山东省济南市槐荫区2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷

这是一份山东省济南市槐荫区2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）如果“盈利3%”记作+3%，那么﹣5%表示（ ）
A．少赚5%B．亏损﹣5%C．盈利5%D．亏损5%
2．（4分）下列几何体中，属于棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）据济南市统计局发布，2023年上半年蔬菜累计生产约3111000吨．数据3111000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.3111×106B．3.111×106
C．3.111×107D．31.11×105
4．（4分）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．a9B．x﹣3元C．D．
5．（4分）用一个平面去截一个正方体，不可能出现哪个截面？（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
6．（4分）下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．﹣（﹣2）与﹣|﹣2|B．﹣32与（﹣3）2
C．﹣53与（﹣5）3D．23与32
7．（4分）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则ab的值是（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
8．（4分）下列说法正确的有（ ）
①6x2﹣3x﹣2的项是6x2，3x，2；
②一个多项式的次数是3，则这个多项式中只有一项的次数是3；
③单项式﹣3πx2的系数是﹣3；
④0是整式．
A．0个B．1个C．2个D．3个
9．（4分）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．3
10．（4分）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，……，则第2023次输出的结果为（ ）
A．6B．3C．24D．12
二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上.）
11．（4分）﹣2023的相反数是 ．
12．（4分）如图，下面的几何体是由图 （填写序号）的平面图形绕直线l旋转一周得到的．
13．（4分）某景点去年的游客数量为x人，今年的游客数量是去年的2倍还多470人，则今年的游客数量为 人．（用含x的代数式表示）
14．（4分）如果单项式2xm+2yn+3与x3y5是同类项，那么m+n＝ ．
15．（4分）如图是一个正方体的展开图，则“数”字的对面的字是 ．
16．（4分）定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a﹣b．若a⊕（﹣6b）＝﹣2，请计算（2a+b）⊕（2a﹣5b）的值为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（6分）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”比较大小．，﹣4.5，4，，﹣1．
​
18．（6分）计算：
（1）3﹣（﹣7）；
（2）﹣20+3+5﹣7．
19．（6分）计算：7a+3（a﹣3b）﹣2（b﹣3a）
20．（8分）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请在方格中画出该几何体的主视图、俯视图和左视图．
21．（8分）阅读下题解答：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．
所以原式＝﹣．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
22．（8分）某种T型零件尺寸如图所示（左右宽度相同），求：
（1）用含x，y的代数式表示阴影部分的周长．
（2）用含x，y的代数式表示阴影部分的面积．
（3）x＝2，y＝2.5时，计算阴影部分的面积．
23．（10分）某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5kg为标准，超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4kg．
（1）请你计算七年级六班同学收集废纸的质量；
（2）若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量；
（3）若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，30kg（包括30kg）以内的2元/千克，超出30kg的部分2.5元/千克，求废纸卖出的总价格．
24．（10分）（1）由图1得：2+4＝2×3；由图2得：2+4+6＝ ；由图3得： ；
（2）则由图n可得：2+4+……+2（n+1）＝ ；
（3）根据（2）的结论，求2+4+6+……+1000的值．
25．（12分）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为A→B{1，4}，从B到A记为：B→A{﹣1，﹣4}，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C{ ， }，C→B{ ， }；
（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最短路程；
