江西省赣州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江西省赣州市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2023年9月23日晚，杭州第19届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届亚运会会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（3，1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）
3．（3分）一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠EB．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠DD．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
4．（3分）在下列条件：①∠A：∠B：∠C＝5：3：2；②∠A＝90°﹣∠B；③∠A＝∠B＝∠C中．能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
5．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）近年来，亲近自然的露营正成为越来越多的年轻人的出游选择，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图1是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图2所示，若AB∥CD，BE∥FG，ED∥HI，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6，则∠E的度数为（ ）
A．120°B．125°C．135°D．150°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是 ．
8．（3分）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ABD的中线，如果S△ABC＝24cm2，则S△ADE＝ cm2．
9．（3分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 ．（写一种即可）
10．（3分）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则△AMN的周长为 cm．
11．（3分）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A2023B2023A2024的边长为 ．
12．（3分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”，其中角α称为“倍角”．若“倍角三角形”中有一个内角为30°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）如图，AB＝AE，BC＝DE，求证：AC＝AD．
14．（6分）某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表：
学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买两根长度分别为2m和5m的钢管，还需要购买一根．
（1）有哪几种规格的钢管可供选择？
（2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？
15．（6分）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．
你选取的条件为（填写序号） （只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 （填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
16．（6分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠ACB＝80°，∠B＝24°，求∠P的度数．
17．（6分）如图是正六边形ABCDEF，请你分别用两种不同的方法画出它的一条对称轴（画图仅限用无刻度的直尺，保留作图痕迹）．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．
19．（8分）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53《数学活动》中有这样一段描述：如图1，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形ABCD的对角线AC与BD有什么位置关系？并证明你的猜想；
（2）你知道筝形ABCD还有哪些性质吗？请写出两条正确的结论；
（3）如图2，过点D作DE∥AB交BC于点E，若BC＝10，CE＝4，求DE的长．
20．（8分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在DE上画出点P，使△PBC的周长最小；
（4）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图1，O就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为360°（注：若不能等于360°，则不能镶嵌）．
（1）如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是 ．（填序号）
①正三角形
②正方形
③正五边形
④正六边形
（2）为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图2，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有3个正三角形和2个正方形．
①如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
②我们也可以用边长相同的正五边形和正 边形进行镶嵌．
22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠AED＝ °；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）（1）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C'的位置．
①若∠1＝20°，∠2＝50°，则∠C＝ ；
②探索∠C、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC边AC上方点C'的位置，探索∠C、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）2023年9月23日晚，杭州第19届亚运会开幕式在浙江省杭州市隆重举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届亚运会会徽图案上的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念解答即可．
【解答】解：A，B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）已知点P（3，﹣1）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣1）B．（3，1）C．（﹣3，1）D．（﹣1，3）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：∵点P（3，﹣1）与点Q关于y轴对称，
∴点Q的坐标为（﹣3，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
