高中数学人教A版 (2019)必修第一册5.5 三角恒等变换测试题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修第一册5.5 三角恒等变换测试题，共4页。试卷主要包含了化简的结果是　　　　　，求证等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1.已知cs α=,α∈,则sin等于( )
A.B.-C.D.
答案A
解析∵α∈,∴,
∴sin.
2.已知180°<α<360°,则cs的值等于( )
A.-B.
C.-D.
答案C
3.设a=cs 6°-sin 6°,b=2sin 13°cs 13°,c=,则有( )
A.cC.a答案C
解析a=sin30°cs6°-cs30°sin6°=sin(30°-6°)=sin24°,b=2sin13°cs13°=sin26°,c=sin25°,
∵当0°∴a4.若α∈,tan 2α=,则tan α=( )
A.B.C.D.
答案A
解析由题意,因为α∈,所以csα>0,所以,解得sinα=,则csα=,所以tanα=.
5.已知定义在区间[a,b](b>a)上的函数f(x)=sin x-cs x的值域是,则b-a的最大值与最小值之和为( )
A.B.πC.D.2π
答案D
解析f(x)=sinx-csx=sin,因为x∈[a,b](b>a),所以x-,根据题意,不妨令a-=-,则b-,所以b-a的最大值M=,最小值m=,所以M+m=2π.
6.在△ABC中,若sin Asin B=cs2,则△ABC是( )
A.等边三角形B.等腰三角形
C.钝角三角形D.直角三角形
答案B
解析sinAsinB=(1+csC),即2sinAsinB=1+csC,∴2sinAsinB=1-csAcsB+sinAsinB,
故cs(A-B)=1,又A-B∈(-π,π),
∴A-B=0,即A=B,则△ABC是等腰三角形.
7.化简的结果是 .
答案sin 1+cs 1
解析=|sin1+cs1|,
因为1∈,所以sin1>0,cs1>0,
所以=sin1+cs1.
8.已知25sin2x+sin x-24=0,x是第二象限角,则cs的值为 .
答案或-
解析由题意,知(25sinx-24)(sinx+1)=0,又因为x是第二象限角,
所以sinx=,csx=-是第一或第三象限角,故cs=±=±.
9.函数f(x)=2cs x+sin x的最大值为 .
答案
解析f(x)=2csx+sinx=csx+sinx),
设sinα=,csα=,则f(x)=sin(x+α),
故函数f(x)=2csx+sinx的最大值为.
10.求证:tan-tan.
证明∵左边=tan-tan
=右边,
∴原等式成立.
11.已知0<α<,sin α=.
(1)求tan α的值;
(2)求cs的值;
(3)若0<β<,且cs(α+β)=-,求sin β的值.
解(1)∵0<α<,sinα=,
∴csα=,∴tanα=.
(2)∵sin2α=2sinαcsα=,cs2α=1-2sin2α=-,∴cs
(cs2α-sin2α)==-.
(3)∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π.
∵cs(α+β)=-,∴sin(α+β)=,
∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)csα-cs(α+β)sinα=.
能力提升
1.若tan θ=-2,则=( )
A.-B.-C.D.
答案C
解析=sinθ(sinθ+csθ)=sin2θ+sinθcsθ=.故选C.
2.已知sin θ=,cs θ=<θ<π,则tan等于( )
A.-B.5
C.-5或D.-或5
答案B
解析由sin2θ+cs2θ=1,得=1,解得m=0或m=8,当m=0时,sinθ<0,与<θ<π矛盾.∴舍去m=0.∴m=8,sinθ=,csθ=-,
∴tan=5.
3.函数f(x)=cs2x的单调递减区间为( )
A.,k∈ZB.,k∈Z
C.,k∈ZD.,k∈Z
答案B
解析f(x)=cs2x=cs2x,令2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),解得kπ≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)=cs2x的单调递减区间为[kπ,kπ+](k∈Z).
4.已知α∈(0,),sin 2α=,则sin(α+)= .
答案
解析因为1-2sin2=cs=-sin2α=-,所以sin2.
因为α∈,所以α+.
所以sin.
5.已知sin+sin α=-,-<α<0,则cs α= .
答案
解析由已知得sinαcs+csαsin+sinα=sinα+csα=sin=-,
∴sin=-.
又-<α<0,∴-<α+,
∴cs,
∴csα=cs.
6.sin220°+sin 80°sin 40°的值为 .
答案
解析原式=sin220°+sin(60°+20°)sin(60°-20°)
=sin220°+(sin60°cs20°+cs60°sin20°)·(sin60°cs20°-cs60°sin20°)
=sin220°+sin260°cs220°-cs260°sin220°
=sin220°+cs220°-sin220°
=sin220°+cs220°=.
7.已知函数f(x)=sincs-sin2+1.求:
(1)函数f(x)图象的对称轴;
(2)函数f(x)在区间[-π,0]上的最大值和最小值以及相应的x的值.
解(1)由题意,函数f(x)=sincs-sin2+1=sinx-+1=sin,令x+=kπ+(k∈Z),整理得x=kπ+(k∈Z),所以函数图象的对称轴为直线x=kπ+(k∈Z).
(2)由(1)得f(x)=sin,因为x∈[-π,0],所以-≤x+,则-1≤sin,所以-≤f(x)≤1,当x=-时,函数f(x)取得最小值,最小值为-;当x=0时,函数f(x)取得最大值,最大值为1.
8.已知函数f(x)=sin(2x-)+2sin2(x-)(x∈R).求:
(1)函数f(x)的最小正周期;
(2)使函数f(x)取得最大值的x的集合.
解(1)∵f(x)=sin+2sin2(x-)
=sin+1-cs
=2+1
=2sin+1
=2sin+1,
∴f(x)的最小正周期T==π.
(2)当f(x)取得最大值时,sin=1,则有2x-=2kπ+(k∈Z),即x=kπ+(k∈Z),故所求x的集合为.

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