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山东省泰安市宁阳县2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（五四学制）
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这是一份山东省泰安市宁阳县2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷（五四学制），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣xB．x2+1＝x（x+）
C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
2．（4分）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣1或1D．1或0
3．（4分）下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A．众数是8B．中位数是8
C．平均数是8.2D．方差是1.2
5．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）
B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2
D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
6．（4分）如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（ ）
A．m＝﹣2，n＝5B．m＝2，n＝5C．m＝5，n＝﹣2D．m＝﹣5，n＝2
7．（4分）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的D．不变
8．（4分）若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（ ）
A．14B．16C．20D．40
9．（4分）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
11．（4分）若关于x的方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6B．m＞6C．m＞6且m≠10D．m＜6且m≠2
12．（4分）（1）（1）（1）…（1）（1）等于（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（共6题，每题4分，共24分）
13．（4分）因式分解：＝ ．
14．（4分）分式与的最简公分母是 ．
15．（4分）若一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为 ．
16．（4分）解分式方程+＝会产生增根，则m＝ ．
17．（4分）若a2+a+1＝0，则a2023+a2022+a2021＝ ．
18．（4分）已知，则的值为 ．
三、解答题（共7题，共78分）
19．（10分）因式分解：
（1）3a2+6ab+3b2；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
20．（10分）计算：
（1）+；
（2）1﹣÷．
21．（10分）解分式方程：
（1）；
（2）．
22．（16分）先化简，再求值：
（1），其中；
（2）÷（a+2+），其中a是使不等式成立的正整数．
23．（10分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）A组数据的中位数是 ，众数是 ；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
24．（10分）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
25．（12分）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣16
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣25；
（2）因式分解：x2﹣4y2﹣2x+4y；
（3）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12题，每题4分，共48分）
1．（4分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣xB．x2+1＝x（x+）
C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解判断即可．
【解答】解：A，D选项没有写成积的形式，故A，D不符合题意；
B选项，不是整式，故B选项不符合题意；
C选项，4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故C选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
2．（4分）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣1或1D．1或0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．（4分）下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用最简分式定义进行分析即可．
【解答】解：A、＝，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
B、是最简分式，故此选项符合题意；
C、＝＝﹣，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
D、＝﹣＝﹣，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简分式，关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
4．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A．众数是8B．中位数是8
C．平均数是8.2D．方差是1.2
【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；
平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；
方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
5．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）
B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2
D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误；
B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；
C、a2+2ab﹣4b2，无法分解因式，故此选项错误；
D、﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
6．（4分）如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（ ）
A．m＝﹣2，n＝5B．m＝2，n＝5C．m＝5，n＝﹣2D．m＝﹣5，n＝2
【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．
【解答】解：x2﹣mx+6＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣3）x﹣3n，
可得﹣m＝n﹣3，﹣3n＝6，
解得：m＝5，n＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
7．（4分）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的D．不变
【分析】根据分式的基本性质，可得答案．
【解答】解：把x和y都扩大3倍后，原式为＝•，约分后缩小为原来的．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
8．（4分）若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（ ）
A．14B．16C．20D．40
【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式计算即可．
【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，
∴2（a+b）＝10，ab＝4，
∴a+b＝5，
则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及提取公因式法分解因式，正确得出a+b的值是解题的关键．