3．（3分）一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠EB．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠DD．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看每个选项是否符合定理即可．
【解答】解：
A、根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；
B、根据∠A＝∠E，∠B＝∠D，AB＝DE才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、根据AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AAA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了对全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
4．（3分）在下列条件：①∠A：∠B：∠C＝5：3：2；②∠A＝90°﹣∠B；③∠A＝∠B＝∠C中．能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
【解答】解：①因为∠A：∠B：∠C＝5：3：2，设∠A＝5x，∠B＝3x，∠C＝2x，则5x+3x+2x＝180，x＝18°，∠A＝18°×5＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个，
故选：D．
【点评】本题主要考查直角三角形的判定，解答此题要用到三角形的内角和为180°，若有一个内角为90°，则△ABC是直角三角形．
5．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使BE＝BD；分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB上一动点，则GP的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】过点G作GH⊥AB于点H．证明GH＝GC，利用面积法求出GH即可．
【解答】解：如图，过点G作GH⊥AB于点H．
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
由作图过程可知：BG平分∠ABC，GC⊥BC，GH⊥AB，
∴GH＝GC，
设GH＝GC＝x，则有×5•x+×4•x＝×4×3，
∴x＝，
∴GH＝，
∵P为AB上一动点，
则GP的最小值为，
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．
6．（3分）近年来，亲近自然的露营正成为越来越多的年轻人的出游选择，而倡导精致露营的帐篷酒店也是备受追捧．如图1是一个帐篷酒店截面图，其示意图如图2所示，若AB∥CD，BE∥FG，ED∥HI，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6，则∠E的度数为（ ）
A．120°B．125°C．135°D．150°
【分析】在BA的延长线上取一点P，过点P作PK⊥BA于P，PK交DC的延长线于K，分别延长FG，IH交于点N，则∠P＝∠K＝90°，由八边形PAFGHICK的内角和得：6∠1+∠P+∠K＝（8﹣2）×180°，由此可求出∠1＝150°，则∠3＝∠4＝150°，然后利用平角的定义得∠NGH＝30°，∠HHG＝30°，进而由三角形的内角和定理得∠N＝120°，最后再根据平行线的性质得∠E＝∠N，由此可得出答案．
【解答】解：在BA的延长线上取一点P，过点P作PK⊥BA于P，PK交DC的延长线于K，分别延长FG，IH交于点N，如图：

∴AB∥CD，PK⊥BA，
∴∠P＝∠K＝90°，
∴多边形PAFGHICK为八边形，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝∠6，
由多边形的内角和定理得：6∠1+∠P+∠K＝（8﹣2）×180°，
∴6∠1+90°+90°＝1080°，
解得：∠1＝150°，
∴∠3＝∠4＝150°，
∴∠NGH＝180°﹣∠3＝30°，∠HHG＝180°﹣∠4＝30°，
∴∠N＝180°﹣（∠NGH+∠HHG）＝180°﹣（30°+30°）＝120°，
∵BE∥FG，ED∥HI，
∴∠E＝∠N＝120°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，平行线的性质，解决问题的关键是熟练掌握多边形的内角和定理，理解如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．（3分）如图，工程建筑中的屋顶钢架经常采用三角形的结构，其中的数学道理是 三角形的稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【解答】解：工程建筑中经常采用三角形的结构，其中的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要记忆的内容．
8．（3分）如图，AD是△ABC的中线，DE是△ABD的中线，如果S△ABC＝24cm2，则S△ADE＝ 6 cm2．
【分析】根据AD是△ABC的中线可先求到S△ABD的值，再根据DE是△ABD的中线即可求到S△ADE的值．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，S△ABC＝24cm2，
∴S△ABD＝S△ABC＝12cm2，
∵DE是△ABD的中线，
∴S△ADE＝S△ABD＝6cm2．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是中线的相关知识，中线将三角形的面积分为相等的两部分．
9．（3分）如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是C、D，若要用“HL”得到Rt△ABC≌Rt△BAD，则你添加的条件是 AC＝BD ．（写一种即可）
【分析】根据“HL”添加AC＝BD或BC＝AD均可．
【解答】解：可添加AC＝BD，
∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∵，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），
故答案为：AC＝BD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
10．（3分）如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，则△AMN的周长为 10 cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到MA＝MB，NA＝NC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于M，
∴MA＝MB，
同理可得：NA＝NC，
则△AMN的周长＝MA+MN+NA＝MB+MN+NC＝BC＝10cm，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
11．（3分）如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A2023B2023A2024的边长为 22023 ．
【分析】依次求出△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4的边长，根据发现的规律即可解决问题．
【解答】解：因为△A1B1A2是等边三角形，
所以∠B1A1A2＝60°，
又因为∠MON＝30°，
所以∠OB1A1＝60°﹣30°＝30°．
所以∠MON＝∠OB1A1，
所以A1B1＝OA1．
又因为OA1＝2，
所以A1B1＝2．
故△A1B1A2的边长为2．
同理可得，
，
故△A2B2A3的边长为22．
，
故△A3B3A4的边长为23．
…，
