永州市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份永州市第一中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
2、复数是纯虚数,则( )
A.B.C.D.3
3、已知,则的值是( )
A.B.C.D.
4、如图所示,在中,,则( )
A.B.C.D.
5、已知,,,若,,共面,则等于( )
A.B.9C.D.3
6、已知点,,过点的直线l与线段AB相交,则l的斜率的取值范围为( )
A.B.C.D.
7、设,是双曲线的左､右焦点,过点作双曲线的一条渐近线的垂线,垂足为M.若,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.3D.
8、已知函数是奇函数且满足,当,时,恒成立,设,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知函数的一个零点为,则( )
A.
B.的最大值为1
C.在区间上单调递增
D.的图象可由曲线向右平移个单位长度得到
10、设抛物线的顶点为O,焦点为F.点M是抛物线上异于O的一动点,直线OM交抛物线的准线于点N,下列结论正确的是( )
A.若,则B.若,则O为线段MN的中点
C.若,则D.若,则
11、椭圆有如下的光学性质,从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射,反射光线经过另一个焦点.现椭圆C的焦点在x轴上,中心在坐标原点,从左焦点射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点.一束光线从射出,经椭圆镜面反射至,若两段光线总长度为4,且椭圆的离心率为,左顶点和上顶点分别为A,B.则下列说法正确的是( )
A.椭圆的标准方程为
B.若点P在椭圆上,的最大值为
C.若点P在椭圆上,则的最大值为
D.过直线上一点分别作椭圆切线,交椭圆于P,Q两点,则直线PQ恒过定点
12、菱形ABCD的边长为a,且,将沿BD向上翻折得到,使二面角的余弦值为,连接PC,球O与三棱锥的6条棱都相切,下列结论正确的是( )
A.平面BCD
B.球O的表面积为
C.球O被三棱锥表面截得的截面周长为
D.过点O与直线PB,CD所成角均为的直线可作4条
三、填空题
13、在一次篮球比赛中,某支球队共进行了8场比赛,得分分别为29,30,38,25,37,40,42,32,那么这组数据的第75百分位数为________.
14、已知直线过定点A且该点在抛物线上,则p的值为________.
15、点A是圆上的一个动点,点,当点A在圆上运动时,线段AB的中点P的轨迹方程为________.
16、已知函数,若关于x的方程有4个不同的解,记为,,,(),且恒成立,则的取值范围是________.
四、解答题
17、在锐角中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角B;
（2）若,的面积为,求b.
18、已知圆的圆心为,圆:的圆心为,动圆M与圆和圆均外切,记动圆M圆心的轨迹为曲线.
（1）求C的方程;
（2）若P是C上一点,且,求的面积.
19、如图,在长方体中,,和交于点E,F为AB的中点.
（1）求证:平面;
（2）已知与平面所成角为,求
(ⅰ)平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值;
(ⅱ)点A到平面CEF的距离.
20、多项选择题是高考的一种题型,其规则如下:有多项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.现高二某同学正在进行第一次月考,做到多项选择题的11题和12题.该同学发现自己只能全凭运气,在这两个多项选择题中,他选择一个选项的概率是,选择两个选项的概率是,选择三个选项的概率是.已知该同学做题时题目与题目之间互不影响且第11题正确答案是两个选项,第12题正确答案是三个选项.
（1）求该同学11题得5分的概率;
（2）求该同学两个题总共得分不小于7分的概率.
21、已知圆C过点,,且圆心C在直线上.
（1）求圆C的方程;
（2）若从点发出的光线经过直线反射,反射光线恰好平分圆C的圆周,求反射光线所在直线的方程.
22、已知P为圆上任一点,,,,且满足.
（1）求动点Q的轨迹的方程;
（2）直线与轨迹相交于A,B两点,与x轴交于点,过AB的中点且斜率为的直线与x轴交于点E,记,若,求的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析:由存在量词命题的否定是全称量词命题可知,
命题“,”的否定是,,.
故选:C.
2、答案：B
解析:因为是纯虚数,
则,解得,
故选:B.
3、答案：B
解析:.
4、答案：A
解析:如图,在中,,
则
故选:A.
5、答案：A
解析:由题意知,存在x,y使得,
,
,解得
故答案选:A.
6、答案：D
解析:如图所示:
,,
由图象知:当l的斜率不存在时,直线与线段AB相交,
故l的斜率的取值范围为
故选:D.
7、答案：A
解析:
8、答案：B
解析:因为,
所以函数的图象关于直线对称,
又因为函数是奇函数,
故函数关于对称,
所以,
故,
所以函数的周期为,
当,时,恒成立,
即当时,
,
即,
所以函数在上为单调增函数,
因为函数是奇函数,
所以函数在上为单调增函数,
因为,,
因为,
所以,故.
故选:B.
9、答案：BD
解析:由题意,函数,即,,
解得,,
又,
故,可得,
所以,
选项A,
,错误;
选项B,,可得的最大值为1,正确;
选项C,当,,结合正弦函数的单调性,函数先单调递减,后单调递增,错误;
选项D,向右平移个单位可得,正确.
