专题1.6 集合与常用逻辑用语全章六类必考压轴题-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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考点1
交、并、补集的混合运算
1．（2023·河北衡水·衡水市校考三模）已知全集I=x∈N∣x≤10，集合M=1,2,3，N=2,4,6,8,10，则∁IM∪N=（ ）
A．5,7,9B．1,2,3,4,6,8,10
C．0,5,7,9D．0,1,2,3,4,6,8,10
【解题思路】根据并集及补集运算求解即可.
【解答过程】由已知得M∪N=1,2,3,4,6,8,10，全集I=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，
故∁IM∪N={0 , 5,7,9}．
故选：C.
2．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知全集U=A∪B=x∈N|0≤x≤7，A∩∁UB=1,3,5,7，则集合B=（ ）
A．0,2,4,6B．2,4,6C．0,2,4D．2,4
【解题思路】由U=A∪B=x∈N|0≤x≤7可知集合U中的元素，再由A∩∁UB=1,3,5,7即可求得集合B.
【解答过程】由A∩∁UB=1,3,5,7知，1,3,5,7⊆A,1,3,5,7⊆∁UB
又因为U=A∪B=x∈N|0≤x≤7=0，1，2，3，4，5，6，7，
所以B= 0,2,4,6.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知全集U=R，集合M=x∈Zx−1<3，N=−4,−2,0,1,5，则下列Venn图中阴影部分的集合为 {−1,2,3} ．
【解题思路】由给定条件求出集合M，再由Venn图中阴影部分表示的意义求解即得．
【解答过程】由题意，集合M={x∈Z||x−1|<3}={x∈Z|−2则Venn图中阴影部分表示的集合是M∩∁RN={−1,2,3}．
故答案为：{−1,2,3}.
4．（2023秋·广西桂林·高一统考期末）已知集合A={x|3≤x<7},B={x|4(1)A∩B；
(2)∁R(A∪B)．
【解题思路】（1）由A与B，求出两集合的交集即可；
（2）由A与B，求出两集合的并集，找出并集的补集即可．
【解答过程】（1）解：因为A={x|3≤x<7},B={x|4所以A∩B={x|4（2）解：因为A={x|3≤x<7},B={x|4所以A∪B={x|3≤x<10}，
所以∁R(A∪B)={x|x<3或x≥10}．
5．（2023秋·广东揭阳·高一校考期中）设集合U={x∣x≤5}，A={x∣1≤x≤2} ，B={x∣−1≤x≤4}．求：
(1)A∩B；
(2)∁U(A∪B)；
(3)∁UA∩∁UB
【解题思路】由集合的交并补混合运算直接得出答案.
【解答过程】（1）由集合交集的定义，
A∩B=x1≤x≤2；
（2）由集合并集和补集的定义，
A∪B={x|−1≤x≤4}，
∁U(A∪B)={x|x<−1或4（3）由集合补集和交集的定义，
∁UA={x|x<1或2∁UB={x|x<−1或4∁UA∩∁UB={x|x<−1或4考点2
根据集合间的关系求参数
1．（2023·北京东城·高三专题练习）已知集合A={−2,3,1}，集合B={3,m2}.若B⊆A，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1}B．{3}
C．{1,−1}D．{3,−3}
【解题思路】根据B是A的子集列方程，由此求得m的取值集合.
【解答过程】由于B⊆A，所以m2=1⇒m=±1，
所以实数m的取值集合为{1,−1}.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知a∈R，b∈R，若集合a,ba,1=a2,a+b,0，则a2019+b2019的值为（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【解题思路】本题可根据a,ba,1=a2,a+b,0得出ba=0a=a+ba2=1，然后通过计算以及元素的互异性得出a、b的值，即可得出结果.
【解答过程】因为a,ba,1=a2,a+b,0，
所以ba=0a=a+ba2=1，解得b=0a=1或b=0a=−1，
当a=1时，不满足集合元素的互异性，
故a=−1，b=0，a2019+b2019=−12019+02019=−1，
故选：B.
3．（2023·高一单元测试）已知M=xx2−2x−3=0，N=xx2+ax+1=0,a∈R，且NM，则a的取值范围为 {a|−2【解题思路】求得集合M=−1,3，根据NM，分N=∅和N≠∅两种情况讨论，即可求解.
【解答过程】由题意，集合M=x∣x2−2x−3=0=−1,3，
当N=∅时，即Δ=a2−4<0，解得−2当N≠∅时，要使得NM，则−1∈N或3∈N，
当−1∈N时，可得(−1)2−a+1=0，即a=2，此时N={−1}，满足NM；
当3∈N时，可得32+3a+1=0，即a=−103，此时N={3,13}，不满足NM，
综上可知，实数a的取值范围为{a|−2故答案为：{a|−24．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合A={x|−2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m−1}.
