河南省郑州市桐柏一中2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份河南省郑州市桐柏一中2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．9，40，41
C．6，7，8D．1，，
2．下列说法正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和零；
②平方根和立方根都等于它本身的数为0和1；
③不带根号的数一定是有理数
④两个无理数的和是无理数．
A．0B．1C．2D．3
3．在下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．＝±3C．＝﹣6D．＝﹣2
4．若直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边上的高是（ ）
A．5B．10C．D．
5．的算术平方根是（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
6．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（ ）
​
A．11B．14C．17D．20
7．计算÷× 的结果是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（ ）
A．3B．4C．5D．6
9．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（CE＝1尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即EF＝10尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（DF＝5尺），求这个秋千的绳索AC有多长？（ ）
A．12尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺
10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝4，则S2的值是（ ）
A．B．1C．D．2
二、填空题
11．请写出一个比﹣2大且比3小的无理数： ．
12．如图，∠AOB＝90°，OA＝9，OB＝3，一个小球从点A处出发，沿着AO方向匀速滚向点O，机器人同时从点B出发，沿直线匀速去拦截小球，恰好在C处截住了小球，如果小球与机器人的速度相同，那么机器人行走的路程BC的长为 ．
13．实数m，n在数轴上的位置如图，化简：＝ ．
14．比较大小 ．（填“＞”或“＜”＝）
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D是BC边上的动点，点B关于直线AD的对称点为B′，连接AB′交BC于E，当△DEB′为直角三角形时，BD的长是 ．
三、解答题
16．计算：
（1）；
（2）．
17．已知一个正数的平方根是2a+3和a﹣15．
（1）求出a的值．
（2）求这个正数．
（3）求的平方根．
18．如图，每个小正方形的边长都为1
（1）四边形ABCD的周长＝ ；
（2）四边形ABCD的面积＝ ；
（3）∠ABC是直角吗？判断并说明理由．
19．如图，一辆小汽车在一条限速70km/h的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60m处的C点，过了5s后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m．
（1）求B，C间的距离；
（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
20．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ，5﹣的小数部分是 ．
（2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b﹣+1的平方根．
（3）若7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+的值．
21．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，，求AB的长．
​
22．阅读材料：
把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mm＝（m±n）2开方，从而使得化简．
如：
解答问题：
（1）填空：＝ ．
（2）化简：（请写出计算过程）．
（3）．
23．已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°．探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝1+，PA＝，求线段PC的长．
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，猜想PA2、PB2、PC2之间的数量关系，并证明．
（3）若动点P满足，则的值为 ．
参考答案与试题解析
一、单选题
1．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ）
A．0.3，0.4，0.5B．9，40，41
C．6，7，8D．1，，
【分析】根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵0.3，0.4，0.5不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
B、∵92+402＝412，∴是勾股数，符合题意；
C、∵62+72≠82，∴不是勾股数，不符合题意；
D、∵1，，不是整数，∴不是勾股数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股数，熟知满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．
2．下列说法正确的个数是（ ）
①实数包括有理数、无理数和零；
②平方根和立方根都等于它本身的数为0和1；
③不带根号的数一定是有理数
④两个无理数的和是无理数．
A．0B．1C．2D．3
【分析】①根据实数的分类，可得答案；
②根据平方根、立方根，可得答案；
③根据有理数的定义，可得答案；
④根据实数的运算，可得答案．
【解答】解：①实数包括有理数、无理数，故①错误；
②平方根和立方根都都等于它本身的数为0，故②错误；
③有限小数或无限循环小数是有理数，故③错误；
④两个无理数的和是可能是无理数、有理数，故④错误；
故选：A．
【点评】本题考查了实数，实数的分类不能重复、不能遗漏，无理数的运算可能是无理数、可能是有理数．