所以△AnBnAn+1的边长为2n．
当n＝2023时，
△A2023B2023A2024的边长为22023．
故答案为：22023．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现等边三角形的边长依次乘以2是解题的关键．
12．（3分）当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”，其中角α称为“倍角”．若“倍角三角形”中有一个内角为30°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是 30°、100°、60° ．
【分析】根据三角形内角和为180°，题目给的“倍角”的定义来求所有的可能取值．
【解答】解：①“倍角”可以是30°；
②其中一角为30°，“倍角”为它的二倍，即“倍角”是60°；
③α+β＝180﹣30＝150°时，“倍角”就是150×＝100°．
综上所述“倍角”的度数可以是30°、100°、60°．
故答案为：30°、100°、60°．
【点评】本题考查了角的计算和三角形内角和定理，做题的关键是掌握角的计算和三角形内角和定理．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）如图，AB＝AE，BC＝DE，求证：AC＝AD．
【分析】由AB＝AE，得∠B＝∠E，而AB＝AE，BC＝ED，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△AED，则AC＝AD．
【解答】证明：∵AB＝AE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD．
【点评】此题重点考查“等边对等角”、全等三角形的判定与性质等知识，证明△ABC≌△AED是解题的关键．
14．（6分）某建材市场上的一种钢管的长度规格及相应价格如下表：
学校要制作一个三角形支架的宣传牌，已经购买两根长度分别为2m和5m的钢管，还需要购买一根．
（1）有哪几种规格的钢管可供选择？
（2）若要求做成的三角形支架的周长为偶数，则做成三角形支架一共需要花多少钱购买钢管？
【分析】（1）根据三角形的三边关系求出第三边的范围，进而确定可供选择的钢管的规格；
（2）根据题意求出第三边长，计算即可．
【解答】解：（1）设第三根钢管的长度为xcm，
则5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7，
∴长度为4cm、5cm、6cm的钢管可供选择；
（2）∵三角形支架的周长为偶数，
∴三边长分别为2cm、5cm、5cm，
则花的钱数为：15×1+30×2＝75（元），
答：做成三角形支架一共需要花75元购买钢管．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
15．（6分）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．
你选取的条件为（填写序号） ① （只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是 SSS （填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
【分析】（1）根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，即可解决问题；
（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．
【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，
选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．
故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．
（2）证明：∵△ABC≌△DEF．
∴∠A＝∠EDF，
∴AB∥DE．
【点评】本题考查了平行线的判定和全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
16．（6分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，P为AD延长线上一点，PE⊥BC于E，已知∠ACB＝80°，∠B＝24°，求∠P的度数．
【分析】在△ABC中，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，结合角平分线的定义可得出∠CAD的度数，在△ACD中，利用三角形内角和定理可求出∠ADC的度数，结合对顶角相等可得出∠PDE的度数，再在△PDE中利用三角形内角和定理可求出∠P的度数．
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝80°，∠B＝24°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝76°.
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝38°．
在△ACD中，∠ACD＝80°，∠CAD＝38°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ACD﹣∠CAD＝62°，
∴∠PDE＝∠ADC＝62°．
∵PE⊥BC于E，
∴∠PED＝90°，
∴∠P＝180°﹣∠PDE﹣∠PED＝28°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及对顶角，利用三角形内角和定理及角平分线的定义，求出∠ADC的度数是解题的关键．
17．（6分）如图是正六边形ABCDEF，请你分别用两种不同的方法画出它的一条对称轴（画图仅限用无刻度的直尺，保留作图痕迹）．
【分析】利用轴对称的性质进行画图即可．
【解答】解：如图所示：直线l即为所求．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是掌握对称轴是对称点所连线段的垂直平分线．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．（8分）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．
（1）求证：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得出CD＝CE，再得出答案即可；
（2）根据全等三角形的性质得出AD＝BE＝3，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，根据全等三角形的性质得出OD＝OB，再求出答案即可．
【解答】（1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴CD＝CE，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴OC平分∠MON；
（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，
∴BE＝AD＝3，
∵BO＝4，
∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
在Rt△DOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），
∴OD＝OE＝7，
∵AD＝3，
∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质等知识点，能熟记到角两边距离相等的点在角的平分线上是解此题的关键．
19．（8分）如图所示，人教版八年级上册数学教材P53《数学活动》中有这样一段描述：如图1，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
（1）试猜想筝形ABCD的对角线AC与BD有什么位置关系？并证明你的猜想；
（2）你知道筝形ABCD还有哪些性质吗？请写出两条正确的结论；