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意，分B=∅和B≠∅两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；
（2）根据题意，结合A⊆B，列出不等式组，即可求解.
【解答过程】（1）解：①当B=∅时，即m+1>2m−1，解得m<2，此时满足B⊆A；
②当B≠∅时，要使得B⊆A，
则满足m+1≥−22m−1≤52m−1≥m+1，解得2≤m≤3，
综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.
（2）解：由题意，要使得A⊆B，则满足m+1≤−22m−1≥52m−1≥m+1，此时不等式组无解，
所以实数m不存在，即不存在实数m使得A⊆B.
5．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=x|x<1,B=x|x(1)若A=B，则实数a的值是多少?
(2)若A⊆B，则实数a的取值范围是多少?
(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?
【解题思路】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.
【解答过程】（1）因为集合A=x|x<1,B=x|x所以a=1.
（2）因为A⊆B，如图，

由图可知a≥1，即实数a的取值范围是a|a≥1.
（3）因为B⫋A，如图，

由图可知a<1，即实数a的取值范围是a|a<1.
考点3
根据集合的运算结果求参数
1．（2023秋·黑龙江齐齐哈尔·高三校联考期末）已知集合A,B满足A={x∣x>1},B=x∣x≤a−1，若A∪B=R，则实数a的取值范围为（ ）
A．−∞,1B．−∞,2C．1,+∞D．2,+∞
【解题思路】根据并集定义，结合数轴即可得到实数a的取值范围.
【解答过程】因为A∪B=R,所以a−1≥1，解得a≥2．
故选:D.
2．（2023·全国·高三专题练习）设集合A=x|x<2或x≥4，B=xxA．a<2B．a>2C．a≤4D．a≥4
【解题思路】先求得∁RA=x|2≤x<4，再结合集合B=xx【解答过程】由集合A=x|x<2或x≥4，则∁RA=x|2≤x<4，
又集合B=xx2，
故选：B.
3．（2022秋·高一课时练习）已知A=x∣x2+px−6=0，B=x∣x2+qx+2=0，且A∩∁RB={2}，则p+q的值等于 143 ．
【解题思路】根据A∩∁RB={2}，可得2∈A，即可解得p的值，进而可求得集合A={2,−3}，又根据A∩∁RB={2}，可得−3∉∁RB，即−3∈B，即可解得q的值，即可得答案.
【解答过程】因为A∩∁RB={2}，
所以2∈A，则22+2p−6=0，解得p=1，
所以A=x∣x2+x−6=0，解得A={2,−3}，
又因为A∩∁RB={2}，
所以−3∉∁RB，即−3∈B，
所以(−3)2−3q+2=0，解得q=113，
所以p+q=1+113=143，
故答案为：143.
4．（2023·全国·高一假期作业）设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．
(1)若A∩B＝{2}，求实数a的值；
(2)若A∪B＝A，求实数a的取值范围；
(3)若U＝R，A∩(∁UB)=A，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）题意说明2∈B，代入B中方程求得a值并检验是否满足题意；
（2）题意说明B⊆A，由集合的包含关系求解；
（3）题意说明A⊆∁UB，A∩B=∅，只要A中元素1和2不是集合B中方程的解，即可得出结论，说明集合B中方程可以无实数解．
【解答过程】（1）x2−3x+2=(x−1)(x−2)=0，x=1或x=2，
∴A={x|x2−3x+2=0}={1,2},
∵A∩B＝{2}，∴2∈B，
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3．
当a＝－1时，B＝{－2，2}，满足条件；
当a＝－3时，B＝{2}，也满足条件．
综上可得，a的值为－1或－3．
（2）∵A∪B＝A，∴B⊆A．
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，
即a<－3时，B=∅，满足条件；
②当Δ=0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；
③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，这是不可能成立的．
综上可知，a的取值范围是a≤－3．
（3）∵A∩(∁UB)=A，∴A⊆∁UB，∴A∩B=∅．
对于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，
①当Δ<0，即a<－3时，B=∅，满足条件．
②当Δ=0，即a＝－3时，B＝{2}，A∩B＝{2}，不满足条件．
③当Δ>0，即a>－3时，只需1∉B且2∉B即可．
将x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1或a＝－3；
将x＝1代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a=−1±3，∴a≠－1，a≠－3且a≠−1±3，
综上，a的取值范围是{a|a≠−1且a≠−3且a≠−1±3}．
5．（2023秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知A=xx2−6x+5=0，B=xax−1=0.
