人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课后练习题

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质课后练习题，共4页。试卷主要包含了下列说法正确的是，求证，已知函数f=2x4等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1.已知f(x)是奇函数,且f(a)=-2,则f(-a)等于( )
A.-2B.2C.±2D.0
答案B
解析因为f(x)是奇函数,所以f(-a)=-f(a)=2.
2.对于定义域为R的奇函数f(x),都有( )
A.f(x)-f(-x)>0
B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)f(-x)≤0
D.f(x)f(-x)>0
答案C
解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)f(-x)=-[f(x)]2≤0.
3.下列说法正确的是( )
A.函数f(x)=是奇函数
B.函数f(x)=(1-x)是偶函数
C.函数f(x)=x+是非奇非偶函数
D.函数f(x)=1既是奇函数又是偶函数
答案C
解析对于A,函数f(x)=的定义域是(-∞,2)∪(2,+∞),不关于原点对称,故不是奇函数;对于B,函数f(x)=(1-x)的定义域是[-1,1),不关于原点对称,故不是偶函数;对于C,函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞),定义域关于原点对称,但f(-x)≠-f(x),且f(-x)≠f(x),故函数是非奇非偶函数;对于D,f(x)=1不是奇函数.
4.在下列函数中,既是奇函数又是增函数的函数为( )
A.y=x+1B.y=-x2
C.y=D.y=x|x|
答案D
解析根据函数奇偶性的定义知y=x+1是非奇非偶的增函数;y=-x2是偶函数,但不是单调函数;y=是奇函数,但在区间(-∞,0),(0,+∞)内单调递减;D中函数可化为y=易知是奇函数且是增函数.
5.(多选题)若函数y=f(x),x∈R是奇函数,则下列点一定在函数y=f(x)图象上的是( )
A.(0,0)B.(-a,-f(a))
C.(-a,-f(-a))D.(a,f(-a))
答案AB
解析因为y=f(x),x∈R是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),又x∈R,
所以令x=0,则f(-0)=-f(0),得f(0)=0,
所以点(0,0),(-a,-f(a))一定在函数y=f(x)的图象上.
故选AB.
6.若定义在R上的偶函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,则( )
A.f(3)>f(-4)>f(-π)
B.f(-π)C.f(3)D.f(-4)答案C
解析因为函数f(x)为偶函数,所以f(-π)=f(π),f(-4)=f(4).
又因为函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,所以f(3)即f(3)7.已知函数f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= .
答案4
解析因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即(-x+a)(-x-4)=(x+a)(x-4),
即x2+(4-a)x-4a=x2+(a-4)x-4a,
所以4-a=a-4,解得a=4.
8.求证:函数f(x)=x2+的图象关于y轴对称.
证明函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
因为∀x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有-x∈(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=(-x)2+=x2+=f(x),所以函数f(x)是偶函数.
故f(x)的图象关于y轴对称.
9.已知函数f(x)=2x4.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)分别指出函数f(x)在区间(1,6)和(-6,-1)内的单调性,并加以证明;
(3)由此你能发现什么结论?
解(1)函数f(x)的定义域为R.
因为∀x∈R,都有-x∈R,且f(-x)=2(-x)4=2x4=f(x),
所以函数f(x)是偶函数.
(2)函数f(x)在区间(1,6)内单调递增,在区间(-6,-1)内单调递减.证明如下:
∀x1,x2∈(1,6),且x1则f(x1)-f(x2)=2-2=2()()=2(x1-x2)(x1+x2)().
∵1∴x1-x2<0,x1+x2>0,>0,
∴f(x1)∴函数f(x)在区间(1,6)内单调递增.
同理可证函数f(x)在区间(-6,-1)内单调递减.
(3)偶函数f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)内具有相反的单调性.其中ab≥0,且a能力提升
1.已知函数f(x)的定义域为R,对∀x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),有<0,且函数f(x+1)为偶函数,则( )
A.f(1)B.f(-2)C.f(-2)D.f(3)答案B
解析对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),有<0,即对任意的x1,x2∈[1,+∞)(x1≠x2),不妨设x1f(x2),所以f(x)在区间[1,+∞)内单调递减.又函数f(x+1)为偶函数,所以f(x+1)=f(1-x),则f(x)的图象关于直线x=1对称.所以f(-2)=f(4),则f(-2)=f(4)2.已知f(x)为奇函数,当1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5,则当-4≤x≤-1时,f(x)的最小值是( )
A.-6B.-5C.-2D.-1
答案B
解析因为奇函数的图象关于原点对称,故只需求当1≤x≤4时f(x)=x2-4x+5=(x-2)2+1的最大值.
因为f(4)=5最大,故当-4≤x≤-1时,f(-4)=-5最小.
3.(多选题)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.|f(x)|g(x)是奇函数
B.f(x)|g(x)|是奇函数
C.f(x)+|g(x)|是偶函数
D.|f(x)|+g(x)是偶函数
答案BD
解析A中,令h1(x)=|f(x)|g(x),则h1(-x)=|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x)=h1(x),∴A中函数是偶函数,A错误;B中,令h2(x)=f(x)|g(x)|,则h2(-x)=f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-h2(x),∴B中函数是奇函数,B正确;C中,由f(x)是奇函数,可得f(-x)=-f(x),由g(x)是偶函数,可得g(-x)=g(x),由f(-x)+|g(-x)|=-f(x)+|g(x)|知C错误;D中,由|f(-x)|+g(-x)=|-f(x)|+g(x)=|f(x)|+g(x),知D正确.故选BD.
4.已知奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在区间(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,则不等式<0的解集是( )
A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)
答案D
解析因为奇函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),在区间(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,所以函数f(x)的图象关于原点对称,且f(x)在区间(-∞,0)上也单调递增,图象过点(-1,0),所以可将函数f(x)的图象大致画出,如图所示,因为f(-x)=-f(x),所以不等式<0可化为<0,即xf(x)<0,不等式的解集即为自变量与函数值异号的x的范围,根据图象可知x∈(-1,0)∪(0,1).故选D.
5.若函数f(x)=是奇函数,则实数a的值为 .
答案1
解析∵函数f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
当x>0时,-x<0,则f(-x)=a(-x)2+(-x)=ax2-x,
∴-f(x)=ax2-x,即f(x)=-ax2+x.
∵x>0时,f(x)=-x2+x,
∴-ax2+x=-x2+x,
∴a=1.
6.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,则满足f(2x-1)答案
解析因为函数f(x)为偶函数,故由f(2x-1)又因为f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,所以|2x-1|<,即-<2x-1<,解得7.已知函数f(x)对一切x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若f(-3)=a,试用a表示f(12).
(1)证明由已知f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),
令x=y=0得f(0)=2f(0),所以f(0)=0.
所以f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x),故f(x)是奇函数.
(2)解因为f(x)为奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=a,所以f(3)=-a.
又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3),
所以f(12)=-4a.
8.已知函数f(x)=是定义在区间(-1,1)内的奇函数,且f.
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明:f(x)在区间(-1,1)内是增函数;
(3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.
(1)解由题意知,
即解得故f(x)=.
(2)证明∀x1,x2∈(-1,1),且x10,f(x2)-f(x1)=.
∵-1∴x1-x2<0,x1x2-1<0.
∴f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1).
故f(x)在区间(-1,1)内是增函数.
(3)解由题意,得f(t-1)<-f(t)=f(-t).
∵f(x)在区间(-1,1)内是增函数,
∴-1故不等式的解集为.