高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）练习题，共5页。试卷主要包含了下列说法中正确的是，37-1=-0等内容，欢迎下载使用。

基础巩固
1.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0)
B.函数f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1
C.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点
D.函数f(x)的零点,即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
答案BD
解析根据函数零点的定义,可知f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1,即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.因此BD正确.
2.下列图象表示的函数中没有零点的是( )
答案A
解析B,C,D中图象均与x轴有公共点,故对应函数均有零点,A中图象与x轴没有公共点,故对应函数没有零点.
3.函数f(x)=4x-x2的零点所在的大致区间是( )
A.(-1,)B.(-,0)
C.(0,)D.(,1)
答案A
解析∵函数f(x)的图象是连续不断的曲线,且f(-1)f=-<0,ff(0)=×1>0, f(0)f=1×>0,ff(1)=×3>0,
∴由零点存在定理可得函数f(x)在区间(-1,)内存在零点.
4.根据表格中的数据,可以判定函数f(x)=ex-x-2的一个零点所在的区间为( )
A.(-1,0)B.(0,1)C.(2,3)D.(1,2)
答案D
解析由题中表格内的数据可知f(-1)=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7.39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,∴f(1)f(2)<0,且f(x)的图象是连续不断的曲线,
∴由零点存在定理可得,f(x)的一个零点所在的区间为(1,2).
5.已知函数f(x)=有两个不同的零点,则实数a的取值范围是( )
A.a≤2B.a<2C.a≥2D.a>2
答案C
解析当x<1时,函数f(x)有一个零点x=;
当x≥1时,令2x2-ax=0,得x=(x=0舍去),
若要使函数f(x)有两个不同的零点,
则只需≥1,解得a≥2.
6.已知x0是函数f(x)=2x+的一个零点.若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),则( )
A.f(x1)<0,f(x2)<0B.f(x1)<0,f(x2)>0
C.f(x1)>0,f(x2)<0D.f(x1)>0,f(x2)>0
答案B
解析(方法一)由f(x)=0,得2x+=0,
∴2x=.
在同一平面直角坐标系中,作出函数y1=2x,y2=的图象(图略),观察图象可知,
当x1∈(1,x0)时,y1当x2∈(x0,+∞)时,y1>y2,
∴f(x1)<0,f(x2)>0.
(方法二)∵函数y=2x,y=在区间(1,+∞)内均单调递增,
∴函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,
∴由x1∈(1,x0),f(x0)=0,得f(x1)由x2∈(x0,+∞),f(x0)=0,得f(x2)>f(x0)=0.
7.若函数f(x)=mx-1在区间(0,1)内有零点,则实数m的取值范围是 .
答案(1,+∞)
解析f(0)=-1,要使函数f(x)=mx-1在区间(0,1)内有零点,需f(1)=m-1>0,即m>1.
8.已知函数f(x)=ax2+2ax+c(a≠0)的一个零点为1,则它的另一个零点为 .
答案-3
解析设函数f(x)的两个零点分别为x1,x2,
则由f(x)=ax2+2ax+c=0(a≠0),
得x1+x2=-=-2.
又x1=1,所以x2=-3.
9.若函数f(x)=ax-x-a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是 .
答案(1,+∞)
解析函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a的图象的交点的个数,如图,当a>1时,两函数图象有两个交点;当01.
10.求函数f(x)=的零点.
解当x≤0时,令2-x-4=0,得x=-2,满足要求;当x>0时,令lgx=0,得x=1,满足要求.
所以函数f(x)的零点是-2,1.
11.已知函数f(x)=-3x2+2x-m+1.
(1)当m为何值时,函数有两个零点、一个零点、无零点?
(2)若函数恰有一个零点在原点处,求m的值.
解(1)函数零点的个数,等价于对应方程-3x2+2x-m+1=0实数解的个数.
由Δ=4+12(1-m)>0,可解得m<.
由Δ=0,可解得m=;
由Δ<0,可解得m>.
故当m<时,函数有两个零点;
当m=时,函数有一个零点;
当m>时,函数无零点.
(2)由题意知0是对应方程的根,故有1-m=0,可解得m=1.
