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专题4.3 对数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练(人教A版必修第一册)
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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc9754" 【题型1 对数的概念的理解】 PAGEREF _Tc9754 \h 2
\l "_Tc14861" 【题型2 指数式与对数式的互化】 PAGEREF _Tc14861 \h 2
\l "_Tc5999" 【题型3 对数的运算性质的应用】 PAGEREF _Tc5999 \h 3
\l "_Tc28486" 【题型4 换底公式的应用】 PAGEREF _Tc28486 \h 4
\l "_Tc9399" 【题型5 指、对数方程的求解】 PAGEREF _Tc9399 \h 4
\l "_Tc26296" 【题型6 带附加条件的指、对数问题】 PAGEREF _Tc26296 \h 4
\l "_Tc28205" 【题型7 对数的实际应用】 PAGEREF _Tc28205 \h 6
【知识点1 对数的概念】
1.对数的定义、性质与对数恒等式
(1)对数的定义:一般地,如果=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)对数的性质:
①=0,=1(a>0,且a≠1),负数和0没有对数.
②对数恒等式:=N(N>0,a>0,且a≠1).
(3)对数与指数的关系:
根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当a>0,且a≠1时,=Nx=.
用图表示为:
2.常用对数与自然对数
【题型1 对数的概念的理解】
【例1】(2022春·江苏南京·高一校考阶段练习)下列说法中错误的是( )
A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可化为对数式
C.以10为底的对数叫做常用对数D.以e为底的对数叫做自然对数
【变式1-1】(2022秋·高一单元测试)已知对数式lga+124−a有意义,则a的取值范围为( )
A.−1,4B.−1,0∪0,4
C.−4,0∪0,1D.−4,1
【变式1-2】(2022秋·四川甘孜·高一校考阶段练习)对于 a>0,且a≠1,下列说法中,正确的是( )
①若 M=N,则lgaM=lgaN ; ② 若lgaM=lgaN,则M=N;
③ 若lgaM2=lgaN2 ,则M=N; ④若 M=N,则lgaM2=lgaN2.
A.①③B.②④C.②D.①②④
【变式1-3】(2023·全国·高一假期作业)有下列说法:
①以10为底的对数叫作常用对数;
②任何一个指数式都可以化成对数式;
③以e为底的对数叫作自然对数;
④零和负数没有对数.
其中正确的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
【题型2 指数式与对数式的互化】
【例2】(2023·高一课时练习)设lg45=2m,则4m= ( )
A.125B.25C.15D.5
【变式2-1】(2023秋·天津河西·高三校考期末)已知a>b>1,若lgab+lgba=103,ab=ba,则ab=( )
A.6B.7C.8D.9
【变式2-2】(2023秋·高一课前预习)下列指数式与对数式的互化中不正确的是( )
A.e0=1与ln 1=0B.lg39=2与912=3
C.8-13=12与lg812=-13D.lg77=1与71=7
【变式2-3】(2023·全国·高一假期作业)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.e0=1与ln1=0B.8−13=12与lg812=−13
C.lg39=2与912=3D.lg77=1与71=7
【知识点2 对数的运算】
1.对数的运算性质
如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,n∈R,那么我们有:
2.对数的换底公式及其推论
(1)换底公式:设a>0,且a≠1,c>0,且c≠1,b>0,则=.
(2)换底公式的推论:
①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1);
② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0);
③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).
【题型3 对数的运算性质的应用】
【例3】(2023春·云南文山·高二校考阶段练习)下列各式正确的是( )
A.e2⋅e3=e6B.e4=e3C.lg2⋅lg5=1D.lg2+lg5=1
【变式3-1】(2023·全国·高一专题练习)设lg34=a,lg35=b,则lg310=( )
A.2a+4bB.4a−2b
C.12a+bD.14a+12b
【变式3-2】(2023·江西南昌·校联考模拟预测)已知alg4a=162,则a+lg2a=( )
A.11或−238B.11或−218C.12或−238D.10或−218
【变式3-3】(2023·天津河西·天津市校考模拟预测)已知a=lg0.12,b=lg502,则2a+1b=( )
A.-2B.-1C.1D.2
【题型4 换底公式的应用】
【例4】(2023春·江苏南通·高一校考阶段练习)lg2⋅lg810的值为( )
A.3B.lg310C.13D.lg3
【变式4-1】(2023·全国·高三专题练习)已知lg2=a,lg3=b,则lg475=( )
A.a−b+22aB.b−2a+22aC.b−a+22aD.2a−b+22a
【变式4-2】(2023·四川泸州·四川省校考二模)已知lg189=a,18b=5,则lg4581=( )
A.−aa+bB.2−aabC.2aa+bD.2−aa+b
【变式4-3】(2023秋·吉林长春·高一校考期末)已知a=lg26,3b=36,则1a+2b=( )
A.12B.1C.2D.4
【题型5 指、对数方程的求解】
【例5】(2023春·北京·高一校考开学考试)方程3lg2x=14的解为( )
A.4lg32B.2lg22C.12lg32D.14lg32
【变式5-1】(2022秋·高一单元测试)方程lg3x2=2−lg93x的解集是( )
A.3,3B.3,39
C.3D.3,39
【变式5-2】(2021·高一课时练习)方程2lgx25−3lg25x=1的解集是( ).