（3）若图中另有两个格点M、N，且M→A{1﹣a，b﹣5}，M→N{5﹣a，b﹣2}，则A→N应记为什么？直接写出你的答案．
26．（12分）综合探究
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b﹣a，请用上面材料中的知识解答下面的问题：
【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C．
​（1）【问题探究】请在图2中表示出A、B、C三点的位置；
（2）【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
①点A到点B的距离AB＝ ，点A到点C的距离AC＝ ；
②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为 ，点M表示的数为 ，点N表示的数为 ；
③试探究在运动的过程中，3PN﹣4PM的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
1．（4分）如果“盈利3%”记作+3%，那么﹣5%表示（ ）
A．少赚5%B．亏损﹣5%C．盈利5%D．亏损5%
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：根据题意，“盈利3%”记作+3%，那么﹣5%表示亏损5%．
故选：D．
【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．（4分）下列几何体中，属于棱柱的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，由此可选出答案．
【解答】解：A、圆锥属于锥体，故此选项不合题意；
B、圆柱属于柱体，故此选项不合题意；
C、棱锥属于锥体，故此选项不合题意；
D、长方体属于棱柱，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查棱柱的定义，属于基础题，掌握基本的概念是关键．
3．（4分）据济南市统计局发布，2023年上半年蔬菜累计生产约3111000吨．数据3111000用科学记数法可表示为（ ）
A．0.3111×106B．3.111×106
C．3.111×107D．31.11×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3111000＝3.111×106．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（4分）下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．a9B．x﹣3元C．D．
【分析】根据代数式的书写要求判断各项得出答案即可．
【解答】解：A、a9应该写成9a，故选项不符合题意；
B、x﹣3元应该写成（x﹣3）元，故选项不符合题意；
C、符合代数式书写要求，故选项符合题意；
D、带分数要写成假分数，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“•”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式．
5．（4分）用一个平面去截一个正方体，不可能出现哪个截面？（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【分析】根据正方体截面的形状进行判断即可．
【解答】解：正方体有6个面，因此用一个平面去截正方体，最多可以得到六边形的截面，不可能出现七边形的截面，
故选：D．
【点评】本题考查截一个几何体，掌握正方体的形体特征以及用一个平面截正方体所得截面的形状是正确判断的关键．
6．（4分）下列各组数中，相等的一组是（ ）
A．﹣（﹣2）与﹣|﹣2|B．﹣32与（﹣3）2
C．﹣53与（﹣5）3D．23与32
【分析】根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分别计算，即可求解．
【解答】解：A、﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）≠﹣|﹣2|，故本选项不符合题意；
B、﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，﹣32≠（﹣3）2，故本选项不符合题意；
C、﹣53＝﹣125，（﹣5）3＝﹣125，﹣53＝（﹣5）3，故本选项符合题意；
D、23＝8，32＝9，23≠32，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了绝对值、有理数的乘方．解题的关键是掌握有理数的乘方运算法则．
7．（4分）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则ab的值是（ ）
A．2B．1C．﹣2D．﹣1
【分析】根据绝对值的非负数性质求出a、b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|a+2|+|b﹣1|＝0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
则ab＝（﹣2）×1＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了代数式求值以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（4分）下列说法正确的有（ ）
①6x2﹣3x﹣2的项是6x2，3x，2；
②一个多项式的次数是3，则这个多项式中只有一项的次数是3；
③单项式﹣3πx2的系数是﹣3；
