福建省宁德市2023届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省宁德市2023届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若( )
A.B.C.D.
2、设集合,,则( )
A.B.C.D.
3、已知,且,则( )
A.B.C.－D.
4、1935年美国物理学家、地震学家里克特,为了解决大尺度问题的压缩,设计了一种度量方式：里克特震级,简称里氏震级,后来经同行古登堡的改进和完善,得到了震级的计算公式,其中A是被测地震的最大振幅,是标准地震的振幅,并通过研究得出了地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系,．请问9.0级地震释放的能量是3.0级地震的约多少倍？( )
A.B.C.D.
5、已知函数,则“有极值”是( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6、函数的部分图象大致为( )
A.B.
C.D.
7、设,,,则a,b,c,d的大小关系为( )
A.B.
C.D.
8、对于数列{},若对任意,都有,则称该数列{}为“凸数列”．设,若,,,……,是凸数列,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知函数及其导函数,若存在使得,则称是的一个“巧值点”,下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A.B.
C.D.
10、已知正数a,b满足,则下列不等式中一定成立的是( )
A.B.
C.D.
11、声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数,纯音的数学模型是函数,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音,若一个复合音的数学模型函数,其图象是由的图象向右平移个单位长度,再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的倍,再把所得图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍而得到,若,则下列结论正确的是( )
A.的图像关于点中心对称
B.在单调递减
C.若一个奇函数的图象向左平移个单位长度后,可得的图象,则n的最小值为
D.若在有解,则k的取值范围是
12、已知函数及其导函数定义域均为R,为奇函数,,,则( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13、曲线在原点处的切线方程为____________．
14、已知角的顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点．将角的终边绕O点顺时针旋转后得到角的终边,则__________．
15、已知数列中,,）,则数列的前n项和的最小值为____________．
四、解答题
16、已知函数,对都有,且是的一个零点．
（1）若的周期大于,则___________;
（2）若在上有且只有一个零点,则的最大值为__________．
17、在①;②,,,成等比数列;③;这三个条件中任选一个,补充在下面试题的空格处中并作答．
已知是各项均为正数,公差不为0的等差数列,其前n项和为,且___________．
（1）求数列的通项公式;
（2）定义在数列中,使为整数的叫做“调和数”,求在区间内所有“调和数”之和．
18、如图,四棱锥的底面ABCD为平行四边形,E为线段AD的中点,,,,平面PBE．
（1）证明：平面ABCD;
（2）当AD为多少时,平面PBE与平面PCD所成的二面角为．
19、锐角内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．
（1）求B;
（2）若,D为AC的中点,求BD的取值范围．
20、已知函数．
（1）讨论的单调性;
（2）若0,求a的取值范围．
21、根据《中华人民共和国道路交通安全实施条例》第78条规定,高速公路应当标明车道的行驶速度,某高速公路标明,正常行驶车辆的最高车速不能超过120km/h,最低车速不能低于60km/h,设计该高速公路时,还要求安全车距S（单位：米）应随着车速v（单位km/h）的增大而增大,且满足关系,（单位：米）表示该高速公路的最小车距是定值．
（1）求最小车距;
（2）若车速v（单位：km/h）与每小时车流量Q满足关系,则这条高速公路每小时车流量最大时,安全车距S至少为多少米？
22、已知函数．
（1）若,求函数零点;
（2）若,证明：．
参考答案
1、答案：C
解析：.故选:C.
2、答案：D
解析：由,解得 或,
则,
由,解得,
故,
故选:D.
3、答案：A
解析：由已知得,又因为,
故.
故管案为:A.
4、答案：D
解析：
5、答案：B
解析：
6、答案：A
解析：,排除C选项.
因为,所以函数的定义域为R,
所以函数是偶函数, 排除D选项.
,所以B错误.
故选A.
7、答案：D
解析：在R上是减函数,
又,,
即
在R上是减函数;
又,
,
即;
,
又在上是增函数,
故;
故选:D.
8、答案：D
解析：
9、答案：AB
解析：对于A:,
由得:,符合题意,A正确;
对于B:, 由得:,B正确;
对于C:,由 得:,无解, C错误;
对于D:,由得:, 而,故无解,D错误.
故选:AB.
10、答案：ACD
解析：正数a,b满足,
,故A正确;
,故B错误;
,故C正确;
选项D,由基本不等式,则,故D正确;
故选:ACD.
