专题4.4 对数函数-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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\l "_Tc19283" 【题型1 对数函数的判定】 PAGEREF _Tc19283 \h 1
\l "_Tc8193" 【题型2 求对数函数的函数值或解析式】 PAGEREF _Tc8193 \h 3
\l "_Tc27752" 【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】 PAGEREF _Tc27752 \h 4
\l "_Tc1229" 【题型4 对数式的大小比较】 PAGEREF _Tc1229 \h 6
\l "_Tc27653" 【题型5 解对数不等式】 PAGEREF _Tc27653 \h 8
\l "_Tc27034" 【题型6 对数函数的图象及应用】 PAGEREF _Tc27034 \h 10
\l "_Tc18900" 【题型7 对数型复合函数的应用】 PAGEREF _Tc18900 \h 13
\l "_Tc1578" 【题型8 对数函数的实际应用】 PAGEREF _Tc1578 \h 16
【知识点1 对数函数的概念】
1．对数函数的定义
(1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+
).
(2)判断一个函数是对数函数的依据：
①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).
例如:y=是对数函数，而y=(x+1)，y=都不是对数函数.
【题型1 对数函数的判定】
【例1】（2023·全国·高一专题练习）下列函数，其中为对数函数的是（ ）
A．y=lg12(−x)B．y=2lg4(1−x)C．y=lnxD．y=lg(a2+a)x
【解题思路】利用对数函数定义，逐项判断作答.
【解答过程】函数y=lg12(−x)，y=2lg4(1−x)的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是；
函数y=lnx是对数函数，C是；
函数y=lg(a2+a)x的底数含有参数a，而a的值不能保证a2+a是不等于1的正数，D不是.
故选：C.
【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．y=lga(2x)B．y=lg10xC．y=lga(x2+x)D．y=lnx
【解题思路】根据对数函数的概念即得.
【解答过程】因为函数y=lgax(a>0且a≠1)为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
【变式1-2】（2023秋·高一课时练习）给出下列函数：
①y=lg23x2；②y=lg3(x−1)；③y=lg(x+1)x；④y=lgex.
其中是对数函数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据对数函数的特征判断即可得答案.
【解答过程】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；
③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
故选:A.
【变式1-3】（2023秋·高一课时练习）下列给出的函数:①y=lg5x+1 ;
②y=lgax2(a>0，且a≠1);
③y=lg(3-1)x;
④y=13lg3x;
⑤y=lgx3(x>0，且x≠1) ;
⑥y=lg2πx.其中是对数函数的为（ ）
A．③④⑤B．②④⑥C．①③⑤⑥D．③⑥
【解题思路】根据对数函数的解析式y=lgax(a>0, a≠1)来判断即可.
【解答过程】解:①y=lg5x+1,不满足单项式,不是对数函数;
②y=lgax2(a>0，且a≠1)中真数不是自变量,不是对数函数;
④y=13lg3x的系数不为1,不是对数函数;
⑤y=lgx3(x>0，且x≠1)中真数是常数，不是对数函数;
故只有③⑥是对数函数.
故选:D.
【题型2 求对数函数的函数值或解析式】
【例2】（2023秋·高一课时练习）若某对数函数的图象过点4,2，则该对数函数的解析式为（ ）
A．y=lg2xB．y=2lg4x
C．y=lg2x或y=2lg4xD．不确定
【解题思路】设函数为y=lgaxa>0,a≠1，再根据图象过点4,2可得2=lga4，即可解出a，得到该对数函数的解析式．
【解答过程】设函数为y=lgaxa>0,a≠1，依题可知，2=lga4，解得a=2，所以该对数函数的解析式为y=lg2x．
故选：A．
【变式2-1】（2023秋·高一课时练习）若函数f(x)=lgax+1 (a>0,a≠1)的图像过点(7,3)，则a的值为（ ）
A．2B．2C．22D．12
【解题思路】代入(7,3)到f(x)=lgax+1求解即可.
【解答过程】由题, 3=lga7+1⇒a3=8⇒a=2.
故选：B.
【变式2-2】（2023·全国·高一专题练习）若函数f(x)=a2−3a+3lgax是对数函数，则a的值是（ ）
A．1或2B．1
C．2D．a>0且a≠1
【解题思路】根据对数函数的定义即可得到方程，解出即可.
【解答过程】∵函数f(x)=a2−3a+3lgax是对数函数，
∴a2−3a+3=1，a>0且a≠1，
解得a=1或a=2，∴a=2，
故选：C．
【变式2-3】（2022·高一单元测试）已知f2x+1=lgx，则f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)=lg2x+1B．f(x)=lg2x−1
C．f(x)=lg12x−1D．f(x)=lg12x+1
【解题思路】利用换元法，即可求得f(x)的解析式
【解答过程】令2x+1=t,(t>1)，则x=2t−1，
所以f(t)=lg2t−1(t>1)，
所以f(x)=lg2x−1(x>1).
故选：B.
【题型3 对数（型）函数的定义域与值域】
【例3】（2023·全国·高一专题练习）函数 y=2−xlg2x的定义域是（ ）
A．{x∣0