9．（4分）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点”列方程求解．
【解答】解：∵乙同学的速度是x米/分，
则甲同学的速度是1.2x米/分，
由题意得：，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
10．（4分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；
拼成的长方形的面积为：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
11．（4分）若关于x的方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6B．m＞6C．m＞6且m≠10D．m＜6且m≠2
【分析】解分式方程，求得分式方程的解，再利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：关于x的方程＝2的解为：x＝，
∵原方程有可能产生增根2，
∴，
∴m≠2．
∵关于x的方程＝2的解为正数，
∴，
∴m＜6．
综上，m的取值范围是：m＜6且m≠2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
12．（4分）（1）（1）（1）…（1）（1）等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平方差公式将原式变为＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+），即××××××…××××，进行计算即可．
【解答】解：原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝，
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
三、填空题（共6题，每题4分，共24分）
13．（4分）因式分解：＝ ．
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
【解答】解：原式＝2（a2﹣a+）
＝2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14．（4分）分式与的最简公分母是 2a2b2c ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式与分母分别是2a2b，ab2c，所以最简公分母2a2b2c．
故答案为2a2b2c
【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
15．（4分）若一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为 ．
【分析】根据众数的定义先判断出x，y中至少有一个是5，再根据平均数的计算公式求出x+y＝11，然后代入方差公式即可得出答案．
【解答】解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴（4+x+5+y+7+9）＝6，
∴x+y＝11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数据的方差为[（4﹣6）2+2（5﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（9﹣6）2]＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了众数、平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]；解答本题的关键是掌握各个知识点的概念．
16．（4分）解分式方程+＝会产生增根，则m＝ ﹣10或﹣4 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：2x﹣2﹣5x﹣5＝m，
由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣1或x＝1，
把x＝﹣1代入整式方程得：﹣2﹣2+5﹣5＝m，即m＝﹣4；
把x＝1代入整式方程得：2﹣2﹣5﹣5＝m，即m＝﹣10，
则m＝﹣10或﹣4，
故答案为：﹣10或﹣4
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．（4分）若a2+a+1＝0，则a2023+a2022+a2021＝ 0 ．
【分析】用提取公因式法对原式进行变形，再代入数值求结果．
【解答】解：a2023+a2022+a2021＝a2021×（a2+a+1），
∵a2+a+1＝0，
∴a2021×（a2+a+1）
＝a2021×0
＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了因式分解的应用，关键用提取公因数的方法解答．
18．（4分）已知，则的值为 6 ．
【分析】根据已知可得y+x＝8xy，然后代入式子进行计算即可解答．
【解答】解：∵＝8，
∴y+x＝8xy，
∴
＝
＝
＝
＝
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了分式的值，根据已知得出y+x＝8xy，是解题的关键．
三、解答题（共7题，共78分）
19．（10分）因式分解：
（1）3a2+6ab+3b2；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
【分析】（1）先提公因式3，然后根据完全平方公式因式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）3a2+6ab+3b2
＝3（a2+2ab+b2）
＝3（a+b）2；
（2）（x2+1）2﹣4x2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】此题考查的是提公因式法与公式法的综合运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决此题的关键．
20．（10分）计算：
（1）+；
（2）1﹣÷．
【分析】（1）利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答；
（2）先算分式的除法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）+
＝﹣
＝
＝1；
（2）1﹣÷
＝1﹣•
＝1﹣
＝
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（10分）解分式方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先找出最简公分母2x（x+3），去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可；
（2）先找出最简公分母（x+2）（x﹣2），去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可．
【解答】解：（1）方程两边同乘2x（x+3），
得x+3＝4x，
解得x＝1，
检验：当x＝1时2x（x+3）≠0，
∴原分式方程的解是x＝1；
（2）方程两边同乘（x+2）（x﹣2），
得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16，
解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．
22．（16分）先化简，再求值：
（1），其中；
（2）÷（a+2+），其中a是使不等式成立的正整数．
【分析】（1）先计算分式的乘法，再算分式的加法，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝•+
＝+
＝
＝
＝，
当时，原式＝＝＝；
（2）÷（a+2+）
＝÷
＝÷
＝•
＝﹣，
∵，
∴a﹣1≤2，
∴a≤3，
∴该不等式的正整数解为：3，2，1，
∵a﹣2≠0，3+a≠0，3﹣a≠0，
∴a≠2，a≠﹣3，a≠3，
∴当a＝1时，原式＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（10分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）A组数据的中位数是 69 ，众数是 74 ；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 54 度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
【分析】（1）分别根据中位数、众数的定义可得A组数据的中位数和众数；用A组频数除以A组所占百分比可得样本容量，用360°乘B组数据所占比例可得在统计图中B组所对应的扇形圆心角度数；
（2）先求出C组频数，即可补全学生心率频数分布直方图；