3．在下列各式中，计算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．＝±3C．＝﹣6D．＝﹣2
【分析】根据二次根式的性质、算术平方根、立方根以及合并同类项逐项进行计算即可．
【解答】解：A．a2和a3不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B．＝3，故B不符合题意；
C．＝6，故C不符合题意；
D．＝﹣2，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质、算术平方根、立方根以及合并同类项，掌握相关性质和运算法则是解答的关键．
4．若直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边上的高是（ ）
A．5B．10C．D．
【分析】根据勾股定理可知BC＝5，再根据直角三角形面积公式即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，过点A作AD⊥BC一点D．
∴，
∴，
∴4×3＝5×AD，
∴，
即斜边上的高是，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，直角三角形面积的两种计算分式，掌握勾股定理是解题的关键．
5．的算术平方根是（ ）
A．4B．2C．±4D．±2
【分析】利用算术平方根的意义解答即可．
【解答】解：∵＝4，4的算术平方根为2，
∴的算术平方根是2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了算术平方根的意义，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．
6．如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，则正方形B、D的面积之和为（ ）
​
A．11B．14C．17D．20
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形C＝S正方形B，S正方形C+S正方形E＝S正方形D，解得即可．
【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形C＝S正方形B，S正方形C+S正方形E＝S正方形D，
∴S正方形B+S正方形D＝S正方形A+2S正方形C+S正方形E，
∵正方形A、C、E的面积依次为3、5、4，
∴S正方形B+S正方形D＝3+2×5+4＝17，
∴正方形B、D的面积之和为17．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
7．计算÷× 的结果是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的乘除法运算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的乘除运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
8．如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】OA1＝1，OA2＝＝，OA3＝＝，找到OAn＝的规律即可计算OA1到OA25中长度为正整数的个数．
【解答】解：找到OAn＝的规律，
所以OA1到OA25的值分别为，，……，
故正整数为＝1，＝2，＝3，＝4，＝5．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，本题中找到OAn＝的规律是解题的关键．
9．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（CE＝1尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即EF＝10尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（DF＝5尺），求这个秋千的绳索AC有多长？（ ）
A．12尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺
【分析】设这个秋千的绳索AC＝x尺，得到x2＝（x﹣4）2+102，求出x的值，即可得到秋千的绳索AC的长．
【解答】解：设这个秋千的绳索AC＝x尺，则AD＝AC＝x尺，
∵BE＝FD＝5尺，CE＝1尺，
∴AB＝AC+CE﹣BE＝x+1﹣5＝（x﹣4）尺，
∵AD2＝AB2+BD2，
∴x2＝（x﹣4）2+102，
∴x＝14.5，
∴AC＝14.5（尺），
∴这个秋千的绳索AC的长是14.5尺．
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理的应用，数学常识，关键是应用勾股定理列出关于AC的方程．
10．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝4，则S2的值是（ ）
A．B．1C．D．2
【分析】设其中一个直角三角形的面积为x，则S1＝S3+8x，S2＝S3+4x，再根据S1+S2+S3＝4，可得答案．
【解答】解：设其中一个直角三角形的面积为x，
则S1＝S3+8x，S2＝S3+4x，
∵S1+S2+S3＝4，
∴S3+8x+S3+4x+S3＝4，
∴，
∴S2的值是，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理，图形面积的关系，表示出S1和S2是解题的关键．
二、填空题
11．请写出一个比﹣2大且比3小的无理数： ．
【分析】首先根据：32＝9，可得：一个比﹣2大且比3小的无理数的平方可以是5，这个无理数可以是，据此判断即可．
【解答】解：请写出一个比2大且比3小的无理数：．
故答案为：．（答案不唯一）
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是可以先求出这个无理数的平方的大小．
12．如图，∠AOB＝90°，OA＝9，OB＝3，一个小球从点A处出发，沿着AO方向匀速滚向点O，机器人同时从点B出发，沿直线匀速去拦截小球，恰好在C处截住了小球，如果小球与机器人的速度相同，那么机器人行走的路程BC的长为 5 ．
【分析】设BC＝x，由题意知，BC＝AC＝x，则OC＝9﹣x，在Rt△BOC中，由勾股定理得出方程求解即可．
【解答】解：设BC＝x，由题意知，BC＝AC＝x，则OC＝9﹣x，
在Rt△BOC中，由勾股定理得，
OB2+OC2＝BC2，
即32+（9﹣x）2＝x2，
解得x＝5，
∴BC＝5，
∴机器人行走的路程BC的长为5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确得出BC＝AC是解题的关键．
13．实数m，n在数轴上的位置如图，化简：＝ n ．