能力提升
1.已知函数f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则三个零点之和等于( )
A.1B.-1
C.0D.不能确定
答案C
解析因为奇函数的图象关于原点对称,所以若f(x)有三个零点,则其和必为0.
2.若函数f(x)=()x-lg2x与函数g(x)=()x-lx的零点分别为x1,x2,则x1x2所在的区间为( )
A.(0,1)B.(1,+∞)
C.(1,2)D.[1,+∞)
答案A
解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=()x,y=lg2x,y=lx的图象,
如图所示,可以发现,0又(=lg2x1,(=lx2=-lg2x2,则(-(=lg2(x1x2)<0,即0因而x1x2∈(0,1).故选A.
3.(多选题)已知函数f(x)=若x1A.x1+x2=-1B.x3x4=1
C.1答案BCD
解析画出函数f(x)的大致图象如图所示,得出x1+x2=-2,-lg2x3=lg2x4,则x3x4=1,故A中结论错误,B中结论正确;由图可知14.函数f(x)=的零点是 .
答案1
解析令f(x)=0,即=0,则x-1=0或lnx=0,解得x=1,故函数f(x)的零点为1.
5.函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是 .
答案2
解析函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数,即函数y=ln(x+1)与y=x-1的图象的交点个数.
在同一平面直角坐标系内分别作出函数y=ln(x+1)与y=x-1的图象,如图所示.
由图可知函数f(x)=x-ln(x+1)-1的零点个数是2.
6.已知函数f(x)=ax-a-1,g(x)=x2-ax+1(a为实数).若f(x)在区间(2,3)内有零点,则a的取值范围是 ;若关于x的方程f(x)=g(x)有两个大于1的相异实根,则a的取值范围是 .
答案(,1) (2,3)
解析f(x)在区间(2,3)内有零点,则a=0不满足,当a≠0时,f(x)在R上为单调函数.
f(x)在区间(2,3)内有零点,由零点存在定理有f(2)f(3)<0;
即(2a-a-1)(3a-a-1)<0,解得方程f(x)=g(x)有两个大于1的相异实根,即方程x2-2ax+a+2=0有两个大于1的相异实根.
设h(x)=x2-2ax+a+2.
则函数h(x)图象的对称轴为直线x=a,且a>1,Δ=4a2-4(a+2)>0,且h(1)=1-2a+a+2>0,解得2故a的取值范围为(2,3).
7.已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数解,则实数k的取值范围是 .
答案
解析画出函数f(x)的图象,如图所示.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实数解,则函数f(x)与g(x)的图象有两个交点,由图可知8.已知函数f(x)=x2-4x+a+3,a∈R.
(1)若函数y=f(x)的图象与x轴无公共点,求a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)在区间[-1,1]上存在零点,求a的取值范围.
解(1)若函数y=f(x)的图象与x轴无公共点,则方程f(x)=0的根的判别式Δ<0,即16-4(a+3)<0,解得a>1.
故a的取值范围为a>1.
(2)因为函数f(x)=x2-4x+a+3的图象的对称轴是直线x=2,所以y=f(x)在区间[-1,1]上单调递减.
又函数y=f(x)在区间[-1,1]上存在零点,所以解得-8≤a≤0.
故a的取值范围为-8≤a≤0.
9.设函数g(x)=ax2+bx+c(a>0),且g(1)=-.
(1)求证:函数g(x)有两个零点;
(2)证明函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
证明(1)∵g(1)=a+b+c=-,
∴3a+2b+2c=0,∴c=-a-b.
∴g(x)=ax2+bx-a-b,
∴Δ=b2-4a=(2a+b)2+2a2.
∵a>0,∴Δ>0恒成立,故函数g(x)有两个零点.
(2)由题意得g(0)=c,g(2)=4a+2b+c,
又由(1)知3a+2b+2c=0,∴g(2)=a-c.
当c>0时,有g(0)>0,又a>0,
∴g(1)=-<0,则函数g(x)在区间(0,1)内有一个零点,故g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.
当c≤0时,g(1)<0,g(0)=c≤0,g(2)=a-c>0,
∴函数g(x)在区间(1,2)内有一个零点.
综上,可知函数g(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.x
-1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5