（3）用2300乘样本中C组和D组所占百分比即可．
【解答】解：（1）把A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
故A组数据的中位数是：＝69，众数是74；
由题意得，样本容量为：8÷8%＝100，
在统计图中B组所对应的扇形圆心角是：360°×＝54°．
故答案为：69，74，54；
（2）C组频数为：100﹣8﹣15﹣45﹣2＝30，
补全学生心率频数分布直方图如下：
（3）2300×（30%+）＝1725（名），
答：估计大约有1725名学生达到适宜心率．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（10分）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
【分析】（1）设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；
（2）设每件T恤衫的标价至少是y元，根据题意列出不等式解答即可．
【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，根据题意可得：
，
解得：x＝40，
经检验x＝40是方程的解，
x+4＝40+4＝44，
答：该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是40元和44元；
（2）解：（件），
设每件T恤衫的标价是y元，根据题意可得：（300﹣40）y+40×0.7y≥（4000+8800）×（1+80%），
解得：y≥80，
答：每件T恤衫的标价至少是80元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（12分）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣16
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣25；
（2）因式分解：x2﹣4y2﹣2x+4y；
（3）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】（1）前三项符号完全平方式，再和最后一项应用平方差公式；
（2）前两项、后两项分别因式分解；
（3）将2b2分成两个b2，再进行分组分解．
【解答】解：（1）a2﹣6ab+9b2﹣25，
＝（a﹣3b）2﹣25，
＝（a﹣3b﹣5）（a﹣3b+5）；
（2）x2﹣4y2﹣2x+4y，
＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y），
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
（3）△ABC是等边三角形，
理由如下：
∵a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，
∴a＝b，且b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题属于阅读理解题，主要考查了因式分解的应用，熟练掌握各种因式分解的方法是解题的关键．
1．（4分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣xB．x2+1＝x（x+）
C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
2．（4分）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣1或1D．1或0
3．（4分）下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
4．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A．众数是8B．中位数是8
C．平均数是8.2D．方差是1.2
5．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）
B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2
D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
6．（4分）如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（ ）
A．m＝﹣2，n＝5B．m＝2，n＝5C．m＝5，n＝﹣2D．m＝﹣5，n＝2
7．（4分）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的D．不变
8．（4分）若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（ ）
A．14B．16C．20D．40
9．（4分）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
11．（4分）若关于x的方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6B．m＞6C．m＞6且m≠10D．m＜6且m≠2
12．（4分）（1）（1）（1）…（1）（1）等于（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（共6题，每题4分，共24分）
13．（4分）因式分解：＝ ．
14．（4分）分式与的最简公分母是 ．
15．（4分）若一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为 ．
16．（4分）解分式方程+＝会产生增根，则m＝ ．
17．（4分）若a2+a+1＝0，则a2023+a2022+a2021＝ ．
18．（4分）已知，则的值为 ．
三、解答题（共7题，共78分）
19．（10分）因式分解：
（1）3a2+6ab+3b2；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
20．（10分）计算：
（1）+；
（2）1﹣÷．
21．（10分）解分式方程：
（1）；
（2）．
22．（16分）先化简，再求值：
（1），其中；
（2）÷（a+2+），其中a是使不等式成立的正整数．
23．（10分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）A组数据的中位数是 ，众数是 ；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
24．（10分）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
25．（12分）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣16
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣25；
（2）因式分解：x2﹣4y2﹣2x+4y；
（3）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共12题，每题4分，共48分）
1．（4分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x（x﹣1）＝x2﹣xB．x2+1＝x（x+）
C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1
【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解判断即可．
【解答】解：A，D选项没有写成积的形式，故A，D不符合题意；
B选项，不是整式，故B选项不符合题意；
C选项，4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故C选项符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
2．（4分）如果分式的值为0，那么x的值为（ ）
A．﹣1B．1C．﹣1或1D．1或0
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：根据题意，得
|x|﹣1＝0且x+1≠0，
解得，x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
3．（4分）下列分式中，最简分式是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用最简分式定义进行分析即可．
【解答】解：A、＝，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
B、是最简分式，故此选项符合题意；
C、＝＝﹣，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
D、＝﹣＝﹣，则原分式不是最简分式，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了最简分式，关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．
