我们是把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置.在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起.三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？新知探究已知:如图，△ABC .求证:∠A +∠B +∠C =180°.分析：延长BC到D，过点C作射线CE∥AB，这样，就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置. 证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，则你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗?∠1=∠A( 两直线平行，内错角相等 ),∠2= ∠B( 两直线平行，同位角相等 ). 又∵∠1+∠2+∠3=180° (平角的定义),∴ ∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换).三角形内角和定理三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°.如图，△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.定理想一想在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC(如图)，他的想法可以吗?证明：如图，过点A作PQ∥BC，则∠1=∠B( 两直线平行,内错角相等 ),∠2=∠C( 两直线平行,内错角相等 ),∵∠1+∠2+∠3=180° ( 平角的定义 ),∴ ∠BAC+∠B+∠C=180° ( 等量代换 ).123PQ你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗?证明：如图，过D作DE∥AC,作DF∥AB.∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC，(两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°，(两直线平行，同旁内角相补)∴ ∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠A+∠B+∠C=180°.DEF多种方法证明的核心是什么？思考A B 12345l A C B l P m 123456借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.总结为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角等，这种转化思想是数学中的常用方法.例1 如图，在△ABC中,∠BAC=40 °,∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.解：因为AD是△ABC的角平分线， 在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣75°﹣20°=85°.例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°.由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.模型总结随堂练习1. 在△ABC中，∠A=80°,∠B-∠C=40°，则∠C= .2. ∠A=∠B+∠C，则这个三角形是 .3. 直角三角形两锐角的平分线相交所成角的度数为（ ） A.45° B.135° C.45°或135° D.都不对30°直角三角形C4 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x ＋ 15)°.所以3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.解得 x ＝ 33.所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.5. 如图，AD，AE分别为△ABC的高线和角平分线，且∠B=35°，∠C=45°，求∠DAE的度数.解：∵∠B=35°，∠C=45°且∠ B+ ∠ C+ ∠ BAC=180°，∴ ∠BAC=100°.∵AE平分∠BAC，∴ ∠BAE=50°.∵AD⊥BC，∴ ∠ADB=90°.∵ ∠B+ ∠ADB+ ∠ BAD=180°，∴ ∠BAD=55°，∴ ∠DAE= ∠BAD- ∠BAE=5° .ABCDE课堂小结内容证明三角形内角和定理的证明三角形的内角和等于180°借助平行线将三个内角拼成一个平角