④0是整式．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据单项式、多项式和整式的概念，逐一分析解答即可，多项式中的每一个单项式叫多项式的项．
【解答】解：①6x2﹣3x﹣2的项是6x2，﹣3x，﹣2，原说法错误；
②一个多项式的次数是3，则这个多项式中最高次项的次数是3，原说法错误；
③单项式﹣3πx2的系数是﹣3π，原说法错误；
④0是整式，原说法正确．
所以正确的有：④，1个．
故选：B．
【点评】本题考查了多项式，单项式和整式，单项式和多项式统称为整式，单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式；若干个单项式的代数和组成的式子叫多项式．
9．（4分）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣5，b，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣1D．3
【分析】根据数轴上AC＝9，在直尺上的长度是5.4，得出数轴上一个单位长度是0.6cm；直尺测得A、B两点的长度是1.8cm，算出数轴上两点AB＝3，继而得出点B对应的数．
【解答】解：数轴上AC＝4﹣（﹣5）＝9，
直尺测量AC＝5.4，
5.4÷9＝0.6，
数轴上一个单位长度的长是0.6cm，
直尺测量AB＝1.8cm，
1.8÷0.6＝3，
数轴上AB＝3，
∵AO＝5，
∴OB＝2
∵点B在原点的左侧，
∴点B对应的数是﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查的是数轴的有关知识，解题的关键数轴上9个单位长度是5.4cm，得出有关单位长度是0.6cm．
10．（4分）如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，……，则第2023次输出的结果为（ ）
A．6B．3C．24D．12
【分析】根据题意，分别计算出流程图执行的结果，进步比较即可找出规律，再根据执行规律即可求解．
【解答】解：第1次，；
第2次，；
第3次，；
第4次，x+3＝3+3＝6；
第5次，；
…
第2023次，（2023﹣2）÷2＝1010⋯⋯1，即循环了1010次后的下一次的开始，
∴第2023次的结果为3，
故选：B．
【点评】本题主要考查数字的变化类，流程图与有理数的混合运算的综合，理解流程图的执行顺序，有理数的混合运算法则是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上.）
11．（4分）﹣2023的相反数是 2023 ．
【分析】由相反数的概念即可解答．
【解答】解：﹣2023的相反数是﹣（﹣2023）＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查相反数的概念，关键是掌握：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”．
12．（4分）如图，下面的几何体是由图 ② （填写序号）的平面图形绕直线l旋转一周得到的．
【分析】根据面动成体，所得图形是两个圆锥体的复合体确定答案即可．
【解答】解：由图可知，只有图②绕直线l旋转一周得到如图所示立体图形．
故答案为：②．
【点评】本题考查了点、线、面、体，熟悉常见图形的旋转得到立体图形是解题的关键．
13．（4分）某景点去年的游客数量为x人，今年的游客数量是去年的2倍还多470人，则今年的游客数量为 （2x+470） 人．（用含x的代数式表示）
【分析】根据去年的2倍还多470人列出代数式即可．
【解答】解：根据题意得：今年的游客数量为（2x+470）人，
故答案为：（2x+470）．
【点评】本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，掌握和（差）倍（分）关系．
14．（4分）如果单项式2xm+2yn+3与x3y5是同类项，那么m+n＝ 3 ．
【分析】根据同类项的定义求出n，m的值，再代入代数式计算即可．
【解答】解：∵单项式2xm+2yn+3与x3y5是同类项，
∴m+2＝3，n+3＝5，
解得：m＝1，n＝2，
则m+n＝1+2＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了代数式求值，以及同类项，熟练掌握同类项的定义是解本题的关键．同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
15．（4分）如图是一个正方体的展开图，则“数”字的对面的字是 养 ．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点求解即可．
【解答】解：这如图是一个正方体的展开图，则“数”字的对面的字是“养“．
故答案为：养．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上文字的知识，解答本题的关键是从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念．
16．（4分）定义一种新运算，规定：a⊕b＝3a﹣b．若a⊕（﹣6b）＝﹣2，请计算（2a+b）⊕（2a﹣5b）的值为 ﹣3 ．
【分析】根据a⊕b＝3a﹣b，a⊕（﹣6b）＝﹣2，可以得到a与b的关系，然后化简（2a+b）⊕（2a﹣5b），再将a与b的关系式整体代入求值即可．
【解答】解：∵a⊕b＝3a﹣b，a⊕（﹣6b）＝﹣2，
∴3a﹣（﹣6b）＝﹣2，
∴3a+6b＝﹣，
∴a+2b＝﹣，
∴（2a+b）⊕（2a﹣5b）
＝3（2a+b）﹣（2a﹣5b）
＝6a+3b﹣2a+5b
＝4a+8b
＝4（a+2b）
＝4×（﹣）
＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查整式的加减、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（6分）把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”比较大小．，﹣4.5，4，，﹣1．
​
【分析】画出数轴，数轴右边的数大于左边的数，即可比较大小．
【解答】解：如图所示：
故．
【点评】本题考查了有理数的大小比较和数轴，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
18．（6分）计算：
（1）3﹣（﹣7）；
（2）﹣20+3+5﹣7．
【分析】（1）先根据减去一个数，等于加上这个数的相反数把减法变加法，再根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加计算即可；
（2）先把负数与负数、正数与正数结合，再根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加计算，最后根据绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算即可．
【解答】解：（1）3﹣（﹣7）
＝3+7
＝10；
（2）﹣20+3+5﹣7
＝（﹣20﹣7）+（3+5）
＝﹣27+8
＝﹣19．
【点评】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键．
19．（6分）计算：7a+3（a﹣3b）﹣2（b﹣3a）
【分析】先去括号，然后合并同类项即可解答本题．
【解答】解：7a+3（a﹣3b）﹣2（b﹣3a）
＝7a+3a﹣9b﹣2b+6a
＝16a﹣11b．
【点评】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．
20．（8分）由大小相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请在方格中画出该几何体的主视图、俯视图和左视图．
【分析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为2，1，1；俯视图有3列，每行小正方形数目分别为1，2，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．
21．（8分）阅读下题解答：
计算：．
分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值．
解：×（﹣24）＝﹣16+18﹣21＝﹣19．
所以原式＝﹣．
根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：．
【分析】原式根据阅读材料中的计算方法变形，计算即可即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：[﹣++（﹣）2×（﹣6）]÷（﹣）
＝[﹣++×（﹣6）]×（﹣42）
＝﹣21+14﹣30+112
＝75，
则原式＝．
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．（8分）某种T型零件尺寸如图所示（左右宽度相同），求：
（1）用含x，y的代数式表示阴影部分的周长．
（2）用含x，y的代数式表示阴影部分的面积．
（3）x＝2，y＝2.5时，计算阴影部分的面积．
【分析】（1）根据题意表示出阴影部分周长即可；
（2）根据题意表示出阴影部分面积即可；
（3）把x与y的值代入计算确定出阴影部分面积即可．
【解答】解：（1）根据题意得：2（y+3y+2.5x）＝5x+8y；
（2）根据题意得：y•2.5x+3y•0.5x＝4xy；
（3）当x＝2，y＝2.5时，S＝4×2×2.5＝20．
【点评】此题考查了代数式求值，以及列代数式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（10分）某校举办了“废纸回收，变废为宝”活动，各班收集的废纸均以5kg为标准，超过的记为“+”，不足的记为“﹣”，七年级六个班级的废纸收集情况如表所示，统计员小虎不小心将一个数据弄脏看不清了，但他记得三班收集废纸最少，且收集废纸最多和最少的班级的质量差为4kg．
（1）请你计算七年级六班同学收集废纸的质量；
（2）若本次活动收集废纸质量排名前三的班级可获得荣誉称号，请计算获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量；
（3）若七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，30kg（包括30kg）以内的2元/千克，超出30kg的部分2.5元/千克，求废纸卖出的总价格．
【分析】（1）根据正负数表示的意义、有理数的加法法则解决此题．
（2）根据正负数表示的意义、有理数的加法法则解决此题．
（3）根据正负数表示的意义、有理数的混合运算法则解决此题．
【解答】解：（1）经分析，六班收集废纸的质量最多，超出标准质量为：4﹣1.5＝2.5（kg），
∴六班收集废纸的质量为5+2.5＝7.5（kg）．
答：六班收集废纸的质量为7.5kg；
（2）经分析，六班收集废纸的质量最大，超过标准2.5kg，
∴本次活动收集废纸质量排名前三的班级为一班、二班、六班，
∴获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为（5+1）+（5+2）+（5+2.5）＝20.5（kg）．
答：获得荣誉称号的班级收集废纸的总质量为20.5kg；
