高中数学人教A版 (2019)必修第一册2.2 基本不等式第2课时练习题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册2.2 基本不等式第2课时练习题，共4页。试卷主要包含了故选C，故选B等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1.已知正数x,y满足=1,则xy有( )
A.最小值B.最大值16
C.最小值16D.最大值
答案C
解析∵x>0,y>0,∴≥2=4.
∵=1,∴4≤1,
∴,∴xy≥16.故选C.
2.已知0A.B.C.D.
答案B
解析由x(3-3x)=×3x(3-3x)≤,当且仅当3x=3-3x,即x=时等号成立.
3.已知x>1,在x=t时取得最小值,则t等于( )
A.1+B.2
C.3D.4
答案B
解析∵x>1,∴x-1>0,则=x+=x-1++1≥2+1=3,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立.故t=2.
4.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为( )
A.16B.25C.9D.36
答案B
解析∵x>0,y>0,∴1+x>0,1+y>0,
又x+y=8,
∴(1+x)(1+y)≤=2==25,
当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时,取等号.
故(1+x)(1+y)的最大值为25.故选B.
5.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明,在现代数学中可用下图来表述.我们教材中利用该图作为( )的几何解释.
A.如果a>b,b>c,那么a>c
B.如果a>b>0,那么a2>b2
C.对任意正实数a和b,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立
D.如果a>b,c>0,那么ac>bc
答案C
6.为净化水质,某游泳馆向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度C(单位:mg·L-1)随时间t(单位:h)的变化关系为C=,则经过 h后池水中该药品的浓度达到最大值为 .
答案2 5
解析C=.
因为t>0,所以t+≥2=4(当且仅当t=,即t=2时,等号成立),所以C==5,即当t=2时,C取得最大值5.
7.某公司一年需购买某种货物400吨,每次都购买x吨,每次的运费为4万元,一年的存储费用为4x万元,要使一年的运费与存储费用之和最少,则x= .
答案20
解析一年的运费与存储费用之和为(4x+×4)万元,4x+×4=4x+≥2=160,当且仅当4x=,即x=20时取等号.
8.已知0答案4
解析∵08-3x>2>0,
∴=4,
当且仅当3x=8-3x,即x=时,取等号.∴当x=时,取最大值,且最大值为4.
9.已知a>0,b>0,c>0,求证:≥a+b+c.
证明∵a>0,b>0,c>0,∴均大于0.
又+b≥2=2a,+c≥2=2b,+a≥2=2c,
三式相加得+b++c++a≥2a+2b+2c,
∴≥a+b+c.
10.某商场预计全年分批购入2 000元/台的电视机共3 600台.每批都购入x台(x是自然数),且每批均需付运费400元.贮存购入的电视机全年所需的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比.若每批购入400台,则全年需用去运输和保管总费用43 600元.现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用,问能否恰当安排每批进货的数量,使资金够用?
解设全年的运输和保管总费用为y元(y>0),题中正比例函数的比例系数为k,则y=×400+k(2000x)=+2000kx.
因为当x=400时,y=43600,所以k=0.05.
故有y=+100x≥2=24000.
当且仅当=100x,即x=120时取等号.
所以只需每批购入120台,可使资金够用.
能力提升
1.(多选题)下列说法正确的是( )
A.当x>0时,2x+的最小值为2
B.的最小值为2
C.当x>0时,2-3x-的最大值为2-4
D.已知x>0,y>0,4xy-x-2y=4,则xy的最小值为2
答案ACD
解析对于A,当x>0时,2x+≥2,故A正确;
对于B,若=2,则无实数解;
对于C,当x>0时,2-3x-≤2-4,当且仅当3x=时,等号成立,故C正确;
对于D,∵x>0,y>0,x+2y≥2,
∴4xy-(x+2y)≤4xy-2,
∴4≤4xy-2,则(-2)(+1)≥0,∴≥2,
∴xy≥2,故D正确.
2.已知a>0,b>0,且a+b=1,则的最小值为( )
A.6B.7
C.8D.9
答案D
解析∵a>0,b>0,a+b=1,
∴ab≤,当a=b=时,等号成立.
∴+1≥+1=9.故选D.
3.若对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.a≥0B.a≥
C.a≥1D.a≥2
答案B
解析对于任意的x>0,不等式≤a恒成立,即对任意x>0,不等式≤a恒成立.因为x++3≥3+2=5,当且仅当x=1时,取等号,所以的最大值为.所以a≥.故选B.
4.若正数x,y满足x2+xy-2=0,则3x+y的最小值是 .
答案4
解析(方法一)∵x2+xy-2=0,
∴y=-x,
∴3x+y=3x+-x=2x+≥4,当且仅当x=1时等号成立,故3x+y的最小值为4.
(方法二)∵x2+xy=2,∴x(x+y)=2.
∵x>0,y>0,3x+y=2x+(x+y)≥2=4,当且仅当时,取等号.
∴3x+y的最小值为4.
5.已知a,b均为正实数,且2a+8b-ab=0,求a+b的最小值.
解∵2a+8b-ab=0,∴=1.
又a>0,b>0,
∴a+b=(a+b)=10+≥10+2=18,
当且仅当,即a=2b时,等号成立.
由解得
∴当a=12,b=6时,a+b取得最小值18.
6.某建筑公司用8 000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层4 000平方米的楼房.经初步估计得知,如果将楼房建为x(x≥12)层,那么每平方米的平均建筑费用为y=3 000+50x(单位:元).为了使每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用最少是多少?
[注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=]
解设每平方米的平均综合费用为y1元,依题意得y1=y+=50x++3000(x≥12,x∈N*),故y1=50x++3000≥2+3000=5000(元),
当且仅当50x=,即x=20时,等号成立.
所以当x=20时,y1取得最小值5000元.
所以该楼房应建为20层,此时每平方米的平均综合费用最少,为5000元.

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