数学人教A版 (2019)4.4 对数函数第3课时当堂达标检测题

这是一份数学人教A版 (2019)4.4 对数函数第3课时当堂达标检测题，共5页。试卷主要包含了若x∈,则下列结论正确的是，·m等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1.某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数B.二次函数
C.指数型函数D.对数型函数
答案D
解析对数型函数的增长速度是先快后慢,故D符合题意.
2.下列函数中,y随x的增大而增大且增长速度最快的是( )
A.y=2 023ln xB.y=x2 023
C.y=D.y=2 023·2x
答案D
解析由于指数函数的增长是爆炸式增长,则当x越来越大时,函数y=2023·2x的增长速度最快.故选D.
3.若x∈(1,2),则下列结论正确的是( )
A.2x>>lg xB.2x>lg x>
C.>2x>lg xD.>lg x>2x
答案A
解析∵x∈(1,2),
∴2x>2,∈(1,),lgx∈(0,1).
∴2x>>lgx.
4.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……这样,一个细胞分裂x次后,得到的细胞个数y与x的函数关系是( )
A.y=x2(x∈N*)B.y=lg2x(x∈N*)
C.y=2x(x∈N*)D.y=(x∈N*)
答案C
解析y与x的函数关系是y=2x(x∈N*).
5.向高为H的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量V与水深h的函数图象如图所示,那么水瓶的形状大致是( )
答案B
解析水深h为自变量,随着h的增大,A项中V的增长速度越来越快,C项中先慢后快,D项中增长速度不变,只有B项中V的增长速度越来越慢.
6.已知某湖湖水在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2022年的湖水量为m,从2022年起,过x年后湖水量y与x的函数关系是 .
答案y=0.·m
7.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示.
现给出下列说法:①前5 min温度增加的速度越来越快;②前5 min温度增加的速度越来越慢;③5 min以后温度保持匀速增加;④5 min以后温度保持不变.
其中正确的是 (填序号).
答案②④
解析由题中图象可知前5min温度增加,但是增加的速度越来越慢,所以②中说法正确,①中说法错误.
5min以后图象是一条水平线,所以温度保持不变,故④中说法正确,③中说法错误.
8.三个变量y1,y2,y3随变量x的变化情况如下表:
其中关于x呈对数型函数变化的变量是 ,呈指数型函数变化的变量是 ,呈幂型函数变化的变量是 .
答案y3 y2 y1
解析根据三种模型的变化特点,观察题中表内数据可知,y2随着x的增大而迅速增加,呈指数型函数变化,y3随着x的增大而增大,但变化缓慢,呈对数型函数变化,y1相对于y2的变化要慢一些,呈幂型函数变化.
9.为了研究某种微生物的生长规律,研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前三天观测得到该种微生物的群落数量分别为8,14,26.用y表示第x(x∈N*)天的群落数量,某研究员提出了两种函数模型:①y=ax2+bx+c(a,b,c∈R);②y=p·qx+r(q>0,且q≠1,p∈R).
(1)根据观测数据,分别求出这两种函数模型的解析式;
(2)若第4天和第5天观测得到的群落数量分别为50和98,请从两个函数模型中选出较合适的一个,并预计从第几天开始该种微生物的群落数量超过500.
解(1)对于函数模型①:把x=1,2,3及相应的y值代入,得解得
所以y=3x2-3x+8.
对于函数模型②:把x=1,2,3及相应的y值代入,得解得所以y=3·2x+2.
(2)对于模型①,当x=4时,y=44<50,当x=5时,y=68<98,故模型①不符合观测数据.
对于模型②,当x=4时,y=50,当x=5时,y=98,符合观测数据.
所以函数模型②较合适.
由3·2x+2>500,得x>lg2166.
又7能力提升
1.某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知当年9月份两食堂的营业额又相等,则当年5月份( )
A.甲食堂的营业额较高
B.乙食堂的营业额较高
C.甲、乙两食堂的营业额相同
D.不能确定哪个食堂的营业额较高
答案A
解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m,甲食堂的营业额每月增加a(a>0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为x,由题意可知,m+8a=m×(1+x)8,则5月份甲食堂的营业额y1=m+4a,乙食堂的营业额y2=m×(1+x)4=,因为=(m+4a)2-m(m+8a)=16a2>0,所以y1>y2,故当年5月份甲食堂的营业额较高.
