专题2.11一元一次方程的新定义问题大题专练（培优强化30题）-2023-2024学年七年级数学上学期专题复习（苏科版）

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一．解答题（共30小题）
1．（2021秋•江都区期末）我们规定：若关于x的一元一次方程a+x＝b（a≠1）的解为x＝ab，则称该方程为“积解方程”．例如：2+x＝﹣2的解为x＝﹣2﹣2＝﹣4且x＝2×（﹣2）＝﹣4，则称方程2+x＝﹣2是“积解方程”，请回答下列问题：
（1）判断一元一次方程4+x=−43是不是“积解方程”，并说明理由．
（2）若关于x的一元一次方程32+x＝m+4是“积解方程”，求m的值并求出该方程的解．
2．（2021秋•溧阳市期末）阅读理解学：
我们都应该知道，任何无限循环小数都应该属于有理数，那是因为所有无限循环小数都可以化成分数形式，而分数属于有理数．那么无限循环小数怎么化成分数呢？下面的学习材料会告诉我们原因和方法：
问题：利用一元一次方程将0.7⋅化成分数．
设0.7⋅=x．
由0.7⋅=0.7777…，可知10×0.7⋅=7777…＝7+0.7777…＝7+0.7⋅，
即10x＝7+x．
可解得x=79，即0.7⋅=79．
（1）将0.5⋅直接写成分数形式为 ．
（2）请仿照上述方法把下列小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程．
①0.2⋅7⋅；
②0.13⋅6⋅．
3．（2021秋•高邮市期末）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
4．（2022春•泰州期末）如果a⊕b＝c，则ac＝b，例如2⊕8＝3，则23＝8．
（1）根据上述规定，若3⊕27＝x，则x＝ ；
（2）记3⊕5＝a，3⊕6＝b，3⊕90＝c，求a、b、c之间的数量关系．
5．（2022秋•秦淮区校级月考）某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法．
例如解绝对值方程：|2x|＝1．
解：分类讨论：当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是x=12．
当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的标是x=−12．
∴原方程的解为x=12或x=−12．
（1）依例题的解法，方程|12x|＝3的解是 ．
（2）在尝试解绝对值方程|x﹣2|＝3时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程；
（3）在尝试解绝对值方程|x﹣3|＝5时，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，|a﹣b|表示数a，b在数轴上对应的两点A、B之间的距离，则|x﹣3|＝5表示数x与3在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是 ；
（4）在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x的方程|x﹣2|+|x﹣1|＝m（m＞0）；（如果用数形结合的思想，简要画出数轴，并加以必要说明）．
6．（2022秋•江都区期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程2x﹣1＝3和x+1＝0为“美好方程”．
（1）方程4x﹣（x+5）＝1与方程﹣2y﹣y＝3是“美好方程”吗？请说明理由；
（2）若关于x的方程x2+m=0与方程3x﹣2＝x+4是“美好方程”，求m的值；
（3）若关于x方程2x﹣n+3＝0与x+5n﹣1＝0是“美好方程”，求n的值．
7．（2021秋•泗阳县期末）已知y1＝x+3，y2＝5﹣x．
（1）当x取何值时，y1与y2的值相等？
（2）当x取何值时，y1的值比y2的值的2倍大5？
8．（2021秋•宝应县期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定如下：a※b＝ab2﹣2ab+a．例如：（﹣1）※3＝﹣1×32﹣2×（﹣1）×3+（﹣1）＝﹣4．
（1）求2※（﹣3）的值；
（2）化简：（1※x）﹣[（﹣8x）※12]；
（3）若（x※3）※13=5，求x的值．
9．（2021秋•兴化市期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝b2+2ab，如：1*4＝42+2×1×4＝24．
（1）求2*（﹣5）的值；
（2）若（3x﹣2）*1＝x，求x的值．
10．（2021秋•姜堰区期末）若新规定这样一种运算法则：a※b＝2a+b．例如：（﹣3）※2＝2×（﹣3）+2＝﹣4．
（1）求2※（﹣5）的值；
（2）若（x﹣3）※（x+3）＝6，求x的值．
11．（2021秋•锡山区期末）用“⊗”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a⊗b＝a2b+2ab+b，例如：1⊗3＝12×3+2×1×3+3＝12．
（1）求2⊗（﹣1）的值；
（2）若3⊗（x﹣1）＝16，求x的值；
（3）已知x为有理数，设m＝x⊗2，n＝3⊗x4，试比较m、n的大小．
12．（2021秋•盱眙县期末）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b＝a（a+b）．例如：1※2＝1×（1+2）＝1×3＝3．
（1）求（﹣3）※4的值；
（2）若（﹣2）※（3x﹣2）＝x+1，求x的值．
13．（2021秋•太仓市期末）若规定“⊕”的运算过程表示为：a⊕b=13a﹣2b，如3⊕1=13×3﹣2×1＝﹣1．
（1）则（﹣6）⊕12= ．
（2）若（2x﹣1）⊕12x＝3⊕x，求x的值．
14．（2021秋•连云港期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4x＝8和x+1＝0为“美好方程”．
（1）若关于x的方程3x+m＝0与方程4x﹣2＝x+10是“美好方程“，求m的值；
（2）若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