（3）七年级六个班级将本次活动收集的废纸集中卖出，卖出的废纸的总质量为（5+1）+（5+2）+（5﹣1.5）+5+（5﹣1）+7.5＝33（kg）．
∴废纸卖出的总价格为30×2+（33﹣30）×2.5＝67.5（元）．
答：废纸卖出的总价格为67.5元．
【点评】本题主要考查正负数表示的意义、有理数的加法，熟练掌握正负数表示的意义、有理数的加法运算法则是解决本题的关键．
24．（10分）（1）由图1得：2+4＝2×3；由图2得：2+4+6＝ 3×4 ；由图3得： 2+4+6+8＝4×5 ；
（2）则由图n可得：2+4+……+2（n+1）＝ （n+1）（n+2） ；
（3）根据（2）的结论，求2+4+6+……+1000的值．
【分析】（1）根据所给图形，利用数形结合的思想即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（2）的结论即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
图2中小正方形的个数可表示为：2+4+6，
也可表示为：3×4，
所以2+4+6＝3×4．
同理由图3得，
2+4+6+8＝4×5．
故答案为：3×4，2+4+6+8＝4×5．
（2）根据（1）发现的规律可知，
由图n可得，
2+4+……+2（n+1）＝（n+1）（n+2）．
故答案为：（n+1）（n+2）．
（3）因为1000÷2＝500，
所以2+4+6+……+1000即为连续500个偶数的和，
则由（2）中的结论可知，
2+4+6+……+1000＝500×501＝250500．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现2+4+…+2（n+1）＝（n+1）（n+2）是解题的关键．
25．（12分）如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B、C、D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为A→B{1，4}，从B到A记为：B→A{﹣1，﹣4}，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C{ 3 ， 4 }，C→B{ ﹣2 ， 0 }；
（2）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最短路程；
（3）若图中另有两个格点M、N，且M→A{1﹣a，b﹣5}，M→N{5﹣a，b﹣2}，则A→N应记为什么？直接写出你的答案．
【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负，分别写出各点的坐标即可；
（2）分别根据各点的坐标计算总长即可；
（3）将M→A，M→N对应的横纵坐标相减即可得出答案．
【解答】解：（1）图中A→C{ 3，4}，C→B{﹣2，0}
故答案为：3，4；﹣2，0．
（2）由已知可得：A→B表示为{1，4}，B→C记为{2，0}，C→D记为{1，﹣2}，
则该甲虫走过的路程为：1+4+2+1+2＝10．
（3）由M→A{1﹣a，b﹣5}，M→N{5﹣a，b﹣2}，
可知：5﹣a﹣（1﹣a）＝4，b﹣2﹣（b﹣5）＝3，
∴点A向右走4个格点，向上走3个格点到点N，
∴A→N应记为（4，3）．
【点评】本题考查了正负数在网格线中的运动路线问题，数形结合，明确运动规则，是解题的关键．
26．（12分）综合探究
【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b（b＞a），则线段AB的长（点A到点B的距离）可表示为b﹣a，请用上面材料中的知识解答下面的问题：
【问题情境】如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C．
​（1）【问题探究】请在图2中表示出A、B、C三点的位置；
（2）【问题探究】若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M、N从点B、点C分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
①点A到点B的距离AB＝ 3 ，点A到点C的距离AC＝ 8 ；
②用含t的代数式表示：t秒时，点P表示的数为 ﹣t﹣2 ，点M表示的数为 2t+1 ，点N表示的数为 3t+6 ；
③试探究在运动的过程中，3PN﹣4PM的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，请求其值．
【分析】（1）利用数轴上的点表示即可；
（2）①利用数轴上的数字解答即可；
②结合数轴利用（1）中的方法解答即可；
③通过计算解答即可．
【解答】解：（1）A、B、C三点的位置在数轴上表示如图1所示：
（2）①AB＝1﹣（﹣2）＝3，AC＝6﹣（﹣2）＝8，
故答案为：3；8；
②如图2，
由题意得：PA＝t，BM＝2t，CN＝3t，
∴t秒时，点P表示的数为﹣t﹣2，点M表示的数为2t+1，点N表示的数为3t+6，
故答案为：﹣t﹣2；2t+1；3t+6；
③在移动的过程中，3PN﹣4PM的值不随着时间t的变化而变化，理由如下：
PN＝（3t+6）﹣（﹣t﹣2）＝4t+8，
PM＝（2t+1）﹣（﹣t﹣2）＝3t+3，
∴3PN﹣4PM＝3（4t+8）﹣4（3t+3）＝12t+24﹣12t﹣12＝12．
∴在移动的过程中，3PN﹣4PM的值总等于12，保持不变．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，列代数式，利用题意在数轴上表示出各点是解题的关键．
班级
一
二
三
四
五
六
超过（不足）（kg）
+1
+2
﹣1.5
0
﹣1
班级
一
二
三
四
五
六
超过（不足）（kg）
+1
+2
﹣1.5
0
﹣1