浙教版数学 八上 第二章 等腰三角形 直角三角形 中分类讨论专题练习卷

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《等腰三角形 直角三角形 》中分类讨论练习卷 答案 1、如图，已知中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点A向点C以的速度运动．若P，Q两点分别从B，A两点同时出发，回答下列问题：  (1)经过后，此时______，______；(2)在（1）的条件下，证明：；(3)求经过多少秒后，为等腰三角形且周长为?【答案】(1)4，4(2)见解析(3)或或【分析】（1）由题意得出，则，求出；（2）由，得出，证明，得出，由三角形的外角性质即可得出结论；（3）设当两点同时出发运动t秒时，有，由题意得出，要使是等腰三角形，则可分为三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别得出方程，解方程，再进行判断即可．【详解】（1）当两点分别从两点同时出发运动2秒时，有，∴，故答案为：4，4；（2）由（1）得：，，∴，∵D为的中点，∴，∴，又∵，∴，在与中，， ∴；  （3）设经过t秒后，为等腰三角形，由题意可得：，，，∵的周长为，∴，①当时，，所以；②当时，，所以；③当时，，所以，综上，当或或时，为等腰三角形且周长为．．2、如图，在中，，，，有一动点自向以的速度运动，动点自向以的速度运动，若，同时分别从，出发．  （1）经过___________秒，为等边三角形；（2）经过___________秒，为直角三角形．【答案】 10 6或15【分析】（1）设经过秒，为等边三角形，先求出，再根据等边三角形的判定可得当时，为等边三角形，由此建立方程，解方程即可得；（2）设经过秒，为直角三角形，分两种情况：①和②，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：点自运动至所需时间为，点自运动至所需时间为，（1）设经过秒，为等边三角形，由题意得：，，，要使为等边三角形，则，，解得，符合题意，故答案为：10．（2）设经过秒，为直角三角形，由题意得：，，①当时，为直角三角形，，，即，解得，符合题意；②当时，为直角三角形，，，即，解得，符合题意；故答案为：6或15．3、如图1所示，在边长为12的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动设点P的运动时间为，．(1)当_____时，是直角三角形；(2)如图2．若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发，那么当_____时，是直角三角形(3)如图3，若另一动点Q从点C出发，沿射线方向运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．当点P到达终点B时，点Q也随之停止运动，连接交于点D，过点P作于E，试问线段的长度是否变化？若変化，请说明如何变化；若不变，请求出的长度．【答案】(1)3(2)2或4(3)线段长度不变，【分析】（1）根据等边三角形的性质，当，即为的中点时，是直角三角形，据此求解即可；（2）分①当时，②当时，根据含30度角的直角三角形的性质，建立一元一次方程求解即可；（3）过作，进而证明，可得，问题得解．【详解】（1）解：依题意，，当是直角三角形时，，是等边三角形，则此时为的中点，，，故答案为：3；（2）解：依题意，，，①当时，如图，是等边三角形，，，，则，在中，，，，即，解得；②当时，如图，同理可得，即，解得；综上所述，当t为或时，是直角三角形；（3）线段长度不变，理由如下：如图，过点作，交于点F，是等边三角形，，，，是等边三角形，∴，，，，，，的速度相等，，∴，，，，．4、如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形；②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形；③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形；④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形；⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形；⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形．⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形．【详解】解：作图如下故选：D5、如图，在中，，，点，分别是，上的动点，将沿直线翻折，点的对点恰好落在边上，若是等腰三角形，那么的度数为（  ）A．或 B．或C．，或 D．，或【答案】D【分析】由，，得，分三种情况讨论：①当时，可得；②当时，即得，即得；③当时，可得．【详解】解：，，，分三种情况讨论：①当时，如图：，；②当时，如图：，；③当时，如图：，；综上所述，为或或，故选：D．6、如图，已知点O是等边内一点，，点D是外一点，且，当是等腰三角形时，α的度数是 ．【答案】110°或125°或140°【分析】利用全等三角形的性质、等边三角形的性质分别得到，，，再分类讨论中的底和腰，利用等边对等角得到α的度数．【详解】解：，，是等边三角形，，即，，又，是等边三角形，；，，，若，则，解得：；若，则，解得：；若，则，解得：；综上所述，当α为125或110或140时，故答案为：110°或125°或140°．7、如图，为等腰三角形，，，为的中点，点在上，，是等腰腰上的一点，若是以为腰的等腰三角形，则的大小为 ．【答案】或或或【分析】根据题意，分为点P在上和点P在上两种情况，根据等腰三角形的定义，点P在上有两种情况，点P在有两种情况，一共四种情况，进行分类讨论，即可求解．【详解】解：①当点P在上，时，∵，，∵，∵，∴，∴；②当点P在上，时，∵，，∵，∵，∴，∴；③当点P在上，时，连接，过点D作于点M，于点N，∵，，∵，∵，∴，∴，  ∵为的中点，，∴平分，∵，，∴，在和中，，∴，∴，在四边形中，，∴，④当点P在上，时，由③可得，，∴，故答案为：或或或．8、如图1，已知等边三角形的边长为，点分别从点同时出发，沿边向点和点运动，且它们的运动速度都是/秒．