专题3.5 函数性质及其应用大题专项训练-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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姓名：___________班级：___________考号：___________
题型一
利用函数的性质求解析式
1．（2023春·甘肃白银·高二校考期末）若定义在R上的奇函数fx满足f2−x=fx，当x∈0,1时，fx=x2−2x．
(1)求f2021的值；
(2)当x∈3,4时，求函数fx的表达式．
2．（2023春·浙江宁波·高二校考期中）设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)=x2−2−x.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若“x=3”是“f(2x−t)>12”的充分条件，求实数t的取值范围.
3．（2023·高一课时练习）已知f(x)=x+ax2+bx+1(−1≤x≤1)为奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)试判断f(x)的单调性；
(3)试求f(x)的值域．
4．（2023·高一课时练习）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−x.
(1)求f(x)的解析式：
(2)若方程f(x)=k有3个不同的解，求k的取值范围.
5．（2023·全国·高三对口高考）设fx是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有fx+2=−fx．当x∈0,2时，fx=2x−x2．
(1)求证：fx是周期函数；
(2)当x∈2,4时，求fx的解析式；
(3)计算f0+f1+f2+⋯+f2011．
题型二
利用函数的性质求最值
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)对于任意x,y∈R，总有f(x)+f(y)=f(x+y)，且x>0时，f(x)0.
(1)若a=b=1，求y在t,t+1上的最大值；
(2)若函数在区间2,4上的最大值为9，最小值为1，求实数a，b的值.
8．（2023春·安徽合肥·高一校考阶段练习）已知函数y=fxx∈R是偶函数．当x≥0时，fx=x2−2x．
(1)求函数fx的解析式；
(2)设gx=−fx+1，求gx在区间a,a+2上的最大值，其中a>−1．
9．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x2+ax+1.
(1)当a>2时，判断f(x)在R上的单调性；
(2)记f(x)在R上的最小值为g(a)，写出g(a)的表达式并求g(a)的最大值.
10．（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）已知函数y=fx是定义在R上的周期函数，周期为5，函数y=fx(−1≤x≤1)是奇函数，又知y=fx在[0,1]上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值−5，
(1)求f1+f4的值；
(2)求y=fx，x∈[1,4]上的解析式；
(3)求y=fx在[4,9]上的解析式，并求函数y=fx的最大值与最小值．
题型三
利用函数的性质比较大小
11．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)在[1,+∞)上为增函数，对任意x∈R均满足：①f(1+x)=f(1−x)，②x10且x1+x20)，且当x>1时，f(x)>0．
(1)求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；
(2)若f(2)=1 ，解不等式f(x+2)−f(2x)>2；
(3)比较f(m+n2)与f(m)+f(n)2的大小．
13．（2022秋·海南海口·高一校考期中）函数f(x)=x2+2x(x>0).
(1)判断并用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性；
(2)若x2>x1>0，x1+x2=2，求证：fx1>fx2；
(3)若fx1=fx2，且x1≠x2，求证：x1+x2>2.
14．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）已知函数f(x)=x2+2x．
(1)求f(1)，f(2)的值；
(2)设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；
(3)若关于x的不等式f(x−1)≥2(x−1)+2x−1+m恒成立，求实数m的取值范围．
15．（2022·高一课时练习）定义在(0,+∞)上的函数f(x)，满足f(mn)=f(m)+f(n)(m,n>0)，且当x>1时，f(x)>0.
（1）求f(1)的值.
（2）求证：fmn=f(m)−f(n).
（3）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数.
（4）若f(2)=1，解不等式f(x+2)−f(2x)>2.
（5）比较fm+n2与f(m)+f(n)2的大小.
题型四
利用函数的单调性、奇偶性解不等式
16．（2022秋·重庆·高一校联考期中）已知函数fx是定义在−3,3上的奇函数，当00，求实数a的取值范围．
17．（2023·全国·高三专题练习）已知y=fx是定义在区间−2,2上的偶函数，其部分图像如图所示．
(1)求f−1的值；
(2)补全y=fx的图像，并写出不等式fx≥1的解集．
18．（2023秋·黑龙江佳木斯·高一校考期末）已知函数fx=ax+bx2+1是定义在−1,1上的奇函数，且f12=−25.
(1)求函数fx的解析式；
(2)判断fx的单调性，并证明你的结论；
(3)解不等式ft−1+ft0．
(1)求证：函数fx是奇函数；
(2)求证：fx在−1,1上是减函数；
(3)解不等式：fx+1+f11−x>0；
20．（2023秋·四川成都·高一校考期末）定义在区间D=xx≠0上的函数fx,对∀a,b∈D都有fab=fa+fb,且当x>1时,fx>0.
(1)判断fx的奇偶性,并证明;
(2)判断fx在0,+∞上的单调性,并证明;
(3)若f2=3,求满足不等式f3m+2+fm−1−3