广西南宁市武鸣区2023-—2024学年上学期八年级期中数学试卷

这是一份广西南宁市武鸣区2023-—2024学年上学期八年级期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
3．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定（ ）
A．三角形具有稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．三角形的两边之和大于第三边
4．（3分）图中能表示△ABC的BC边上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，则∠3的度数等于（ ）
A．20°B．30°C．50°D．80°
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．（3分）如图，在△ABC与△EDF中，∠B＝∠D＝90°，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件（ ）
A．AB＝EDB．AC＝EFC．AC∥EFD．BC＝DF
9．（3分）若等腰三角形的周长为19cm，一边长为7cm，则腰长为（ ）
A．7cmB．5cmC．7cm或5cmD．7cm或6cm
10．（3分）如图，在△ABC中，OB，过点O的直线MN∥BC，交AB，N．若MN＝6cm，则BM+CN＝（ ）
A．6B．7C．8D．9
11．（3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220°B．240°C．260°D．280°
12．（3分）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；④OC平分∠BOE，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角为 °．
14．（2分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形 边形．
15．（2分）已知△ABC≌△A1B1C1，若∠A＝50°，∠B＝80°，则∠C1的度数是 ．
16．（2分）如图，∠BAC＝30°，AB＝4，则线段BP的最小值是 ．
17．（2分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，直线MN垂直平分AB交AC于D，连接BD ．
18．（2分）如图所示，将三角形ABC沿DE折叠，已知∠A'＝50° 度．
三、解答题：（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，3），B（﹣5，﹣2），C（﹣1，0）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）计算△ABC的面积．
20．（8分）如图，已知∠1＝∠3，BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC．
21．（8分）如图△ABC，∠C＝90°．
（1）请在AC边上确定点D，使得点D到直线AB的距离DH等于CD的长（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明）；
（2）这时，△BCD≌△BHD依据是 ．
22．（10分）课前预习是学习数学最有效的方法之一，请你认真阅读以下例题的做法：
例：求证：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等角对等边”）
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
证明：作底边上的中线AD，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
在△ABD与△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B＝∠C．
请你仿照以上例题的方法，并写出求证与证明：
题目：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
已知：
求证：
证明：
23．（10分）如图，池塘两端A、B的距离无法直接测量，请同学们设计测量A、B之间距离的方案．
小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达A、B的点O，然后连接AO和BO，接着分别延长AO和BO并且使CO＝AO，最后连接CD，测出CD的长即可．
小红的方案如图②：先确定直线AB，过点B作AB的垂线BE，在BE上选取一个可以直接到达点A的点D，在线段AB的延长线上找一点C，使DC＝DA
你认为以上两种方案可以吗？请说明理由．
24．（10分）四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO．
25．（10分）已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB
（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC＝BM+CM．
26．（10分）综合与探究：
（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，直线m经过点A，BD⊥直线m，垂足分别为点D、E．小明观察图形特征后猜想线段DE、BD和CE之间存在DE＝BD+CE的数量关系，请你判断他的猜想是否正确
拓展：
（2）如图2，将探究中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请说明理由．
应用：
（3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点；连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ．
2023-2024学年广西南宁市武鸣区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣2，3）D．（2，﹣3）
【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标是（8
故选：B．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（3分）如图，一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定（ ）
A．三角形具有稳定性
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．三角形的两边之和大于第三边
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，
故选：A．
【点评】本题考查的三角形的性质，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
4．（3分）图中能表示△ABC的BC边上的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高线的定义对各选项进行判断．
【解答】解：题中需要画△ABC的BC边上的高．应当过顶点A向BC边作垂线．钝角三角形钝角两夹边的高在三角形的外部．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：熟练掌握三角形的角平分线、高和中线的定义．
5．（3分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．
【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，
则这个正多边形的边数是：360°÷40°＝9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度．
6．（3分）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，则∠3的度数等于（ ）
A．20°B．30°C．50°D．80°
【分析】根据平行线的性质求出∠4，根据三角形的外角的性质计算即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠4＝∠2＝50°，
∴∠5＝∠4﹣∠1＝20°，
故选：A．
【点评】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E．若AC＝10，DE＝4（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．
【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，
∴DC＝DE＝4，
∵AC＝10，
∴AD＝AC﹣CD＝10﹣4＝3．
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
8．（3分）如图，在△ABC与△EDF中，∠B＝∠D＝90°，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件（ ）
A．AB＝EDB．AC＝EFC．AC∥EFD．BC＝DF
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°，∠A＝∠E，
当AB＝ED时，可根据“ASA”判断△ABC≌△EDF；