4．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：
下列结论不正确的是（ ）
A．众数是8B．中位数是8
C．平均数是8.2D．方差是1.2
【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．
【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；
平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；
方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．
5．（4分）下列因式分解正确的是（ ）
A．3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax）
B．x2+y2＝（﹣x+y）（﹣x﹣y）
C．a2+2ab﹣4b2＝（a+2b）2
D．﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2
【分析】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式进而判断即可．
【解答】解：A、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误；
B、x2+y2，无法分解因式，故此选项错误；
C、a2+2ab﹣4b2，无法分解因式，故此选项错误；
D、﹣ax2+2ax﹣a＝﹣a（x﹣1）2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
6．（4分）如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（ ）
A．m＝﹣2，n＝5B．m＝2，n＝5C．m＝5，n＝﹣2D．m＝﹣5，n＝2
【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．
【解答】解：x2﹣mx+6＝（x﹣3）（x+n）＝x2+（n﹣3）x﹣3n，
可得﹣m＝n﹣3，﹣3n＝6，
解得：m＝5，n＝﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
7．（4分）如果把分式中的x、y同时扩大为原来的3倍，那么该分式的值（ ）
A．缩小为原来的B．扩大为原来的3倍
C．缩小为原来的D．不变
【分析】根据分式的基本性质，可得答案．
【解答】解：把x和y都扩大3倍后，原式为＝•，约分后缩小为原来的．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质是解题的关键．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
8．（4分）若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（ ）
A．14B．16C．20D．40
【分析】直接利用矩形面积求法结合提取公因式法分解因式计算即可．
【解答】解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，
∴2（a+b）＝10，ab＝4，
∴a+b＝5，
则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20．
故选：C．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及提取公因式法分解因式，正确得出a+b的值是解题的关键．
9．（4分）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点”列方程求解．
【解答】解：∵乙同学的速度是x米/分，
则甲同学的速度是1.2x米/分，
由题意得：，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
10．（4分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣ab＝a（a﹣b）
C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；因为拼成的长方形的长为（a+b），宽为（a﹣b），根据“长方形的面积＝长×宽”代入为：（a+b）×（a﹣b），因为面积相等，进而得出结论．
【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；
拼成的长方形的面积为：（a+b）×（a﹣b），
所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
11．（4分）若关于x的方程＝2的解为正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜6B．m＞6C．m＞6且m≠10D．m＜6且m≠2
【分析】解分式方程，求得分式方程的解，再利用已知条件列出不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：关于x的方程＝2的解为：x＝，
∵原方程有可能产生增根2，
∴，
∴m≠2．
∵关于x的方程＝2的解为正数，
∴，
∴m＜6．
综上，m的取值范围是：m＜6且m≠2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
12．（4分）（1）（1）（1）…（1）（1）等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平方差公式将原式变为＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+），即××××××…××××，进行计算即可．
【解答】解：原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）
＝××××××…××××
＝×
＝，
故选：B．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
三、填空题（共6题，每题4分，共24分）
13．（4分）因式分解：＝ ．
【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．
【解答】解：原式＝2（a2﹣a+）
＝2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
14．（4分）分式与的最简公分母是 2a2b2c ．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式与分母分别是2a2b，ab2c，所以最简公分母2a2b2c．
故答案为2a2b2c
【点评】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．
15．（4分）若一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，则这组数据的方差为 ．
【分析】根据众数的定义先判断出x，y中至少有一个是5，再根据平均数的计算公式求出x+y＝11，然后代入方差公式即可得出答案．
【解答】解：∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，众数为5，
∴x，y中至少有一个是5，
∵一组数据4，x，5，y，7，9的平均数为6，
∴（4+x+5+y+7+9）＝6，
∴x+y＝11，
∴x，y中一个是5，另一个是6，
∴这组数据的方差为[（4﹣6）2+2（5﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（9﹣6）2]＝；
故答案为：．
【点评】此题考查了众数、平均数和方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]；解答本题的关键是掌握各个知识点的概念．
16．（4分）解分式方程+＝会产生增根，则m＝ ﹣10或﹣4 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到最简公分母为0求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：2x﹣2﹣5x﹣5＝m，
由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）＝0，
解得：x＝﹣1或x＝1，
把x＝﹣1代入整式方程得：﹣2﹣2+5﹣5＝m，即m＝﹣4；
把x＝1代入整式方程得：2﹣2﹣5﹣5＝m，即m＝﹣10，
则m＝﹣10或﹣4，
故答案为：﹣10或﹣4
【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
17．（4分）若a2+a+1＝0，则a2023+a2022+a2021＝ 0 ．
【分析】用提取公因式法对原式进行变形，再代入数值求结果．
