数学必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用当堂达标检测题

这是一份数学必修 第一册第五章 三角函数5.7 三角函数的应用当堂达标检测题，共6页。

基础巩固
1.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为s=6sin(100πt+),则单摆摆动的频率为( )
A.B.C.50D.100
答案C
解析设f为单摆摆动的频率,T为周期,则f==50.
2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin(t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A.[0,5]B.[5,10]
C.[10,15]D.[15,20]
答案C
解析由2kπ-≤2kπ+,k∈Z,得4kπ-π≤t≤4kπ+π,k∈Z.
当k=1时,得t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故选C.
3.弹簧上挂的小球做上下振动,它在时间t(单位:s)时离开平衡位置的位移s(单位:cm)满足函数关系式s=2sin.给出下列三种说法:①小球开始时在平衡位置上方 cm处;②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处;③经过2π s小球重复振动一次.其中说法正确的是( )
A.①②B.②③
C.①③D.①②③
答案D
解析当t=0时,s=2sin,故①中说法正确;smin=-2,故②中说法正确;函数的最小正周期T=2π,故③中说法正确.
4.电流强度I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的函数I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象如图所示,则当t= s时的电流强度为( )
A.0 AB.-5 A
C.10 AD.-10 A
答案A
解析由题图知,A=10,函数的周期T=2×()=,所以ω==100π,将点(,10)的坐标代入I=10sin(100πt+φ),结合题意得φ=,故函数解析式为I=10sin(100πt+),再将t=代入函数解析式得I=0.
5.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),则此人每分钟心跳的次数是 .
答案80
解析周期T=,频率f==80.
6.已知某交变电流I(单位:A)随时间t(单位:s)的变化规律可以拟合为函数I=5sin,t∈[0,+∞),则此交变电流在0.5 s内往复运动的次数为 .
答案25
解析设此交变电流的频率为f,周期为T,
因为f==50,
所以0.5s内往复运动的次数为0.5×50=25.
7.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-2sin(t+),t∈[0,24).
实验室这一天的最大温差是 ℃.若要求实验室温度不高于11 ℃,则实验室需要降温的时间长度是 h.
答案4 8
解析因为f(t)=10-2sin(t+),又0≤t<24,所以t+,所以-1≤sin(t+)≤1.
当t=2时,sin(t+)=1;
当t=14时,sin(t+)=-1.
于是f(t)在区间[0,24)上的最大值为12,最小值为8.
故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
依题意,当f(t)>11时实验室需要降温.
由(1)得f(t)=10-2sin(t+).
故有10-2sin(t+)>11,即sin(t+)<-.
又0≤t<24,因此t+,即10故在10h至18h实验室需要降温,其时间长度为18-10=8(h).
8.已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作:y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
经长期观测,曲线y=f(t)可近似地看成是函数y=Acs ωt+b(A>0,ω>0)的图象.
(1)根据以上数据,求函数y=Acs ωt+b的最小正周期T,A及函数解析式.
(2)依据规定,当海浪高度高于1 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00至20:00之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?
解(1)由题表中数据知周期T=12,
∴ω=.
∴y=Acst+b.
由题表中数据可知f(t)的最大值为1.5,最小值为0.5,∴
∴A=0.5,b=1,∴y=cst+1.
(2)由题意知,当y>1时才可对冲浪者开放,
∴cst+1>1,∴cst>0,∴2kπ-t<2kπ+,k∈Z,即12k-3∵8≤t≤20,∴9∴在8:00至20:00之间,有6h可供冲浪者进行运动.
能力提升
1.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的大致图象是( )
答案C
解析∵为单位圆上的弧长,∴∠POA=l,过点O作PA的垂线(图略),且平分∠POA,则在直角三角形中得|PA|=2sin,即d=f(l)=2sin,故选C.
2.一根长l厘米的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时,离开平衡位置的位移s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系是s=3cs(t+).已知g取980 cm/s,要使小球摆动的周期是1 s,线的长度应当是( )
A.cmB.cm
C.cmD.cm
答案C
解析小球的摆动周期T==2π,
所以l=g()2,将g=980,T=1代入,得l=980×()2=(cm).
3.已知动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点O沿逆时针方向匀速旋转,12 s旋转一周,且当t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:s)的函数的单调递增区间是( )
A.[0,1]B.[1,7]
C.[7,12]D.[0,1]和[7,12]
答案D
解析由题意,可设y关于t的函数解析式为y=sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<).又由题意可知周期T=12,所以ω=,又t=0时,y=,所以sinφ=,所以φ=.所以y=sin(t+).令2kπ-t+≤2kπ+,k∈Z,得12k-5≤t≤12k+1,k∈Z,所以函数的单调递增区间为[12k-5,12k+1](k∈Z),又0≤t≤12,所以所求单调递增区间为[0,1],[7,12].
4.一种波的波形为函数y=-sinx的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是 .
答案7
解析由题意知,周期T=4,显然当0≤x≤1时,函数单调递减,当15.如图,在直角坐标系中,以原点O为圆心,r为半径作圆,A为圆周上的一点,以Ox为始边,OA为终边的角为α,则点A的坐标是 ,点A以恒定的角速度ω(单位:弧度/秒)转动,经过t秒转动到点B(x,y),动点B在y轴上的投影C做简谐运动,则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为 .
答案(rcs α,rsin α) y=rsin(ωt+α)
解析由任意角三角函数的定义,得A(rcsα,rsinα).由题意可得∠BOx=ωt+α,则点C的纵坐标y与时间t的函数关系式为y=rsin(ωt+α).
6.如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为点O,M之间的曲线,该段曲线为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为S(3,2);赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全,限定∠MNP=120°,求A,ω的值和M,P两点间的距离.
解设函数y=Asinωx(A>0,ω>0)的最小正周期为T,依题意,有A=2=3,
故T=12,又T=,∴ω=.
∴点O,M之间的曲线对应函数的解析式为y=2sinx,x∈[0,4].
当x=4时,y=2sin=3,∴M(4,3).
又P(8,0),∴MP==5(km).
7.某地从1月到12月的月平均气温T(单位:℃)与月份数t(单位:月)近似满足函数关系:T=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,-π<φ<0). 从1月到7月的月平均气温的散点图如图所示,且1月份和7月份的平均气温分别为该地全年的最低和最高的月平均气温.
(1)求月平均气温T(单位:℃)与月份数t(单位:月)的函数解析式;
(2)推算出该地全年月平均气温低于20 ℃但又不低于10 ℃的是哪些月份.
解(1)依题意,有b==15,A==10,
半周期为7-1=6,
所以周期为12,所以=12,
又ω>0,
所以ω=,
所以T=10sin(t+φ)+15.
将点(1,5)的坐标,代入T=10sin(t+φ)+15得到10sin(+φ)+15=5,即sin(+φ)=-1,
所以φ=-+2kπ,k∈Z,
又-π<φ<0,所以当k=0时,φ=-.
所以所求函数解析式为T=10sin(t-)+15(t∈[1,12],t∈Z).
(2)依题意,10≤T<20,所以-≤sin(t-)<,因为t∈[1,12],
所以-t-,所以-t-t-,解得3≤t<5或9又t∈Z,
所以t=3,4,10,11.
即该地全年月平均气温低于20℃但又不低于10℃的是3月,4月,10月,11月.t/h
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y/m
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5