当AC＝EF时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EDF；
当BC＝DF时，可根据“AAS”判断△ABC≌△EDF．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形全等的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
9．（3分）若等腰三角形的周长为19cm，一边长为7cm，则腰长为（ ）
A．7cmB．5cmC．7cm或5cmD．7cm或6cm
【分析】分两种情况讨论：当7cm为腰长时，当7cm为底边时，分别判断是否符合三角形三边关系即可．
【解答】解：当7cm为腰长时，底边为5cm；
当4cm为底边时，腰长为6cm；
故腰长为7cm或4cm，
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，解决问题的关键是分类思想的运用．
10．（3分）如图，在△ABC中，OB，过点O的直线MN∥BC，交AB，N．若MN＝6cm，则BM+CN＝（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，然后即可求得结论．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，
∵MN∥BC，
∴∠OBC＝∠MOB，∠NOC＝∠OCB，
∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠OCN，
∴BM＝MO，ON＝CN，
∴BM+CN＝MO+ON＝MN＝6（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
11．（3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（ ）
A．220°B．240°C．260°D．280°
【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果．
【解答】解：连接BD，
∵∠BCD＝100°，
∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE＝360°﹣∠CBD﹣∠CDB＝360°﹣80°＝280°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形．
12．（3分）如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，则下列结论要：①AE＝BD；②AG＝BF；④OC平分∠BOE，其中结论正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】首先根据等边三角形的性质，得到BC＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠BCD＝60°，然后由SAS判定△BCD≌△ACE，根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确；又由全等三角形的对应角相等，得到∠CBD＝∠CAE，根据ASA，证得△BCF≌△ACG，即可得到②正确，同理证得CF＝CG，得到△CFG是等边三角形，易得③正确．
【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC＝AC，CD＝CE，
∴∠ACB+∠ACD＝∠ACD+∠ECD，∠ACD＝60°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE＝BD，①正确；
∠CBD＝∠CAE，
∵∠BCA＝∠ACG＝60°，AC＝BC，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG＝BF，②正确；
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF＝CG，
∴△CFG是等边三角形，
∴∠CFG＝∠FCB＝60°，
∴FG∥BE，③正确；
过C作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠AEC，
∵CD＝CE，∠CND＝∠CMA＝90°，
∴△CDN≌△CEM，
∴CM＝CN，
∵CM⊥AE，CN⊥BD，
∴△Rt△OCN≌Rt△OCM（HL）
∴∠BOC＝∠EOC，
∴OC平分∠BOE，④正确；
故选：D．
【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质．此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，合理应用数形结合思想．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）等腰三角形的一个顶角是80°，则它的底角为 50 °．
【分析】依据三角形的内角和是180°以及等腰三角形的特点即可解答．
【解答】解：（180°﹣80°）÷2，
＝100°÷2，
＝50°；
所以，底角为50°．
故答案为：50．
【点评】此题主要考查三角形的内角和定理及等腰三角形的两个底角相等的特点．
14．（2分）若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形 8 边形．
【分析】首先设这个多边形的边数为n，由n边形的内角和等于180°（n﹣2），即可得方程180（n﹣2）＝1080，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：180（n﹣2）＝1080，
解得：n＝8，
故答案为：6．
【点评】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用．
15．（2分）已知△ABC≌△A1B1C1，若∠A＝50°，∠B＝80°，则∠C1的度数是 50° ．
【分析】先根据三角形内角和计算出∠C的度数，然后根据全等三角形的性质得到∠C1的度数．
【解答】解：∵∠A＝50°，∠B＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°，
∵△ABC≌△A1B1C6，
∴∠C1＝∠C＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等．
16．（2分）如图，∠BAC＝30°，AB＝4，则线段BP的最小值是 2 ．
【分析】根据垂线段最短得：当BP⊥AC时，线段BP的值最小，从而可得结论．
【解答】解：由题意得：当BP⊥AC时，线段BP的值最小，
∵∠BAC＝30°，AB＝4，
∴BP＝AB＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了垂线段的性质，含30度角的直角三角形等，解题关键是能够熟练运用各性质解决问题．
17．（2分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝10，直线MN垂直平分AB交AC于D，连接BD 16 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质，即可求得AD＝BD，又由△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC，即可求得答案．
【解答】解：∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵AB＝AC＝10，
∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝10，
∴△BCD的周长＝AC+BC＝10+6＝16，
故答案为：16．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，比较简单，注意数形结合思想与转化思想的应用．
18．（2分）如图所示，将三角形ABC沿DE折叠，已知∠A'＝50° 100 度．
【分析】由折叠的性质，可得出∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∠A＝∠A′＝50°，在△ADE中，利用三角形内角和定理，可得出∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A，结合∠1+∠A′DE+∠ADE＝180°，∠2+∠A′ED+∠AED＝180°，可得出∠1+∠2＝2∠A，再代入∠A的度数，即可求出结论．
【解答】解：根据折叠的性质，可知：∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′＝50°．
在△ADE中，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A．
又∵∠1+∠A′DE+∠ADE＝180°，∠2+∠A′ED+∠AED＝180°，
∴∠5+2∠ADE+∠2+8∠AED＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣6（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A＝8×50°＝100°．
故答案为：100．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