（3）若关于x的一元一次方程12022x+3＝2x+k和12022x+1＝0是“美好方程”，求关于y的一元一次方程12022（y+1）+3＝2y+k+2的解．
15．（2021秋•邗江区期末）若新规定这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3．
（1）试求（﹣2）※3的值；
（2）若4※x＝﹣x﹣2，求x的值．
16．（2022秋•如东县期中）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．
解方程：|x﹣3|＝2．
解：当x﹣3≥0时，原方程可化为x﹣3＝2，解得x＝5；
当x﹣3＜0时，原方程可化为x﹣3＝﹣2，解得x＝1．
所以原方程的解是x＝5或x＝1．
（1）解方程：|3x﹣2|﹣4＝0．
（2）解关于x的方程：|x﹣2|＝b．
17．（2022春•朝阳区期中）定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3＝4a+3．
（1）计算5※6值为 ．
（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
18．（2022秋•宛城区校级月考）整数都能化成分数，部分小数也可以化成分数，比如：
（1）5可以看作51，（2）2.4=2410=125，（3）要把0.3转化成分数形式，可以采用下面的方法：
设x＝0.3⋅=0.3333…①，则10x＝3.3333…②，由②﹣①，得9x＝3，解得x=13．
因此0.3⋅=0.3333⋯=13，通过阅读以上材料，请你完成下列问题：
（1） 和 统称为有理数．
（2）把0.7⋅化成分数．
19．（2022春•无锡期末）对于有理数，规定新运算a*b=a+b−5，a＞b，ab−b，a≤b．
例如3*2，因为3＞2，所以3*2＝3+2﹣5＝0．
（1）计算：（﹣2）*5；
（2）若（x+3）*2＝3，求x；
（3）记M＝（x+3）*（x﹣1），N＝x*（x+1），判断M和N的大小关系，并说明理由．
20．（2022春•雁峰区期中）用“※”定义一种新运算：规定a※b＝ab2+2ab﹣b，如：1※3＝1×32+2×1×3﹣3＝12．
（1）若|m+1|+（n﹣4）2＝0，求m※n的值；
（2）若（x﹣1）※3＝12，求x的值．
21．（2022秋•昭平县期中）用“★”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a★b＝ab2+2ab+a．如：1★3＝1×32+2×1×3+1＝16．
（1）（﹣3）★2＝ ．
（2）若（a2★3）★（﹣2）＝16，求a的值．
22．（2022春•朝阳区期中）定义一种新运算“※”，其规则为x※y＝xy﹣x+y．例如6※5＝6×5﹣6+5＝29．再如：（2a）※3＝（2a）×3﹣2a+3．
（1）计算5※6值为 ．
（2）若（2m）※3＝2※m，求m的值．
（3）有理数的加法和乘法运算都满足交换律，即a+b＝b+a，ab＝ba，“※”运算是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明．
23．（2022春•蒸湘区校级月考）定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝﹣2a+3b，如：1⊕5＝（﹣2）×1+3×5＝13．在以上运算规则下，解决下列问题，
（1）计算：2⊕（﹣3）；
（2）解方程：x⊕2＝10．
24．（2022春•徐汇区校级期中）在有理数范围内规定一个运算“*”，其规则是：a∗b=a+b2．
（1）2*x＝ ．
（2）关于x的方程：3*（2*x）＝1的解x＝ ．
25．（2022春•唐河县月考）对于两个非零常数a，b，规定一种新的运算：a※b＝a﹣2b，例如，3※2＝3﹣2×2＝﹣1．根据新运算法则，解答下列问题：
（1）求3※（﹣2）的值；
（2）若5※（x﹣2）＝11，求x的值．
26．（2021秋•南关区校级期末）阅读材料：规定一种新的运算a☆b☆c＝a+b﹣ac．例如3☆2☆1＝3+2﹣3×1＝2．
（1）按照这个规定，计算1☆2☆3的结果为 ；
（2）按照这个规定，化简（x﹣1）☆（x2﹣2）☆3；
（3）按照这个规定，当2☆x☆3＝4☆1☆x时，x的值为 ；
（4）按照这个规定，若（1﹣x）☆（2x+1）☆（﹣2）＝m，12☆m☆（m﹣1）＝2，则x的值为 ．
27．（2021秋•濮阳期末）规定的一种新运算“*”：a*b＝a2+2ab，例如：3*2＝32+2×3×2＝21．
（1）试求3*（﹣2）的值；
（2）若（﹣3）*x＝3，求x的值；
（3）若（﹣5）*x等于2x+1，求x的值．
28．（2021秋•秀屿区校级期末）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与
（c，d）．我们规定：（a，b）★（c，d）＝bc﹣ad．
例如：（1，2）★（3，4）＝2×3﹣1×4＝2．
根据上述规定解决下列问题：
（1）有理数对（3，﹣2）★（1，﹣2）＝ ．
（2）若有理数对（2，2x+1）★（1，2x﹣1）＝7，求x的值．
29．（2022春•开福区校级月考）方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，则m＝ ；
（2）若关于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，则n＝ ；
（3）若关于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是关于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
30．（2021春•方城县期中）已知关于x的方程x+2x=3+23的两个解是x1=3，x2=23；
又已知关于x的方程x+2x=4+24的两个解是x1=4，x2=24；
又已知关于x的方程x+2x=5+25的两个解是x1=5，x2=25；
…，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于x的方程x+2x=c+2c的两个解是x1=c，x2=2c；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
（1）关于x的方程x+2x=11+211的两个解是x1＝ 和x2＝ ；
（2）已知关于x的方程x+2x−1=12+211，则x的两个解是多少？