江西省宜春市高安市2022－2023学年九年级上学期期中考试数学试题（学生版+教师版）

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九年级数学试卷
说明:1.本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分考试时间120分钟。
2.本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分.
一、选择题（每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项.）
1.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.育才学校美术社团的学生利用课后服务时间学习剪纸，以下学生剪纸作品中，是中心对称图形的有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.已知关于x的一元二次方程ax2－4x－1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是
A.a≥－4 B. a＞－4 C.a≥－4且a≠0 D.a＞－4且a≠0
3.已知抛物线y＝（x－2）2+1，下列结论错误的是（ ）。
A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x＝2
C.抛物线的顶点坐标为（2，1） D.当x＜2时，y随x的增大而增大
4.关于x的方程x2+2（m－1）x+m2－m＝0有两个实数根a，β，且a2+β2＝12，那么m的值为（ ）
A.－1 B.－4 C.－4或1 D.－1或4
5.如图．△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F．若∠BCD＝α，则∠EFC的度数是（用含α的代数式表示）（ ）
A．90°+αB．90°﹣αC．180°﹣αD．α
第6题图
6如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像顶点为P（1，m），经过点A（2，1）;有以下结论:① a＜0;② abc＞0;③ 4a+2b+c＝1;④ x＞1时，y随x的增大而减小;⑤ 对于任意实数m，总有am2+bm＜a+b，其中正确的有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题（每小题3分，共18分）
7.一元二次方程（x+2）（x－3）＝0的根是______.
8.已知抛物线y＝x2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表:
X
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
3
O
－1
m
3
…
则此抛物线的顶点坐标是_______.
9.第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素.如图所示，这个图案绕着它的中心至少旋转_________度后，能够与它本身重合.
10.已知m，n是一元二次方程x2+x－2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于________.
11.如图，在△OAB中，已知OA＝AB＝5，点B的坐标为（m，4），若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为_____.
12.如图，已知抛物线y＝－x2+（a+1）x－a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积是6.抛物线上有一动点P（不与点C重合），当S△ABD＝S△ABC时，则点P的坐标
是________________
三、（本大题共五个小题，每小题6分，共30分）
13.（1）解方程:x2－2x－1＝0 （2）解方程:（x－3）2+2x（x－3）＝0
14.已知A＝（a+3b）2+（2a+3b）（2a－3b）+a2
（1）化简A；
（2）若关于x的方程x2+2ax－ab+1＝0有两个相等的实数根，求A的值.
15如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，若DF＝3，求BE的长.
16.图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，分别按要求画出图形.
（1）在图1中画出一个△ABC，使点C在格点上，且△ABC是轴对称图形.
（2）在图2中画四边形ABDE，使点D，E均在格点上，四边形ABDE不是矩形，且四边形ABDE是中心对称图形.
第16题图
17.中共“二十大”期间，幸福水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员 的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克;若每千克每降低1元，每天的销售量将增加40千克.
请你根据他们的对话，解决下面所给问题，超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
四、（本大题共三个小题，每小题8分，共24分）
18.已知二次函数y＝x2+mx+m2－3（m为常数，m＞0）的图象经过点P（2，4）.
（1）求m的值:
（2）判断二次函数y＝x2+mx+m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由.
19.已知x1，x2是一元二次方程x2－2x+k+2＝0的两个实数根.
（1）求k的取值范围;
（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由.
20.掷实心球是江西省初中学业水平测试体育考试的选考项目.如图1是一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处.
（1）求y关于x的函数表达式:
（2）根据江西省初中学业水平测试体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于7.80m，此项考试得分为满分17.5分.该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由.
五、（本大题共两个小题，每小题9分，共18分）
21.我市正在稳步推进“一盔一带”安全防范行动，骑电动车也要戴头盔.某公司销售一种头盔，成本为每个30元，经过市场调查发现，该头盔的日销售量y（个）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表:
销售单价x(元)
40
60
80
日销售量 y(个)
80
60
40
（1）求出y与x的关系式;
（2）求公司销售该头盔获得的最大日利润;
（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该头盔每件成本增加了10元，若物价部门规定该头盔销售单价不能超过a元，在日销售量y（个）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该头盔的日销售最大利润是1500元，求a的值.
22.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，BD的延长线与CE交于点F.
（1）请你判断BD与CE的关系，并证明你的结论:
（2）如图2，连接AF，DC，已知∠BDC＝135°，判断AF与DC的位置关系，并说明理由.
六、（本大题共一个小题，共12分）
23.综合与探究:
如图，已知一次函数与二次函数y＝x2+mx+n的图象交点为A（－1，0），B（4，5）.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点C为抛物线对称轴上的一个动点，当AC与BC的和最小时，求C点的坐标;
（3）若点D为抛物线位于线段AB下方图象上的一个动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值;
（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点N的坐标;若不存在，请说明理由.