（3）如图2，过点D作DE∥AB交BC于点E，若BC＝10，CE＝4，求DE的长．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的逆定理可得AC⊥BD；
（2）根据对称和全等三角形的性质可得结论；
（3）先根据SSS证明△ABD≌△CBD，则∠ABD＝∠CBD，再由平行线的性质和等量代换可得∠CBD＝∠EDB，由等角对等边及边的和差可解答．
【解答】解：（1）BD⊥AC，理由如下：
∵AD＝CD，AB＝CB，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴BD⊥AC；
（2）答案不唯一（符号语言、文字语言表达均可）：
如：①一组对角相等：∠DAB＝∠DCB；
②BD平分一组对角；
③筝形ABCD是轴对称图形；
④BD平分AC；
⑤筝形面积等于对角线乘积的一半；
（3）∵DE∥AB，
∴∠EDB＝∠ABD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠EDB＝∠CBD，
∴DE＝BE，
∵BC＝10，CE＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝10﹣4＝6，
∴DE＝6．
【点评】此题重点考查了新定义，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABD≌△CBD是解题的关键．
20．（8分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；
（2）求出△ABC的面积；
（3）在DE上画出点P，使△PBC的周长最小；
（4）在DE上找一点M，使|MC﹣MB|值最大．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可；
（3）连接B1C，交直线DE于点P，连接BP，此时PB+PC最小，即可得△PBC的周长最小．
（4）延长CB，交直线DE于点M，此时|MC﹣MB|值最大．
【解答】（1）解：（1）如图，ΔA1B1C1 即为所求；
（2）△ABC的面积为 ；
（3）如图，点P即为所求；
（4）如图，点M即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．（9分）我们在用边长相同的正多边形进行平面镶嵌时，各正多边形重合的顶点叫拼接点，如图1，O就是拼接点．我们发现，各正多边形的以拼接点为顶点的内角之和为360°（注：若不能等于360°，则不能镶嵌）．
（1）如果我们只用一种边长相同的正多边形镶嵌，那么下面正多边形中，不能进行镶嵌的是 ③ ．（填序号）
①正三角形
②正方形
③正五边形
④正六边形
（2）为了使镶嵌图案美丽多变，我们有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，如图2，正三角形与正方形的平面镶嵌，在一个拼接点的周围有3个正三角形和2个正方形．
①如果我们用边长相同的正三角形与正六边形进行镶嵌，求一个拼接点的周围有几个正三角形和几个正六边形；
②我们也可以用边长相同的正五边形和正 十 边形进行镶嵌．
【分析】（1）求出正多边形的内角，再用360°除以内角度数，根据结果是否为整数，逐项判断即可；
（2）①设在平面镶嵌时，围绕在某一点有x个正三角形和 y个正六边形的内角可以拼成一个周角，则有60°x+120°y＝360°，进而判断出情况；
②设用边长相同的a个正五边形和b个正n边形进行镶嵌，则，得出，由n，为正整数，进行分类讨论即可求解．
【解答】解：（1）①正三角形的内角为60°，360°÷60°＝6，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
②正方形内角为90°，360°÷90°＝4，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
③正五边形内角为108°，，结果不是整数，不可以进行平面镶嵌；
④正六边形内角为120°，360°÷120°＝3，结果是整数，可以进行平面镶嵌；
故选：③；
（2）①设在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有x个正三角形和y个正六边形，
根据题意得：60°x+120°y＝360°，
∴x+2y＝6，
∵x，y为正整数，
∴或，
答：在平面镶嵌时，一个拼接点的周围有2个正三角形和2个正六边形或4个正三角形和1个正六边形；
②由于正五边形内角为108°，设用边长相同的a个正五边形和b个正n边形进行镶嵌，
则，
整理得：，
∵a，b，n为正整数，
∴应为正整数，
则n＝5或n＝10，
当n＝5时，3a+3b＝10，此时a，b无正整数解，
当n＝10时，3a+4b＝10，解得正整数解为：，
故答案为：十．
【点评】此题考查了多边形内角和和平面镶嵌，解题的关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360°．
22．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠AED＝ 65 °；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD＝25°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB＝DC＝2，证明△ABD≌△DCE；
（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°，
故答案为：25；65；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB＝2，DC＝2，
∴AB＝DC，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝40°+40°＝80°；
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
六、解答题（本大题共12分）
23．（12分）（1）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在四边形ABDE内点C'的位置．
①若∠1＝20°，∠2＝50°，则∠C＝ 35° ；
②探索∠C、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，将△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC边AC上方点C'的位置，探索∠C、∠1与∠2之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）①根据折叠的特点，折叠对应角相等，结合三角形内角和定理，求解∠C；
②由①的方法可得出答案；
（2）利用（1）的结论即可求出答案；
【解答】解：（1）①由折叠性质可知：∠CED＝∠C′ED，∠CDE＝∠C′DE，
∵∠1+∠2＝70°，
∴∠CED+∠CDE＝（360°﹣70°）＝145°，
∴∠C＝35°；
故答案为：35°．
②∠1+∠2＝2∠C，
理由：∵∠CED+∠CDE＝（360°﹣∠1﹣∠2）＝180°﹣（∠1+∠2），
∴∠C＝180°﹣（∠CED+∠CDE）＝（∠1+∠2），
即∠1+∠2＝2∠C；
（2）2∠C＝∠2﹣∠1．
理由：∵∠CEC′＝180°+∠1，∠2+∠CDC′＝180°，
∴∠CDC′＝180°﹣∠2，
在四边形CEC′D中，∠C+∠CEC′+∠C′+∠CDC′＝360°，
∠C+180°+∠1+∠C′+180°﹣∠2＝360°，
∴∠C＝∠C′，
∴2∠C＝∠2﹣∠1．
【点评】本题考查多边形内角和和外角和，三角形内角和定理，图形折叠的性质；能够根据折叠的特点，找到角之间的等量关系，是解题的关键．
规格/m
1
2
3
4
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价格/（元/根）
10
15
20
25
30
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