【分析】根据数轴上点的位置可得m＜0＜n，则n﹣m＞0，据此化简二次根式和绝对值即可得到答案．
【解答】解：由题意得，m＜0＜n，
∴n﹣m＞0，
∴，
故答案为：n．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，化简二次根式，化简绝对值，正确判断出n﹣m＞0，m＜0是解题的关键．
14．比较大小 ＞ ．（填“＞”或“＜”＝）
【分析】先用（）减去（﹣），再进行整理，然后两边平方得出与0的大小关系，最后进行移项，即可得出答案．
【解答】解：∵（）﹣（﹣）＝（）﹣2，
又∵（）2﹣（+）2＝2（﹣）＜0，
∴+＜+，
∴＜．
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解题的关键是通过移项、平方比较出与0的关系，再根据两个正数中绝对值大的数大，两个负数中绝对值大的反而小进行解答．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D是BC边上的动点，点B关于直线AD的对称点为B′，连接AB′交BC于E，当△DEB′为直角三角形时，BD的长是 5或2 ．
【分析】当∠B′ED＝90°时，先求出AE及B′E的长，再在Rt△B′DE中利用勾股定理求出BD；当∠B′DE＝90°时，作AH⊥BC，证明出△ADH为等腰直角三角形即可求出BD即可．
【解答】解：当∠B′ED＝90°时，如图，
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝8，
∵AB＝10，
∴AE＝6，
由折叠得BD＝B′D，AB′＝AB＝10，
∴B′E＝4，
设BD＝x，
∴DE＝8﹣x，
在Rt△B′DE中，（8﹣x）2+42＝x2，
∴x＝5，即BD＝5；
当∠B′DE＝90°时，如图，作AH⊥BC，
，
∵∠B′DE＝90°，
∴∠ADB＝∠ADB′＝135°，
∴∠ADH＝45°，
∴DH＝AH＝6，
∴BD＝BH﹣DH＝8﹣6＝2．
故答案为：5或2．
【点评】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用及等腰直角三角形的性质是解题关键．
三、解答题
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可；
（2）先根据二次根式的性质，绝对值的性质，负整数指数幂，零指数幂化简，再计算，即可．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝
＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17．已知一个正数的平方根是2a+3和a﹣15．
（1）求出a的值．
（2）求这个正数．
（3）求的平方根．
【分析】（1）根据已知得出2a+3+a﹣15＝0，求出即可；
（2）先求出2a+3，再平方即可求解；
（3）根据算术平方根的定义，平方根的定义即可求解．．
【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是2a+3和a﹣15，
∴2a+3+a﹣15＝0，
解得：a＝4．
故a的值是4；
（2）2a+3
＝8+3
＝11，
故这个正数为112＝121；
（3）＝＝4，
则的平方根是±2．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，平方根，算术平方根，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
18．如图，每个小正方形的边长都为1
（1）四边形ABCD的周长＝ 3+2+ ；
（2）四边形ABCD的面积＝ 9 ；
（3）∠ABC是直角吗？判断并说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理求出AB、BC、AD的长，再求出周长即可；
（2）根据图形得知△ABC的面积等于矩形的面积减去3个直角三角形的面积，根据面积公式求出即可；
（3）根据勾股定理的逆定理可判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）由勾股定理得：AB＝＝2，BC＝＝，AD＝＝，
∵DC＝2，
∴四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD＝2++2+＝3+2+，
故答案为：3+2+；
（2）△ABCD的面积＝4×4﹣×（2×1+2×4+4×1）＝9，
故答案为：9；
（3）∠ABC是直角，
理由是：连接AC，由勾股定理得：AC＝＝5，
∵AB＝2，BC＝，
∴AC2＝AB2+BC2，
∴∠ABC＝90°，
即∠ABC是直角．
【点评】本题考查了勾股定理以及其逆定理的运用，解题的关键是善于把不规则图形的面积转化为规则图形的面积．
19．如图，一辆小汽车在一条限速70km/h的公路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方60m处的C点，过了5s后，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m．
（1）求B，C间的距离；
（2）这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理代入数据即可求得答案．
（2）先根据B，C间的距离求得小汽车在5s内行驶的速度，再和限速70km/h比较大小即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由AC＝60m，AB＝100m，且AB为斜边，
根据勾股定理可得．
答：B，C间的距离为80m．
（2）这辆小汽车没有超速，理由如下：
∵80÷5＝16（m/s），
而16m/s＝57.6km/h，
∵57.6＜70，
所以这辆小汽车没有超速．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
20．我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．即的整数部分是1，小数部分是﹣1，请回答以下问题：
（1）的小数部分是 ﹣3 ，5﹣的小数部分是 4﹣ ．
（2）若a是的整数部分，b是的小数部分．求a+b﹣+1的平方根．
（3）若7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y+的值．
【分析】（1）根据算术平方根的定义，估算无理数，5﹣的大小，进而确定它们的整数部分、小数部分即可；
（2）根据算术平方根的定义，估算无理数，的大小，进而确定它们的整数部分、小数部分，即确定a、b的值，再代入计算出a+b﹣+1的值，最后求其平方根即可；
（3）估算无理数7+的值，确定x、y的值，代入计算x﹣y+的值即可．
