高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数课文内容ppt课件

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三种常见函数模型的增长差异比较三种函数模型的性质,填写下表.
微判断(1)当x每增加一个单位时,y增加或减少的量为定值,则y是x的一次函数.(　　)(2)函数y=lg2x增长的速度越来越慢.(　　)(3)不存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>100x.(　　)
解析:(1)因为一次函数的图象是一条直线,所以当x增加一个单位时,y增加或减少的量为定值.(2)由函数y=lg2x的图象(图略)可知其增长的速度越来越慢.(3)根据指数函数和一次函数增长速度的比较可知存在一个实数m,使得当x>m时,1.1x>100x.
一 函数模型的增长差异的比较
典例剖析1.已知函数f(x)=1.1x和g(x)=ln x+1的图象如图所示,设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1解:(1)曲线C1对应的函数为f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数为g(x)=ln x+1.当xg(x);当x1x2时,f(x)>g(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(14),所以1x2.从题图可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2 023)>g(2 023).又g(2 023)>g(6),所以f(2 023)>g(2 023)>g(6)>f(6).
规律总结常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型:y=kx+b(k>0),增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1),增长特点是随着自变量x的增大,函数值增长的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
(3)对数型函数模型:f(x)=mlgax+n(m,n,a为常数,m>0, x>0,a>1),增长特点是开始阶段增长得较快,但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”. (4)幂型函数模型:f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0,α≠1),增长情况由a和α的取值确定.
学以致用1.函数f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1的图象如图所示.
(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1,C2分别对应的函数;(2)以两图象交点为分界点,对f(x),g(x)的大小进行比较.
解:(1)曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,曲线C2对应的函数为f(x)=lg x.(2)当xf(x);当x1g(x);当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
二 函数模型的增长差异在函数图象上的体现
典例剖析2.一个高为H,容量为V0的鱼缸的轴截面如图所示.现向鱼缸中匀速加水,直到注满为止.当鱼缸水深为h时,水的体积为V,则函数V=f(h)的大致图象是(　　)
解析:由题图可知,当水深h越大时,水的体积V就越大,故函数V=f(h)单调递增.根据鱼缸的形状,下边较细,中间较粗,上边较细,所以随着水深的增加,水的体积的变化速度是先快后慢.故选B.
学以致用2.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年的年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系用图象表示,正确的是(　　)
三 函数模型的选择问题
典例剖析3.科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元的投资收益目标,准备制定一个激励研发人员的奖励方案:当投资收益达到3 000万元时,按投资收益进行奖励,要求奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,奖金总数不低于100万元,且奖金总数不超过投资收益的20%.现有三个奖励函数模型:①y=0.03x+8;②y=0.8x+200;③y=100lg20x+50.试分析这三个函数模型是否符合公司要求.
互动探究(变问法)若使用本例中符合公司要求的函数模型,要使奖金达到350万元,公司的投资收益至少要达到多少万元?解:由100lg20x+50≥350,即lg20x≥3,解得x≥8 000,所以公司的投资收益至少要达到8 000万元.
规律总结如何选择函数模型观察法:对于给出部分具体数据的题型,在选择函数模型时,需要整体观察数据的变化趋势,大体上确定函数类型,然后将具体数值代入,进行排除,找出最佳的函数模型. 散点图法:根据数据作出散点图,通过升、降情况选择函数模型.常见的散点图对应的函数模型:
学以致用3.下列选项是投资预期的收益y关于时间x的函数,从长远的角度看,更为有前途的投资是(　　)A.y=10×1.05xB.y=20++lg(x-1)D.y=50答案:A解析:由所给函数的增长差异可知,指数型函数y=10×1.05x增长最快,所以A的预期收益最大.故选A.
1.某同学最近5年内的学习费用y(单位:千元)与时间x(单位:年)的关系如图所示,则可选择的模拟函数模型是(　　)A.y=ax+b(a,b为常数,a≠0)B.y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)C.y=a·ex+b(a,b为常数,a≠0)D.y=aln x+b(a,b为常数,a≠0)
2.在同一直角坐标系中画出函数y=lgax,y=ax,y=x+a的图象,可能正确的是(　　)
解析:由题意可知,a>0,且a≠1.当01时,函数y=lgax,y=ax,y=x+a在定义域上单调递增,且函数y=x+a的图象与y轴交点的纵坐标大于1,观察题中图象可知,D选项满足条件,故选D.
3.使不等式lg2x4.某学习小组通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现:该服装在过去的一个月内(以30天计),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如表所示.
给出以下四种函数模型:①Q(x)=ax+b;②Q(x)=a|x-25|+b;③Q(x)=a·bx;④Q(x)=a·lgbx.根据表中的数据,你认为最适合描述该服装在过去的一个月内(以30天计)的日销售量Q(x)与时间x的变化关系的一种函数模型为　　　(填序号).