2023-2024学年度初三秋季A版第7讲：阿氏圆、米勒定理与胡不归(讲义+课后测+答案）

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模块1：阿氏圆
模块2：米勒定理
模块3：胡不归
【重要考点讲解】
模块1：阿氏圆
【知识精讲】
【典例精讲】
例题1．如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，．
求①；
②；
③；
④的最小值．
例题2．（2020•桂林）如图，在中，，点，分别是，的中点，点是扇形的上任意一点，连接，，则的最小值是 ．
例题3．如图，扇形中，，，，为中点，为上一动点，则的最小值为
A．B．C．18D．
例题4．如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ．
例题5．（2021•张家界）如图，已知二次函数的图象经过点，且与轴交于原点及点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求顶点的坐标及直线的表达式；
（3）判断的形状，试说明理由；
（4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动到点后停止运动，求点的运动时间的最小值．
模块2：米勒定理
【知识精讲】
【典例精讲】
例题6．（2014•淄博）如图，点与点的坐标分别是，，点是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使的点有 个；
（2）若点在轴上，且，求满足条件的点的坐标；
（3）当点在轴上移动时，是否有最大值？若有，求点的坐标，并说明此时最大的理由；若没有，也请说明理由．
例题7．（2022•桂林）如图，某雕塑位于河段上，游客在步道上由点出发沿方向行走．已知，，当观景视角最大时，游客行走的距离是 米．
例题8．（2015•陕西）如图，在每一个四边形中，均有，，，，．
（1）如图①，点是四边形边上的一点，则的面积为 ；
（2）如图②，点是四边形边上的任意一点，请你求出周长的最小值；
（3）如图③，在四边形的边上，是否存在一点，使得的值最小？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
模块3：胡不归
【知识精讲】
【典例精讲】
例题9．（2019•长沙）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是
A．B．C．D．10
例题10．（2019•南通）如图，中，，，，为边上的一动点，则的最小值等于 ．
例题11．（2020•新疆）如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值为 ．
第7讲：阿氏圆、米勒定理与胡不归课后巩固
1．（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆的半径为2，点是圆上的一个动点，求的最小值和的最大值；
（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆的半径为6，点是圆上的一个动点，那么的最小值为 ，的最大值为 ．
（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆的半径为2，点是圆上的一个动点，那么的最小值为 ，的最大值为 ．
2．（2023•玉林一模）如图，线段是的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交于点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）点是上一动点（不与点，重合），连接，．求的值．
3．如图，某雕塑位于河段上．游客在步道上由点出发沿方向行走；已知，，．当观景视角最大时，游客行走的距离是
A．B．C．D．
4．（2023•北海二模）综合与实践
【问题提出】（1）如图1，在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙已跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑，甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？假设球员对球门的视角越大，足球越容易被踢进．请结合你所学知识，求证：．
【数学理解】德国数学家米勒曾提出最大视角问题，对该问题的一般描述是：如图2，已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．
【问题解决】（2）如图3，已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点，当的外接圆与轴相切于点时，最大．当最大时，求点的坐标．
5．如图，在中，，，，若是边上的动点，则的最小值是
A．6B．8C．10D．12
6．如图，为等边三角形，平分，，点为上动点，连接，则的最小值为
A．1B．C．D．2
7．（2023•锦州）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取，，使．②分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点．③作射线交于点．若点是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
8．（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，抛物线恰好经过这两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点的坐标是，将绕着点逆时针旋转得到，点的对应点是点．
①写出点的坐标，并判断点是否在此抛物线上；
②若点是轴上的任一点，求取最小值时，点的坐标．
阿氏圆
模型特征：“”求最值（点在圆上运动）——阿氏圆模型
如图：已知定点、，点为圆上一动点，求点，使得最小．
处理策略：（构造相似）
第1步：将系数不为1线段的两个端点、点分别与圆心相连接，即：连接、，如图1；
第2步：计算出两条线段、长度；
第3步：计算出线段长度的比；
第4步：在上取点，使得，如图2；
第5步：连接，与圆交点即为点，如图3、图4．
米勒定理
最佳视点问题原理(米勒定理)：
已知点是的边上的两个定点，点是边上一个动点，则当且仅当的外接圆与边相切于时，最大．
证明：如图：设点是边上不同于点的任意一点，连接、
交圆于点，
均有．
胡不归
如图：已知定点、，点为定直线上动点，求点，使得最小．
处理策略：
①作射线使得；
②过点作于，则，则；
③当、、三点共线时，最小，即相当于过作于
交于点，则即为所求；
④的最小值即为．