广东省肇庆市德庆中学教育集团2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（学生版+教师版）

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本试卷共4页，23题，满分120分，考试用时90分钟．
注意事项：
1.本试卷分为试题卷和答题卡两部分．请将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效．
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的选项标号涂黑．
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图，再用黑色字迹的钢笔或签字笔描黑．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. B. =1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程定义一一判定即可．
【详解】解：A、，是一元二次方程，故正确；
B、=1，是分式方程，故不正确；
C、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故不正确；
D、，加上才是一元二次方程，故不正确．
故选：A
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，掌握一元二次方程概念是解题的关键．
2. 中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项错误；
B、不是中心对称图形，故该选项错误；
C、是中心对称图形，故该选项正确；
D、不是中心对称图形，故该选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3. 对于抛物线，下列说法正确的是( )
A. 开口向下，顶点坐标B. 开口向上，顶点坐标
C. 开口向下，顶点坐标D. 开口向上，顶点坐标
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：对于抛物线，，则抛物线开口向上，顶点坐标为
故选：B．
4. 平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是．
故选：C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为
A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣2
【答案】A
【解析】
【分析】利用方程解的定义就可以得到关于的方程，从而求得的值．
【详解】解：关于的方程的一个根为，
，
解得．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．解题的关键是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
6. 把抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，利用抛物线的顶点式，即可解答．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ，且向右平移2个单位，
∴平移后的顶点坐标为 ，
∴平移后所得的抛物线的表达式为．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的图形与变换——平移，解题的关键是熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下减”．
7. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
8. 方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 没有实数根D. 有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
【分析】利用根判别式进行判断即可．
【详解】解：方程中，，，，
∴，
∴此方程有两个不相等的实数根．
故选D．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
9. 二次函数的图像如图所示，则一次函数的图像可能是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数图像可得a<0，b>0，根据一次函数图像的性质即可判断出正确答案．
【详解】解：∵二次函数图像开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a<0，b>0，
∴y=ax+b的图像经过一、二、四象限，与y轴交于正半轴，
∴选项C符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像的基本性质及判断一次函数图像所经过的象限，熟练掌握二次函数及一次函数的性质是解题关键．
10. 如图，将绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上，若，，则等于（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出，以及，再利用三角形内角和定理得出．
【详解】解：如图，设与相交于点D，

，，
，
，
，
，
，
，，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及三角形的外角的性质和三角形内角和定理等知识，根据已知得出是解题关键．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 方程的二次项系数是_____，一次项系数是____ ，常数项是_____
【答案】 ①. 2 ②. ③.
【解析】
【分析】首先把原方程化为一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义，即可解答．
【详解】解：由原方程得：，
∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为，
故答案为：2，，．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是： (a，b，c是常数且)，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
12. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________．
【答案】x=±2
【解析】
【详解】移项得x2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
13. 若方程x2-4x-1=0的两根为x1，x2，则x1•x2-x1-x2=_____．
【答案】-5
【解析】
【分析】利用根与系数的关系得：x1+x2=4，x1•x2=-1，然后代入求解即可．
【详解】解：∵方程x2-4x-1=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2=4，x1•x2=-1，
∴x1x2-x1-x2=(-1)-4=-5．
故答案为：-5．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，此题难度不大，解题的关键是掌握：若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q性质．
14. 抛物线的对称轴是__________．
【答案】轴
【解析】
【分析】根据二次函数的图像及性质，即可求得．
【详解】解：∵抛物线顶点为，
∴该抛物线的对称轴是直线，即轴，
故答案为：轴
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，掌握的图像及性质是解题的关键．
15. 如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为_____．
【答案】（，2）
【解析】
【详解】∵点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，
∴，
解得：，
∴
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，
∴，
当y=2时，，
解得：或（舍去），
∴点P的坐标．
故答案为：（，2）
三、解答题（一）本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分
16. （1）解方程：，
（2）如图，利用函数的图象，直接回答：
①方程的解是 ；
②当x 时，y随x的增大而减小；
③当时，函数y的值是 ；