A.535B.∅C.125D.535,125
【变式5-3】(2023·高一课时练习)若α、β是方程(lgx)2−lg(x2)−2=0的两根,则lgαβ+lgβα的值为( )
A.−4B.−2C.2D.4
【题型6 带附加条件的指、对数问题】
【例6】(2023·全国·高一假期作业)(1)已知lg189=a,18b=5,求lg1845.(用a,b表示)
(2)已知lg94=a,9b=5,求lg3645.(用a,b表示)
【变式6-1】(2023秋·辽宁丹东·高一统考期末)已知实数a,b满足3a=2,blg34=1.
(1)用a表示lg34−lg36;
(2)计算9a+9−a+4b+4−b的值.
【变式6-2】(2023秋·江苏苏州·高一统考开学考试)(1)已知10m=2,10n=3,求103m−2n2的值;
(2)已知a12+a−12=3,求a2+a−2的值;
(3)计算:12lg23×412+lg23×lg34−30.
【变式6-3】(2023秋·四川眉山·高一校考期末)(1)已知alg23=1,求54×843+alg29+3a的值;
(2)已知2x+2−x=22,求16x+16−x的值.
【知识点3 对数的实际应用】
1.对数的实际应用
在实际生活中,经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时,一是要合理建立数
学模型,寻找量与量之间的关系;二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解.
对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛,其应用问题大致可以分为两类:
(1)建立对数式,在此基础上进行一些实际求值,计算时要注意指数式与对数式的互化;
(2)建立指数函数型应用模型,再进行指数求值,此时往往将等式两边同时取对数进行计算.
【题型7 对数的实际应用】
【例7】(2023秋·湖南长沙·高三校考开学考试)二维码与生活息息相关,我们使用的二维码主要是21×21大小的,即441个点,根据0和1的二进制编码,一共有2441种不同的码,假设我们1万年用掉3×1015个二维码,那么大约可以用( )(lg2≈0.301,lg3≈0.477)
A.10117万年B.10118万年C.10119万年D.10200万年
【变式7-1】(2023·福建三明·统考三模)17世纪,法国数学家马林·梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上,对2p−1(p为素数)型的数作了大量的研算,他在著作《物理数学随感》中断言:在p≤257的素数中,当p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257时,2p−1是素数,其它都是合数.除了p=67和p=257两个数被后人证明不是素数外,其余都已被证实.人们为了纪念梅森在2p−1型素数研究中所做的开创性工作,就把2p−1型的素数称为“梅森素数”,记为Mp=2p−1.几个年来,人类仅发现51个梅森素数,由于这种素数珍奇而迷人,因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数M19=219−1,第8个梅森素数M31=231−1,则lg1+M311+M19约等于(参考数据:lg5≈0.7)( )
A.17.1B.8.4C.6.6D.3.6
【变式7-2】(2023·江苏徐州·校考模拟预测)要测定古物的年代,可以用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性14C.动植物死亡后,停止了新陈代谢,14C不再产生,且原来的14C会自动衰变.经过5730年,它的残余量只有原始量的一半.现用放射性碳法测得某古物中14C含量占原来的15,推算该古物约是m年前的遗物(参考数据:(lg2)−1≈3.3219),则m的值为( )
A.12302B.13304C.23004D.24034
【变式7-3】(2023春·贵州六盘水·高一统考期末)酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车,80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后,他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少经过几个小时才能驾驶?( )(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477,lg7≈0.845)
A.3B.4C.5D.6
名称
定义
符号
常用对数
以10为底的对数叫做常用对数
简记作lg N
自然对数
以e为底的对数叫做自然对数,e是无理数,e
≈2.71828
简记作ln N
运算
数学表达式
自然语言描述
积的对数
正因数积的对数等于同一底数的各因数的
对数的和
商的对数
两个正数的商的对数等于同一底数的被除
数的对数减去除数的对数
幂的对数
正数幂的对数等于幂指数乘同一底数的幂
的底数的对数
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