(1)若a=1，求A∩∁ZB；
(2)从①A∪∁RB=R；②A∩B=B；③B∩∁RA=∅这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答.
问题：若__________，求实数a的所有取值构成的集合C.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解题思路】（1）当a=1时，求出集合B、A，利用补集和交集的定义可求得集合A∩∁ZB；
（2）选①，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据A∪∁RB=R可得出关于a的等式，综合可得出集合C；
选②，分析可知B⊆A，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据B⊆A可得出关于a的等式，综合可得出集合C；
选③，分a=0、a≠0两种情况讨论，在a=0时，直接验证即可；在a≠0时，求得B=1a，根据B∩∁RA=∅，可得出关于a的等式，综合可得出集合C.
【解答过程】（1）解：当a=1时，B=xx−1=0=1，
又因为A=xx2−6x+5=0=1,5，故A∩∁ZB=5.
（2）解：若选①，当a=0时，B=∅，则∁RB=R，满足A∪∁RB=R，
当a≠0时，B=1a，若A∪∁RB=R，则1a=1或5，解得a=1或15.
综上所述，C=0,15,1；
若选②，∵A∩B=B，则B⊆A.
当a=0时，B=∅，满足B⊆A；
当a≠0时，B=1a，因为B⊆A，则1a=1或5，解得a=1或15.
综上所述，C=0,15,1；
若选③，当a=0时，B=∅，满足B∩∁RA=∅；
当a≠0时，则B=1a，因为B∩∁RA=∅，则1a=1或5，解得a=1或15.
综上所述，C=0,15,1.
考点4
集合与充分、必要条件的综合应用
1．（2023春·吉林长春·高二校考期中）已知集合A=x|1−m≤x≤1+m，集合B=x|x2−8x−20≤0.
(1)若m=5，求A∩B，A∪B；
(2)若x∈B是x∈A的必要条件，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）代入若m=5再求解交集并集即可；
（2）根据必要条件满足的集合包含关系，列出A,B区间端点满足的不等式求解即可.
【解答过程】（1）若m=5则A=x|−4≤x≤6，B=x|x−10x+2≤0=x|−2≤x≤10，故A∩B=x|−2≤x≤6，A∪B=x|−4≤x≤10
（2）B=x|−2≤x≤10，若x∈B是x∈A的必要条件，则A⊆B或A为空集.
当A⊆B时1−m≤1+m−2≤1−m1+m≤10，解得0≤m≤3；
当A为空集时1−m>1+m，即m<0.
综上有m≤3.
2．（2023·全国·高一专题练习）设U=R，已知集合A=x|−2≤x≤5，B=x|m+1≤x≤2m−1．
(1)当4∈B时，求实数m的范围；
(2)设p:x∈A；q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围．
【解题思路】（1）由题意知，4是集合B的元素，代入可得答案；
（2）由题可得B是A的真子集，分类讨论B为空集和B不为空集合两种情况，即可求得m的取值范围.
【解答过程】（1）由题可得m+1≤4≤2m−1，则52≤m≤3；
（2）由题可得B是A的真子集，
当B=∅，则m+1>2m−1⇒m<2；
当B≠∅，m≥2，则2m−1≤5m+1≥−2（等号不同时成立），解得2≤m≤3
综上：m≤3.
3．（2023秋·安徽芜湖·高一校考期末）设全集是R，集合A=x|a(1)若A⊆B，求实数a的取值范围；
(2)条件p:x∈A，条件q:x∈B，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）分A=∅和A≠∅讨论，特别是A≠∅时，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解；
（2）根据q是p的充分不必要条件得到BA，直接根据集合间的包含关系列不等式组求解.
【解答过程】（1）若A⊆B,
当A=∅时，a≥a2−2，解得−1≤a≤2，
当A≠∅时，a综合得−1≤a≤7，
（2）条件p:x∈A，条件q:x∈B，若q是p的充分不必要条件，
则BA，∴a≤1a2−2≥5且等号不能同时成立，
解得a≤−7.
4．（2023春·江西上饶·高二阶段练习）已知集合A={x|−2(1)若m=2，求集合A∩B；
(2)在B，C两个集合中任选一个，补充在下面问题中，p:x∈A，q:x∈___________，求使p是q的必要不充分条件的m的取值范围.
【解题思路】（1）将m=2代入集合B，求得B={x|1（2）若选集合B：先计算出B={x|m−1若选集合C：先计算出C={x|m−2【解答过程】（1）解（1）当m=2时，x2−2mx+m2−1<0可化为x2−4x+3<0，
解得1又A={x|−2∴ A∩B={x|1（2）（2）若选集合B：
由x2−2mx+m2−1<0，得[x−(m−1)][x−(m+1)]<0，
∴ m−1由p是q的必要不充分条件，得集合B是集合A的真子集.