【解答】解：a2023+a2022+a2021＝a2021×（a2+a+1），
∵a2+a+1＝0，
∴a2021×（a2+a+1）
＝a2021×0
＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了因式分解的应用，关键用提取公因数的方法解答．
18．（4分）已知，则的值为 6 ．
【分析】根据已知可得y+x＝8xy，然后代入式子进行计算即可解答．
【解答】解：∵＝8，
∴y+x＝8xy，
∴
＝
＝
＝
＝
＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了分式的值，根据已知得出y+x＝8xy，是解题的关键．
三、解答题（共7题，共78分）
19．（10分）因式分解：
（1）3a2+6ab+3b2；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
【分析】（1）先提公因式3，然后根据完全平方公式因式分解即可；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）3a2+6ab+3b2
＝3（a2+2ab+b2）
＝3（a+b）2；
（2）（x2+1）2﹣4x2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】此题考查的是提公因式法与公式法的综合运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决此题的关键．
20．（10分）计算：
（1）+；
（2）1﹣÷．
【分析】（1）利用同分母分式加减法法则进行计算，即可解答；
（2）先算分式的除法，再算加减，即可解答．
【解答】解：（1）+
＝﹣
＝
＝1；
（2）1﹣÷
＝1﹣•
＝1﹣
＝
＝﹣．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．（10分）解分式方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先找出最简公分母2x（x+3），去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可；
（2）先找出最简公分母（x+2）（x﹣2），去分母后求出x的值，然后检验确定分式方程的解即可．
【解答】解：（1）方程两边同乘2x（x+3），
得x+3＝4x，
解得x＝1，
检验：当x＝1时2x（x+3）≠0，
∴原分式方程的解是x＝1；
（2）方程两边同乘（x+2）（x﹣2），
得（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝16，
解得x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
∴原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，通过去分母把分式方程转化为整式方程求解．最后注意需验根．
22．（16分）先化简，再求值：
（1），其中；
（2）÷（a+2+），其中a是使不等式成立的正整数．
【分析】（1）先计算分式的乘法，再算分式的加法，然后把x的值代入化简后的式子进行计算，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
＝•+
＝+
＝
＝
＝，
当时，原式＝＝＝；
（2）÷（a+2+）
＝÷
＝÷
＝•
＝﹣，
∵，
∴a﹣1≤2，
∴a≤3，
∴该不等式的正整数解为：3，2，1，
∵a﹣2≠0，3+a≠0，3﹣a≠0，
∴a≠2，a≠﹣3，a≠3，
∴当a＝1时，原式＝﹣＝﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
23．（10分）某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数x（次/分钟），分为如下五组：A组：50≤x＜75，B组：75≤x＜100，C组100≤x＜125，D组：125≤x＜150，E组：150≤x＜175．其中A组数据为：73，65，74，68，74，70，66，56．
根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图解答下列问题：
（1）A组数据的中位数是 69 ，众数是 74 ；在统计图中B组所对应的扇形圆心角是 54 度；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）一般运动的适宜心率为100≤x＜150（次/分钟），学校共有2300名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
【分析】（1）分别根据中位数、众数的定义可得A组数据的中位数和众数；用A组频数除以A组所占百分比可得样本容量，用360°乘B组数据所占比例可得在统计图中B组所对应的扇形圆心角度数；
（2）先求出C组频数，即可补全学生心率频数分布直方图；
（3）用2300乘样本中C组和D组所占百分比即可．
【解答】解：（1）把A组数据从小到大排列为：56，65，66，68，70，73，74，74，
故A组数据的中位数是：＝69，众数是74；
由题意得，样本容量为：8÷8%＝100，
在统计图中B组所对应的扇形圆心角是：360°×＝54°．
故答案为：69，74，54；
（2）C组频数为：100﹣8﹣15﹣45﹣2＝30，
补全学生心率频数分布直方图如下：
（3）2300×（30%+）＝1725（名），
答：估计大约有1725名学生达到适宜心率．
【点评】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、众数、中位数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（10分）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求．商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元．
（1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？
（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？
【分析】（1）设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，根据所购数量是第一批购进量的2倍列出方程解答即可；
（2）设每件T恤衫的标价至少是y元，根据题意列出不等式解答即可．
【解答】（1）解：设该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是x元和（x+4）元，根据题意可得：
，
解得：x＝40，
经检验x＝40是方程的解，
x+4＝40+4＝44，
答：该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是40元和44元；
（2）解：（件），
设每件T恤衫的标价是y元，根据题意可得：（300﹣40）y+40×0.7y≥（4000+8800）×（1+80%），
解得：y≥80，
答：每件T恤衫的标价至少是80元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．（12分）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16．我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：
x2﹣2xy+y2﹣16
＝（x﹣y）2﹣16
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣25；
（2）因式分解：x2﹣4y2﹣2x+4y；
（3）△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】（1）前三项符号完全平方式，再和最后一项应用平方差公式；
（2）前两项、后两项分别因式分解；
（3）将2b2分成两个b2，再进行分组分解．
【解答】解：（1）a2﹣6ab+9b2﹣25，
＝（a﹣3b）2﹣25，
＝（a﹣3b﹣5）（a﹣3b+5）；
（2）x2﹣4y2﹣2x+4y，
＝（x﹣2y）（x+2y）﹣2（x﹣2y），
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）；
（3）△ABC是等边三角形，
理由如下：
∵a2+c2+2b2﹣2ab﹣2bc＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（c2﹣2bc+b2）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，
∴a＝b，且b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题属于阅读理解题，主要考查了因式分解的应用，熟练掌握各种因式分解的方法是解题的关键．
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