直线交于点．  (1)求证：；(2)在点分别在边上运动的过程中，求当运动时间为多少秒时，是等腰三角形?(3)连接，当点运动____________秒时，是直角三角形；(4)如图2，若点在运动到后继续在射线上运动，直线交于点，当是直角三角形时，求点的运动时间．【答案】(1)见解析(2)秒(3)1或2；(4)秒【分析】由“”可证；由全等三角形的性质可求，可得，即可求解；分和两种情况，由含角的直角三角形的性质得出方程，求解即可；证明，推出，可得结论．【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴．∵点P，Q的速度相同，∴，∴；（2）∵，∴∵，∴，∴．当是等腰三角形时，，∴，∴，∴，，∴当运动时间为秒时，是等腰三角形；（3）设运动时间为t秒，则，①当时，∵，∴．，即解得；　②当时，∵，∴，，即，解得；∴当点运动到第秒或第秒时，为直角三角形．故答案为：或；（4）∵是等边三角形，∴．与（1）同理可得，∴ 又∵，∴，∴．当为直角三角形时，若，∵，∴，此时不成立；若，则．∵，∴，∴B，∴，即是直角三角形时，点P的运动时间为6秒9、如图，在中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒．  (1)当点在上运动时，线段的长为_______用含的代数式表示；(2)当是以为腰的等腰三角形时，的值为________；(3)当点运动过点时，求线段的表达式用含的代数式表示；(4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值．【答案】(1)(2)4(3)的长度为或(4)的值为或或【分析】（1）观察图形用来求解；（2）由等腰三角形的性质可知，表示出，即可列式求解；（3）分两种情况：当点在上时，当点在上时，分别求解即可；（4）先求出周长的一半，再利用当点在上时，，此时；当点在上时，，此时；当点在上时，，此时，分别求解即可．【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点运动的时间为秒，，．故答案为：．（2）解：是以为腰的等腰三角形时，   ，，（秒），故答案为：秒．（3）解：当点在上时，，；当点在上时，．综上所述，的长度为或．（4）解：，，，，的周长为，点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，每一部分的周长为，当点在上时，，此时，   ，（秒），当点在上时，，此时，   ，（秒），当点在上时，，此时，   ，秒），综上所述，的值为或或．10、如图，在等边三角形中，，于点，点，分别是，上的动点，沿所在直线折叠，使点落在上的点处，当是直角三角形时，的长为 ．【答案】或【分析】由等边三角形的性质可得，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求的长．【详解】解：∵是等边三角形，，∴，∵沿所在直线折叠成，∴，若，且∴，且∴，∴，∴，若，∴，且∴∴故答案为：或．11、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30，BC＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为＝2cm/s，＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts（1）当t= 时，△PBQ为等边三角形（2）当t= 时，△PBQ为直角三角形【答案】 / 2或【分析】（1）由题意得AP=2tcm，BQ=tcm，BP=AB−AP=（8−2t）cm，再由等边三角形的性质得到PB=BQ，即8−2t=t，解方程即可；（2）讨论∠PQB=90°或∠BPQ=90°时，利用PB与BQ之间的关系，建立方程求解即可．【详解】（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，a＝4cm，∴∠B=60°，AB=8cm，∴当PB=BQ时，△PBQ是等边三角形，由题意得AP=2tcm，BQ=tcm，∴BP=AB−AP=（8−2t）cm，∴8−2t=t，解得，∴当时，△PBQ为等边三角形；故答案为：．（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B=60°，∴当△PBQ为直角三角形时，只能是∠PQB=90°或∠BPQ=90°，当∠PQB=90°时，如图，∴∠BPQ=30°，∴BQ=BP，∵BP=（8−2t）cm，BQ=tcm，∴t=（8−2t），解得t=2；当∠BPQ=90°时，如图，∴∠PQB=30°，∴BQ=2BP，∴t=2（8−2t），解得，综上所述，当t=2或时△PBQ为直角三角形．故答案为：2或．12、如图，是边长为的等边三角形，点、点分别是边、上的动点．(1)若点在上以的速度由点向点运动，同时点在上以的速度由点向点运动，设点运动的时间为秒．① 试求当为何值时，为等边三角形？② 若为直角三角形，试求的值．(2)如图2，点为外一点，且＝，．若点、点在运动过程中始终保持，试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．【答案】(1)①秒；②秒或秒(2)不变，【分析】（1）①由题意得：，，．根据题意当时，为等边三角形，解方程即可求解；②根据题意分类讨论，分， ，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解；（2）延长至，使，连接，证明，进而证明 ，得出，即可求解．【详解】（1）解：① 由题意得：，，．                当时，为等边三角形．即．            解得：．即秒时，为等边三角形．            ②是边长为的等边三角形，，．．若，则．，即 （），解得．                ．若 ，则 ．，即，解得．                经验证，和均符合题意．故若为直角三角形时，的值为秒或秒．（2）的周长不发生变化．理由如下：延长至，使，连接．，，．是等边三角形，．．                                    又 ，，．，．                                ，，．．即．．                            又，， ．．．的周长不发生变化，为．