∴ {m−1≥−2m+1≤3，解得−1≤m≤2，∴m的取值范围为[−1,2].
若选集合C：
由|x−m|<2，得m−2由p是q的必要不充分条件，得集合C是集合A的真子集，
∴ {m−2≥−2m+2≤3，解得0≤m≤1，∴m的取值范围为[0,1].
5．（2023·全国·高三专题练习）在①A∪B=B；②“x∈A”是 “x∈B”的充分不必要条件；③A∩B=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题：
已知集合A=xa−1≤x≤a+1，B=xx2−2x−3≤0
(1)当a=2时，求A∪B；
(2)若______，求实数a的取值范围.
【解题思路】（1）化简集合A与B之后求二者的并集（2）先判断集合A与B的关系，再求a的取值范围
【解答过程】（1）当a=2时，集合A=x|1≤x≤3，B=x|−1≤x≤3，
所以A∪B=x|−1≤x≤3；
（2）若选择①A∪B＝B，则A⊆B，
因为A=x|a−1≤x≤a+1，所以A≠∅，
又B=x|−1≤x≤3，
所以a−1≥−1a+1≤3，解得0≤a≤2，
所以实数a的取值范围是0,2．
若选择②，“x∈A“是“x∈B”的充分不必要条件，则AB，
因为A=x|a−1≤x≤a+1，所以A≠∅， 又B=x|−1≤x≤3，
所以a−1≥−1a+1≤3，解得0≤a≤2，
所以实数a的取值范围是0,2．
若选择③，A∩B=∅，
因为A=x|a−1≤x≤a+1，B=x|−1≤x≤3，
所以a−1>3或a+1<−1，
解得a>4或a<−2，
所以实数a的取值范围是−∞,−2∪4,+∞．
考点5
根据命题的真假求参数
1．（2023·全国·高三专题练习）若命题“∀x∈R，ax2+1≥0”为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A．a>0B．a≥0C．a≤0D．a≤1
【解题思路】结合二次函数的性质来求得a的取值范围.
【解答过程】依题意命题“∀x∈R，ax2+1≥0”为真命题，
当a=0时，1≥0成立，
当a>0时，ax2+1≥0成立，
当a<0时，函数y=ax2+1开口向下，ax2+1≥0不恒成立.
综上所述，a≥0.
故选：B.
2．（2023春·四川宜宾·高二校考期末）已知命题p：∃x∈R,x2+2x+2−a=0为真命题，则实数a的值不能是（ ）
A．1B．2C．3D．−3
【解题思路】利用一元二次方程的根与判别式的关系求解.
【解答过程】因为命题p：∃x∈R,x2+2x+2−a=0为真命题，
所以Δ=4−4(2−a)≥0解得a≥1，
结合选项可得实数a的值不能是−3，
故选:D.
3．（2023·高一课时练习）已知命题p:∀x∈[1,2],x2−a≥0，命题q:∀x∈R,x2+2ax+2−a≠0，若命题p和¬q都是真命题，则实数a的取值范围是 (−∞,−2]∪{1} ．
【解题思路】先根据命题的真假求出a的范围，取交集可得答案.
【解答过程】当p:∀x∈[1,2],x2−a≥0为真时，a≤1；
当q:∀x∈R,x2+2ax+2−a≠0为真时，Δ=4a2−42−a<0，即−2因为命题p和¬q都是真命题，所以a≤1且a≥1或a≤−2.
故答案为：(−∞,−2]∪{1}.
