初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转23.1 图形的旋转导学案

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十三章 旋转23.1 图形的旋转导学案，共12页。学案主要包含了重要考点目录，重要考点讲解，知识精讲，典例精讲，能力提升，问题解决，类比探究等内容，欢迎下载使用。
模块1：旋转的性质
模块2：旋转构造全等图象
模块3：综合题型
【重要考点讲解】
模块1：旋转的性质
【知识精讲】
【典例精讲】
例题1．（1）（2023•天津）如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
（2）（2022•贵港）如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数是 ．
（3）（2023•无锡）如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于．当时，点恰好落在上，此时等于
A．B．C．D．
（4）（2022•潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形绕原点逆时针旋转，再沿轴方向向上平移1个单位长度，则点的坐标为 ．
（5）（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是
A．，B．C．D．，
（6）（2019•梧州）如图，在菱形中，，，将菱形绕点逆时针方向旋转，对应得到菱形，点在上，与交于点，则的长是 ．
（7）（2021•南京）如图，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点．若，，，则的长为 ．
【能力提升】
例题2．（1）（2021•桂林）如图，正方形的边长为2，将正方形绕点逆时针旋转角得到正方形，连接，当点恰好落在线段上时，线段的长度是 ．
（2）（2020•梧州）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，且，与交于点，则 ．（结果保留根号）
（3）（2021•巴中）如图，把边长为3的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，与交于点，的延长线交于点，交的延长线于点．若，则 ．
模块2：旋转构造全等图象
【知识精讲】
【典例精讲】
例题3．（1）（2019•广元）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的值是 ．
（2）（2017•贵港）如图，点在等边的内部，且，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的值为 ．
（3）（2020•孝感）如图，点在正方形的边上，将绕点顺时针旋转到的位置，连接，过点作的垂线，垂足为点，与交于点．若，，则的长为
A．B．C．4D．
（4）（2023•宁夏）如图，在中，，，．点在上，且．连接，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是
A．B．C．D．
【能力提升】
例题4．（1）（2018•淄博）如图，为等边三角形内的一点，且到三个顶点，，的距离分别为3，4，5，则的面积为
A．B．C．D．
（2）（2023•内蒙古）如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转，得到△．连接，交于点，则的值为 ．
（3）（2022•眉山）如图，四边形为正方形，将绕点逆时针旋转至，点，，在同一直线上，与交于点，延长与的延长线交于点，，．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
模块3：综合题型
【典例精讲】
例题5．（2014•河南）（1）探究发现
下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
如图1，在等边三角形内部有一点，，，．求的度数．
解：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．
，，，
为 三角形
的度数为 ．
（2）类比延伸
如图2，在正方形内部有一点，若，试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由．
（3）联想拓展
如图3，在中，，．点在直线上方且，试判断是否存在常数，满足．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
例题6．（2023•随州）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕点顺时针旋转得到△，连接，
由，，可知为 三角形，故，又，故，
由 可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，
且有 ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 点．
（2）如图4，在中，三个内角均小于，且，，，已知点为的“费马点”，求的值；
（3）如图5，设村庄，，的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建一中转站沿直线向，，三个村庄铺设电缆，已知由中转站到村庄，，的铺设成本分别为元，元，元，选取合适的的位置，可以使总的铺设成本最低为 元．（结果用含的式子表示）
第1讲：旋转（一）课后巩固
1．（2023•通辽）如图，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数为
A．B．C．D．
2．（2022•包头）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到△，其中点与点是对应点，点与点是对应点．若点恰好落在边上，则点到直线的距离等于
A．B．C．3D．2
3．（2020•广西）以原点为中心，把点 逆时针旋转得到点，则点的坐标为 ．
4．（2022•阜新）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ．
5．（2022•张家界）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为
A．B．C．D．
6．（2016•达州）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若，，，则四边形的面积为 ．
7．（2018•镇江）如图，中，，，将绕点按顺时针方向旋转，点对应点落在的延长线上．若，则 ．
8．（2020•张家界）如图，正方形的边长为1，将其绕顶点按逆时针方向旋转一定角度到如图所示的位置，使得点落在对角线上，则阴影部分的面积是 ．
9．（2023•益阳）如图，在正方形中，，为的中点，连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，则的长为 ．
10．（2021•大庆）如图，是线段上除端点外的一点，将绕正方形的顶点顺时针旋转，得到．连接交于点．下列结论正确的是
A．B．C．D．
11．（2018•桂林）如图，在正方形中，，点在的边上，且，与关于所在的直线对称，将按顺时针方向绕点旋转得到，连接，则线段的长为
A．3B．C．D．
12．（2022•辽宁）如图，在正方形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为的中点．连接，则的值为 ．
13．（2018•烟台）【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点是正方形内一点，，，．你能求出的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将绕点逆时针旋转，得到△，连接，求出的度数；
思路二：将绕点顺时针旋转，得到△，连接，求出的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图2，若点是正方形外一点，，，，求的度数．
旋转的性质
示例剖析
旋转的本质是全等变换，旋转前的图形与旋转后所得图形是全等图形：
①对应点到旋转中心的距离不变；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
③旋转前后的图形全等；
④对应线段所在直线所成角等于旋转角．
如图，将绕着逆时针旋转得，的延长线交于，则：
①，，；
②；
③；
④．
旋转构造全等基本图形
必备条件：共顶点，等线段
等边中，将绕着点逆时针旋转至
等腰直角中，将绕着点逆时针旋转至
正方形中，将绕着点逆针逆时旋转至；将绕着点顺时针旋转至