11、答案：ACD
解析：
12、答案：BC
解析：因为为奇函数,
则,
因为,
,
则,
故可得,
故关于对称,;
又为奇函数,所以为偶函数,
所以周期为8,
所以,C正确;
又,对等式两边求导,
所以 关于对称, 所以周期为8.
所以,B正确.
又AD选项均无法求出确定值,
故选:BC.
13、答案：
解析：由,得 ,
,则曲线在原点处的切线方程为.
故答案为:.
14、答案：3
解析： 角的顶点在坐标原点O ,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点,.
将角的终边绕O点顺时针旋转 后得到角的终边,
,
故答案为:3.
15、答案：
解析：
16、答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意可得,
解得,
由的周期大于,则,即,
当时,,不符合题意,舍去;当,时,,符合题意.
（2）由在上有且只有一个零点,则方程在上有且只有一个根,
因为,所以在上有且只有一个,使得函数取得最大值,则,解得,
由（1）可知,令,则,且,故k,同奇偶,
由,则,解得,即,
当时,,k为奇数,则,即,
由,则,当或,
即或时,函数取得最大值,不符合题意;
当时,,k为偶数,则,即,
由,则,当,即时,函数取得最大值,符合题意.
故答案为：,.
17、答案：（1）
（2）1086
解析：选①因为,
所以当时,,
当,时,
因为是各项均为正数,公差不为0的等差数列,
所以,.
选②因为,,成等比数列,
所以,
因为是各项均为正数,公差不为0的等差数列,设其公差为d,
所以,
所以,
所以.
选③因为,
所以当时,．
所以,
所以或,
因为是各项均为正数的等差数列,
所以,
又当时,,
所以,所以,
所以,所以或（舍去）,
其公差,
所以.
(2)设,所以,
令,且b为整数,
又由,,,,
所以b可以取1,2,3,4,5,6,
此时分别为,,,,,
所以区间内所有“调和数”之和
.
18、答案：（1）证明见解析
（2）
解析：(1)因为平面PBE,平面PBE,
所以,
在中,由正弦定理得,
又,,,
所以,又为的内角,
所以,即,
又,,BE、平面ABCD,
所以平面ABCD.
(2)由（1）知EA、EB、EP两两相互垂直,
以点E为坐标原点,EA、EB、EP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标,
设,则、、、,
所以,,
设平面PCD的法向量为,
所以,所以,
取,可得,
由已知得平面PBE,所以为平面PBE的法向量,
所以,解得．
所以．
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
由正弦定理可得．
因为,即,
所以．
所以,
所以,
因为,所以,
所以,又,
所以.
（2）因为D为AC的中点,所以,
所以,
由（1）知,又,
所以．,
因为为锐角三角形,所以,
由余弦定理可得,
又,
所以,解得
,,,
,
所以,
所以BD的取值范围是.
20、答案：（1）答案见解析;
（2）
解析：（1）因为
①当时,,在R上单调递增;
②当时,令,得,
,,在上单调递减;
,,在上单调递增．
③当时,令,得
,,在上单调递减;
,,在上单调递增．
(2)①当时,,符合题意．．
②当时,由（1）得在上单调递减,在上单调递增,
若,则
所以
解得：
③当时,由（1）得在上单调递减,
在上单调递增,
若,则
所以
所以：
综上：．
21、答案：（1）50
（2）这条高速公路每小时车流量最大时,车距S至少为米
解析：(1)由题意当时时,,
所以,
所以或（舍去）,
所以最小车距
(2)因为,
所以．
令,得或（舍去）
,在上单调递增;
,,在上单调递减．
所以,当时,．
此时．
这条高速公路每小时车流量最大时,车距S至少为米．
22、答案：（1）1
（2）证明见解析
解析：(1)若,则,
所以,令,得
,,在上单调递增;
,,在上单调递减;
又
所以,,;,
所以函零点为1.
(2)证明：由,所以,所以．
要证,即证
下面证明：,
①当时,由（1）可得,当且仅当时取等号
又,当且仅当时取等号
所以时,．
②当时,设,
所以在单调递增,
所以,即
又,且
所以,所以．
③当时,由（1）得在单调递减
所以
又
所以
综上所述,
所以,.