【解答】解：（1）∵3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分为﹣3，
∵3＜＜4，
∴﹣4＜﹣＜﹣3，
∴1＜5﹣＜2，
∴5﹣的整数部分是1，小数部分为5﹣﹣1＝4﹣，
故答案为：﹣3，4﹣；
（2）∵＜＜，即9＜＜10，
∴的整数部分a＝9，
又∵1＜＜2，
∴的整数部分为1，的小数部分b＝﹣1，
∴a+b﹣+1＝9+﹣1﹣+1＝9，
∴a+b﹣+1的平方根为±＝±3；
（3）∵2＜＜3，
∴9＜7+＜10，
又∵7+＝x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝9，y＝7+﹣9＝﹣2，
∴x﹣y+＝9﹣+2+
＝11，
答：x﹣y+的值为11．
【点评】本题考查平方根、算术平方根以及估算无理数的大小，理解算术平方根、平方根的定义是正确解答的前提，确定a、b、x、y的值是得出正确答案的关键．
21．如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，若BC＝5，AD＝10，，求AB的长．
​
【分析】延长BE交AD于点F，根据垂直定义可得∠CBA＝∠A＝90°，从而可得CB∥AD，然后利用平行线的性质可得∠D＝∠C，从而根据ASA证明△CEB≌△DEF，再利用全等三角形的性质可得DF＝BC＝5，BE＝EF＝，从而可得AF＝5，最后在Rt△ABF中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
【解答】解：延长BE交AD于点F，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴∠CBA＝∠A＝90°，
∴CB∥AD，
∴∠D＝∠C，
∵点E是CD中点，
∴CE＝DE，
在△CEB和△DEF中，
，
∴△CEB≌△DEF（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF＝，
∵AD＝10，
∴AF＝AD﹣DF＝5，
在Rt△ABF中，BF＝BE+EF＝13，
∴AB＝＝＝12，
∴AB的长为12．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．阅读材料：
把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且，则把变成m2+n2±2mm＝（m±n）2开方，从而使得化简．
如：
解答问题：
（1）填空：＝ ．
（2）化简：（请写出计算过程）．
（3）．
【分析】（1）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可；
（2）根据材料提供计算步骤，把化为，根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可．
【解答】解：（1）；
故答案为：；
（2）；
（3）
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题考查二次根式的化简，解题关键是根据材料提供计算步骤，分析其是利用完全平方公式进行化简，同时运用分母有理化进行裂项相消．
23．已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰Rt△PCQ，∠PCQ＝90°．探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝1+，PA＝，求线段PC的长．
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，猜想PA2、PB2、PC2之间的数量关系，并证明．
（3）若动点P满足，则的值为 或 ．
【分析】（1）在等腰直角三角形ACB中，由勾股定理先求得AB的长，然后根据PA的长，可求得PB的长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，从而可求得CD、PD的长，然后在Rt三角形CDP中依据勾股定理可求得PC的长；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AP＝（AD+PD）＝（DC+PD），PB＝（DP﹣BD）＝（PD﹣DC），可证明AP2+BP2＝2PC2，因为在Rt△PCQ中，PQ2＝2CP2，所以可得出AP2+BP2＝PQ2的结论；
（3）根据点P所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得PD的长（用含有CD的式子表示），然后在Rt△ACP和Rt△DCP中由勾股定理求得AC和PC的长度即可．
【解答】解：（1）如图①所示：
∵△ABC是等腰直直角三角形，AC＝1+，
∴AB＝＝＝＝+，
∵PA＝，
∴PB＝AB﹣PA＝，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，PC＝CQ，∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACP＝∠BCQ，
在△APC和△BQC中，，
∴△APC≌△BQC（SAS）．
∴BQ＝AP＝，∠CBQ＝∠A＝45°．
∴△PBQ为直角三角形．
∴PQ＝＝2．
∴PC＝PQ＝2．
故答案为：2；
（2）AP2+BP2＝PQ2．理由如下：
如图②：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB．
∵AP2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DC•PD+PD2，
PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DC•PD+PD2，
∴AP2+BP2＝2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，
∴AP2+BP2＝2PC2．
∵△CPQ为等腰直角三角形，
∴2PC2＝PQ2．
∴AP2+BP2＝PQ2．
（3）如图③：过点C作CD⊥AB，垂足为D．
①当点P位于点P1处时．
∵＝，
∴P1A＝AB＝DC．
∴P1D＝DC．
在Rt△CP1D中，由勾股定理得：CP1＝＝＝DC，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝DC，
∴＝＝．
②当点P位于点P2处时．
∵＝，
∴P2A＝AB＝DC．
在Rt△CP2D中，由勾股定理得：P2C＝＝＝DC，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC＝＝＝DC，
∴＝＝．
综上所述，的比值为或；
故答案为：或．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；解本题的关键是作图辅助线，熟练应用勾股定理和构造全等三角形．