4．（2023·高一课时练习）命题p：“∀x∈1,2，x2−a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2+3x+2−a=0”，若p和q中至少有一个是假命题，求实数a的取值范围．
【解题思路】先求出p和q均为真命题时的实数a的取值范围，再利用补集求出符合题意的实数a的取值范围．
【解答过程】若p是真命题，则a≤x2对于x∈1,2恒成立，所以a≤x2min=1，
若q是真命题，则关于x的方程x2+3x+2−a=0有实数根，
所以Δ=9−42−a=1+4a≥0，即a≥−14，
若p和q同时为真命题，则a≤1a≥−14，所以a∈−14,1，
所以当p和q中至少有一个是假命题时，有a∈−∞,−14∪1,+∞．
5．（2023春·江苏南京·高二校考期末）已知命题p存在实数x∈R，使x2−ax+1≤0成立．
（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若命题q:任意实数x∈1,2，使x2−ax+1≤0恒成立，如果命题“p或q”为假命题，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）由存在实数x∈R，使x2−ax+1⩽0成立得△⩾0，得实数a的取值范围；
（2）由对勾函数单调性得2⩽x+1x⩽52，得a⩾52，由已知得p假q假，两范围的补集取交集即可．
【解答过程】（1）p：存在实数x∈R，使x2−ax+1⩽0成立⇔△=a2−4⩾0⇔a⩽−2或a⩾2，
∴实数a的取值范围为(−∞，−2]∪[2，+∞)；
（2）q：任意实数x∈[1，2]，使a⩾x+1x恒成立，
∵x∈[1，2]，∴2⩽x+1x⩽52，∴a⩾52，
∵命题“p或q”为假命题，∴p假q假，
∵(−2，2)∩(−∞，52)=(−2，2)，
∴实数a的取值范围(−2,2)．
考点6
集合与命题的综合应用
1．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=x−2≤x≤5，B=xm+1≤x≤2m−1，且B≠∅.若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
【解题思路】首先判断出B⊆A，对B≠∅列不等式计算求解可得m的取值范围.
【解答过程】由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，
所以B⊆A，
B≠∅，则 m+1≤2m−1,m+1≥−2,2m−1≤5,解得2≤m≤3
综上，m的取值范围是2≤m≤3.
2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=x−3≤x≤10 ，B=x2m+1≤x≤3m−2，且B≠∅．
(1)若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，可知B⊆A，根据子集的含义解决问题；
（2）命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，通过关系解决.
【解答过程】（1）由命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，可知B⊆A，
又B≠∅，所以2m+1≤3m−22m+1≥−33m−2≤10 ，解得3≤m≤4．
（2）因为B≠∅，所以2m+1≤3m−2，得m≥3．
因为命题q：“∃x∈A，x∈B”是真命题，所以A∩B≠∅，
所以−3≤2m+1≤10，或−3≤3m−2≤10，得−2≤m≤92．
综上，3≤m≤92．
3．（2023春·福建南平·高二校考期中）已知集合A=x−3≤x<4,B=x2m−1≤x≤m+1
（1）若B⊆A，求实数m的取值范围.
（2）命题q：“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）B⊆A，分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；
（2）由∃x∈A，使得x∈B，可知B为非空集合且A∩B≠∅，然后求解A∩B=∅的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案
【解答过程】解：（1）①当B为空集时，m+1<2m−1,m>2成立.
②当B不是空集时，∵B⊆A，m+1≥2m−12m−1≥−3m+1<4，∴−1≤m≤2
综上①②，m≥−1.
（2）∃x∈A，使得x∈B，∴B为非空集合且A∩B≠∅,m+1≥2m−1,m≤2.
当A∩B=∅时2m−1≥4m≤2，无解或m+1<−3m≤2，m<−4，
∴A∩B≠∅,m∈[−4,2].
4．（2022秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知命题p:∃x∈R,x2−6x+a2=0，当命题p为真命题时，实数a的取值集合为A．
(1)求集合A；
(2)设集合B=a3m−2≤a≤m−1，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由题意可知x2−6x+a2=0有解，利用其判别式大于等于0即可求得答案；
（2）结合题意推出B⊆A,且B≠A，讨论B是否为空集，列出相应不等式（组），求得答案.
【解答过程】（1）因为p为真命题，所以方程x2−6x+a2=0有解，即Δ=36−4a2≥0，
所以−3≤a≤3，即A=a−3≤a≤3；
（2）因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B⊆A,且B≠A，
i）当B=∅时，3m−2>m−1，解得m>12；
ii）当B≠∅时，3m−2≤m−13m−2≥−3m−1≤3，且3m−2≥−3,m−1≤3等号不会同时取得，
解得−13≤m≤12，
综上，m≥−13.
5．（2023秋·重庆九龙坡·高一统考期末）设全集U=R，集合A=xlg212≤x(1)当a=4时，求A∩∁RB；
(2)若命题“∃x∈B，x∈∁UA”是真命题，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）首先求出集合A，再根据补集、交集的定义计算可得；
（2）首先求出∁RA，依题意可得B∩∁RA≠∅，即可得到不等式，解得即可；
【解答过程】（1）解：不等式lg212≤x∴A=−1,4
当a=4时，集合B=3,5，
∴∁RB=−∞,3∪5,+∞，
∴A∩∁RB=−1,3．
（2）解：由（1）知，∁RA=−∞,−1∪4,+∞，
∵命题“∃x∈B，x∈∁RA”是真命题，
∴B∩∁RA≠∅，
∴1+a≥4，解得：a≥3．
∴实数a的取值范围是3,+∞．