三、解答题：（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）如图，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣3，3），B（﹣5，﹣2），C（﹣1，0）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）计算△ABC的面积．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用分割法求解即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C8即为所求作．
（2）S△ABC＝4×5﹣×2×2﹣×2×7＝8．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．（8分）如图，已知∠1＝∠3，BC＝CE，求证：△ABC≌△DEC．
【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．
【解答】证明：∵∠1＝∠3，
∴∠6+∠2＝∠3+∠4，
∴∠ACB＝∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
【点评】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．结合图形做题，由∠1＝∠3得∠ACB＝∠DCE是解决本题的关键．
21．（8分）如图△ABC，∠C＝90°．
（1）请在AC边上确定点D，使得点D到直线AB的距离DH等于CD的长（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明）；
（2）这时，△BCD≌△BHD依据是 AAS ．
【分析】（1）作∠ABC的角平分线交AC于点D，作DH⊥AB，点D即为所求；
（2）根据AAS证明三角形全等．
【解答】解：（1）如图，点D即为所求；
（2）由作图可知∠CBD＝∠HBD，
在△BCD和△BHD中，
，
∴△BCD≌△BHD（AAS）．
故答案为：AAS．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22．（10分）课前预习是学习数学最有效的方法之一，请你认真阅读以下例题的做法：
例：求证：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等角对等边”）
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC．
求证：∠B＝∠C．
证明：作底边上的中线AD，
∵AD是中线，
∴BD＝CD，
在△ABD与△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B＝∠C．
请你仿照以上例题的方法，并写出求证与证明：
题目：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）
已知：
求证：
证明：
【分析】根据题意写出已知和证明，然后过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据AAS证明△ABD≌△ACD求解即可．
【解答】解：已知：如图，在△ABC中．
求证：AB＝AC．
证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确理解题意、作出合适的辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
23．（10分）如图，池塘两端A、B的距离无法直接测量，请同学们设计测量A、B之间距离的方案．
小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达A、B的点O，然后连接AO和BO，接着分别延长AO和BO并且使CO＝AO，最后连接CD，测出CD的长即可．
小红的方案如图②：先确定直线AB，过点B作AB的垂线BE，在BE上选取一个可以直接到达点A的点D，在线段AB的延长线上找一点C，使DC＝DA
你认为以上两种方案可以吗？请说明理由．
【分析】分别证明△ABO≌△CDO（SAS），Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），即可解决问题．
【解答】解：以上两种方案可以，理由如下：
甲同学方案：
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD；
乙同学方案：
在Rt△ABD和Rt△CBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），
∴AB＝BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的应用，解决本题的关键是得到△ABO≌△CDO和Rt△ABD≌Rt△CBD．
24．（10分）四边形ABCD中，AD＝BC，BE＝DF，CF⊥BD，垂足分别为E、F．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO＝CO．
【分析】（1）根据已知条件得到BF＝DE，由垂直的定义得到∠AED＝∠CFB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE＝∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵BE＝DF，
∴BE﹣EF＝DF﹣EF，
即BF＝DE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，
在Rt△ADE与Rt△CBF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△CBF；
（2）如图，连接AC交BD于O，
∵Rt△ADE≌Rt△CBF，
∴∠ADE＝∠CBF，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（10分）已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB
（1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC＝BM+CM．
【分析】（1）如图作DN⊥AC于N．根据角平分线的性质定理可得DM＝DN＝2，由此即可解决问题；
（2）由Rt△CDM≌Rt△CDN，推出CN＝CM，由Rt△ADN≌Rt△BDM，推出AN＝BM，由此即可解决问题；
【解答】（1）解：如图作DN⊥AC于N．
∵DC平分∠ACP，DM⊥CP，
∴DM＝DN＝2，
∴S△ADC＝•AC•DN＝．
（2）∵CD＝CD，DM＝DN，
∴Rt△CDM≌Rt△CDN（HL），
∴CN＝CM，
∵AD＝BD，DN＝DM，
∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），
∴AN＝BM，
∴AC＝AN+CN＝BM+CM
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
26．（10分）综合与探究：
（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，直线m经过点A，BD⊥直线m，垂足分别为点D、E．小明观察图形特征后猜想线段DE、BD和CE之间存在DE＝BD+CE的数量关系，请你判断他的猜想是否正确
拓展：
（2）如图2，将探究中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问探究中的结论是否成立？如成立，请说明理由．
应用：
（3）如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点；连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC 等边三角形 ．
【分析】（1）根据垂直的定义得到∠BDA＝∠CEA＝90°，根据等角的余角相等得到∠CAE＝∠ABD，根据“AAS”证明△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到AE＝BD，AD＝CE，结合图形得到DE＝BD+CE；
（2）根据∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得到∠BAD＝∠ACE，由AAS定理证明△BAD≌△ACE，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，DA＝CE，得出结论；
（3）根据等边三角形的性质得到∠BAC＝120°，证明△BAD≌△ACE，得到BD＝AE，证明△BDF≌△AEF，得到DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，求出∠DFE＝60°，根据等边三角形的判定定理得到答案．
【解答】解：（1）结论：DE＝BD+CE．理由：如图1，
∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）（1）中结论成立，
理由如下：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠DBA＝∠CAE，
在△ADB和△CEA中，
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）结论：△DEF是等边三角形．
理由：如图4，由（2）可知，
∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠EAF，
在△DBF和△EAF中，
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．