【答案】（1），；（2）①，；②；③3
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）根据二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：（1），
因式分解得，，
∴或，
∴，；
（2）①令，则，
由图象可得，抛物线与x轴的两个交点分别为、，
∴方程的解是，，
故答案为：，；
②由图象可得，对称轴为，
∴当时，y随x的增大而减小，
故答案为：；
③由图象可得，抛物线与y轴的交点为，
∴当时，函数y的值是3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查解一元二次方程、二次函数图象与性质，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
17. 抛物线的图象如下，求这条抛物线的解析式．(结果化成一般式)
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），所以设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4，把点（3，0）代入解析式即可解答．
试题解析：
由图象可知抛物线的顶点坐标为（1，4），
设此二次函数的解析式为y=a（x-1）2+4
把点（3，0）代入解析式，得：
4a+4，即a=-1
所以此函数的解析式为y=-（x-1）2+4
故答案是y=-x2+2x+3．
18. 如图，在8×11的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的顶点处．

（1）画出绕点A顺时针方向旋转90°得到的；
（2）求点B与点之间线段的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）A不变，以A为旋转中心，逆时针旋转90°得到关键点C，B的对应点即可；
（2）利用勾股定理计算即可．
【小问1详解】
如图所示，即为所求：
；
【小问2详解】
由图可知是等腰直角三角形，且，
∴．
【点睛】本题考查旋转作图，掌握画图的方法和图形的特点是关键；也考查了利用勾股定理求线段长．
四、解答题（二）本大题3小题，每小题9分，共27分
19. 已知关于的一元二次方程；
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程有一个根1，求另一个根．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式可得出，由此可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用两根之积即可求出方程的另一个根．
【小问1详解】
解：，
∵无论m为何值，，
即，
∴方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
设方程的另一个根为m
由根与系数关系得，
解得，
∴方程的另一个根为．
【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）牢记两根之积等于
20. 如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合．
（1）三角尺旋转了 度．
（2）连接CD，试判断△CBD的形状；
（3）求∠BDC的度数．
【答案】（1）150°．（2）△CBD为等腰三角形．（3）15°．
【解析】
【分析】根据等腰三角形的定义判断．根据30°的直角三角形的性质及∠CBE=180°，通过角的和差关系进行计算．
【详解】（1）∵三角尺旋转的度数即为一条边旋转后与原边组成的角，
∴三角尺的斜边AB旋转到EB后AB与BE所组成的角∠ABE=180°-∠ABC=180°-30°=150°．
（2）∵图形旋转前后两图形全等，
∴CB=DB，故△CBD为等腰三角形．
（3）∵三角形CBD中∠DBE为∠CBA旋转以后的角，
∴∠DBE=∠CBA=30°，
故∠DBC=180°-∠DBE=180°-30°=150°，
又∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD==15°．
21. 受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
【答案】（1）20%；（2）能
【解析】
【分析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)2，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可；
（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可．
【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x．
根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，
所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
五、解答题（三）本大题2小题，每小题12分，共24分
22. 如图，点M，N分别在正方形的边，上，且．把绕点A顺时针旋转得到．

（1）求证：．
（2）若，，求正方形的边长．
【答案】（1）见解析 （2）6
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质及旋转的性质可知，，，可知点E，点B，点C三点共线，再证明，根据证明三角形全等即可．
（2）设，则，，利用全等三角形的性质可得，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵四边形正方形，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，，，
∴，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵四边形是正方形，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，或（舍弃），
∴正方形的边长为6．
【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确借助旋转的性质及正方形的性质寻找三角形全等的条件，学会利用参数构建方程解决问题．
23. 如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于、点和点，一次函数的图象与抛物线交于两点．
（1）一次函数与二次函数的解析式；
（2）点是线段上的一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段的最大值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式即可；
（2）设点，且，则点，求得，利用二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：设一次函数的解析式为，
∵点和点，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为；
由题意设二次函数的解析式为，
把代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：∵点是线段上的一点，
∴设点，且，则点，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式以及二次函数最值问题，掌握二次函数最值求法是解题的关键．