2.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=lg2x,当x∈(2,+∞)时,下列结论正确的是( )
A.f(x)>g(x)>h(x)
B.g(x)>f(x)>h(x)
C.当x∈(2,4)时,g(x)>f(x)>h(x),当x∈(4,+∞)时,f(x)>g(x)>h(x)
D.当x∈(2,4)时,f(x)>g(x)>h(x),当x∈(4,+∞)时,g(x)>f(x)>h(x)
答案D
解析在同一直角坐标系中分别画出函数f(x),g(x),h(x)的图象,如图所示.由图可知,当x∈(2,4)时,函数f(x)的图象位于函数g(x)的图象上方,函数g(x)的图象位于函数h(x)的图象上方,故f(x)>g(x)>h(x).
当x∈(4,+∞)时,函数g(x)的图象位于函数f(x)的图象的上方,函数f(x)的图象位于函数h(x)的图象的上方,故g(x)>f(x)>h(x).
3.如图,在平面直角坐标系中,过原点O的直线与函数y=3x的图象交于A,B两点,过点B作y轴的垂线交函数y=9x的图象于点C,若直线AC平行于y轴,则点A的坐标是 .
答案(lg32,2)
解析由题意设A(n,3n),B(m,3m),由9n=32n=3m得m=2n,解得n=,
则C(,3m),A().
又因为A,B,O三点共线,设直线AB对应函数的解析式为y=kx(k>0),则
解得m=2lg32,所以n=lg32.
所以点A的坐标为(lg32,2).
4.某受污染的湖泊在自然净化过程中发现某种有害物质,且该种有害物质的残留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且a≠1)的图象如图所示.
有以下叙述:
①第4个月时,残留量就会低于;
②每月减少的有害物质量都相等;
③若残留量为时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.
其中正确叙述的序号是 .
答案①③
解析根据题图可知,函数的图象经过点,将点(2,)的坐标代入y=at中,得=a2,即a=,故函数为y=.易知①③正确.
5.一水池有2个进水口,1个出水口,进出水速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.(至少打开一个水口)
给出以下3个论断:
①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.
则正确的论断是 (填序号).
答案①
解析由题意可知在0点到3点这段时间,每小时进水量为2,即2个进水口同时进水且不出水,所以①中论断正确;从丙图可知3点到4点水量减少了1,所以应该是有一个进水口进水,同时出水口也出水,故②中论断错误;当两个进水口同时进水,出水口也同时出水时,水量保持不变,也可由题干中的“至少打开一个水口”知③中论断错误.
6.某学校为了鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼,且每天能用于锻炼的课余时间有90 min.现制订一个课余锻炼考核评分细则,需要建立一个每天得分y与当天锻炼时间x(单位:min)的函数关系,要求:A.每天运动时间为0 min时,当天得分为0;B.每天运动时间为30 min时,当天得分为3分;C.每天得分最多不超过6分.现有以下三个函数模型供选择.①y=kx+n(k>0,n∈R);②y=k·1.2x+n(k>0,n∈R);③y=klg2(+2)+n(k>0,n∈R).
(1)请选择一个合适的函数模型并说明理由,再根据所给信息求出函数的解析式;
(2)求每天得分不少于4.5分时,至少需要锻炼的时间.(结果保留整数,参考数据:≈1.414)
解(1)由题意知函数的增长速度比较慢,而模型②呈爆炸式增长,所以②不合适.若模型①合适,则由要求A和B可得n=0,k=,即y=x,则当x=80时,y=8>6,不符合要求C,故模型①不合适.故选模型③:y=klg2(+2)+n(k>0,n∈R).
将x=0,30以及相应的y值分别代入解析式,得所以y=3lg2(+2)-3(0≤x≤90).
当x=90时,y=3lg2(6+2)-3=6,满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以符合要求的函数模型的解析式为y=3lg2(+2)-3(0≤x≤90).
(2)由y=3lg2(+2)-3≥4.5,得lg2(+2)≥,即+2≥=4≈5.656,
所以x≥54.84≈55.
所以每天得分不少于4.5分时,至少需要锻炼55min.x
1
3
5
7
9
11
y1
5
135
625
1 715
3 645
6 655
y2
5
29
245
2 189
19 685
177 149
y3
5.00
6.10
6.61
6.95
7.20
7.40