故选:BD.
10、答案：ABD
解析:
11、答案：ABD
解析:
12、AC
解析:在菱形ABCD中,连接AC,则,设AC,BD交于E,如图,
即为二面角的平面角,即,
,
为正三角形,即,为正三角形,
,
,
,
三棱锥是棱长为a的正四面体,将该四面体补成正方体,四面体的各棱为正方体的面对角线,
则正方体棱长为,
球O与三棱锥的6条棱相切,则O点即为正方体的中心,
连接PM,则O为正方体体对角线PM的中点,
平面MBNC,平面MBNC,,
,,
平面PMN,
平面PMN,
,同理可证,,
平面BCD,即平面BCD,故A正确;
球O与三棱锥的6条棱都相切,
球O即为正方体的内切球,球的直径为正方体棱长为,则球半径为,
球O的表面积为,故B错误;
球O被平面截得的截面圆为正三角形BCD的内切圆,
,故正三角形BCD的内切圆半径为,
内切圆周长即为球O被平面截得的截面周长为,
球O被三棱锥表面截得的截面周长为,故C正确;
连接HM,,,四边形PHMB是平行四边形,
,
,
,取空间一点S,作PB,CD的平行线,,如图,
则和,所成角均为的直线即为它们形成的角的角平分线,,假设平面过且垂直于且垂直于,所确定的平面,当绕点S且在内转动时,直线l与,所成角相等,但会变大,大于,
在,所确定的平面外过点S不存在直线l与,所成角为,
过点O与直线PB,CD所成角均为的直线可作2条,故D错误.
故选:AC.
13、答案：39
解析:将8场比赛得分按从小到大的顺序排列为:25,29,30,32,37,38,40,42,
又,
则这组数据的第75百分位数为
故答案为:39.
14、答案：2
解析:直线,即,联立,可得,即,又点A在抛物线上,故,可得.
故答案为:2.
15、答案：
解析:设,,
则,,
所以,,
又点A在圆上,则,即,
所以线段AB的中点P的轨迹方程为.
故答案为:.
16、答案：
解析:由,可得,
当时,,,
当时,
当时,,
当时,,
作出函数的图象如图:
则可得,
因为,
所以,
所以,所以,,,
因为恒成立,所以,
所以,
对任意恒成立,
即,当时等号成立,
故的取值范围是.
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）
解析:（1）在中,根据正弦定理可得,
因为,所以,即,
因为为锐角三角形,所以.
（2）由第一问知,
所以,所以,
根据余弦定理得:,
代入数据得:.
18、答案：（1）
（2）24
解析:（1）设动圆M的半径为,因为圆M与圆和圆均外切,
所以,,
则,
根据双曲线的定义可知,M的轨迹是以,为焦点的双曲线的一支.
设方程为,
由,又,
所以,
所以C的方程为.
（2）设,则.
因为.所以,
即,解得或（舍去）.
故的面积为:.
19、答案：（1）见解析
（2）1
解析:（1）连接,,BD.
因为长方体中,且,
所以四边形为平行四边形.所以E为的中点,
在中,因为E,F分别为和AB的中点,所以.
因为平面,平面,所以平面.
（2）与平面所成角为.连接.
因为长方体中,平面,平面,
所以.所以为直线与平面所成角,即.
所以为等腰直角三角形.
因为长方体中,所以.所以.
如图建立空间直角坐标系,因为长方体中,,
则,,,,
,,.
所以,,.
设平面的法向量为,则,即.
令,则,,可得.
设平面BCE的法向量为,则,即.
令,则,,所以.
设平面CEF与平面BCE的夹角为,则.
所以平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为.
因为,所以点A到平面CEF的距离为.
20、答案：（1）
（2）
解析:（1）根据题意,11题得5分需满足选两个选项且选对,
选两个选项共有6种情况AB,AC,AD,BC,BD,CD.
所以.
（2）总得分不低于7分共3种情况,它们分别是:第11题得5分且第12题得2分;第11题得2分且第12题得5分;第11题得5分且第12题得5分,
记事件:11题得2分,满足选了一个选项且选对;
事件:11题得5分,满足选了两个选项且选对;
事件:12题得2分,满足选了一个选项且选对或选了两个选项且选对;
事件:12题得5分,满足选了三个选项且选对.
则;;
;;
.
21、答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）,则AB的垂直平分线的斜率为,中点为,
故AB的垂直平分线为,,解得,即圆心为,
圆的半径,故圆C方程为.
（2）反射光线恰好平分圆C的圆周,故反射光线过圆心,
设关于直线对称的点为,
则,且,解得,即,
,
故反射光线为,即.
22、答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）如图,由,可得,
因为,所以,
所以动点Q的轨迹是以M,N为焦点,长轴长为的椭圆,
所以动点Q的轨迹的方程为.
（2）直线l的方程为,联立
消去y并整理,得,,
设,,则,,
又,可得线段AB的中点坐标为,
所以线段AB垂直平分线的方程为,
令,可得,
对于直线,令,可得,
所以,
又,
所以,
令,则,
,当时,,所以在上单调递增,
所以,则.