高一上学期期中考试解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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1．（2023·全国·高一专题练习）已知集合A=xax2+bx+1=0,a∈R,b∈R，求：
(1)当b=2时，A中至多只有一个元素，求a的取值范围；
(2)当a,b满足什么条件时，集合A为空集．
2．（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）已知命题p：∀x∈R，ax2+8x+a≥0，命题q：∃x∈−2,1，x−a+1>0．
(1)若命题p为真命题，求a的取值范围；
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求a的取值范围．
3．（2023·全国·高一专题练习）已知命题p：“∃x∈R，使不等式x2−2x−m≤0成立”是假命题．
(1)求实数m的取值集合A；
(2)若q:−40，求证：ac−a>bc−b；
（3）观察以下运算：
1×5＋3×6>1×6＋3×5，
1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.
①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；
②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).
25．（2023秋·全国·高一期中）已知幂函数fx=xa的图象经过点A12,2.
(1)求实数a的值，并用定义法证明fx在区间0,+∞内是减函数.
(2)函数gx是定义在R上的偶函数，当x≥0时，gx=fx，求满足g1−m≤5时实数m的取值范围.
26．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数f(x)=(m−1)2xm2−4m+2在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x−k．
（1）求m的值；
（2）当x∈[1,2)时，记f(x),g(x)的值域分别为集合A，B，设p:x∈A,q:x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
（3）设F(x)=f(x)−kx+1−k2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数k的取值范围．
27．（2023·江苏·高一专题练习）已知幂函数f(x)=(−2m2+m+2)xm+1为偶函数.
（1）求f(x)的解析式；
（2）若函数ℎ(x)=f(x)+ax+3−a≥0在区间[−2,2]上恒成立，求实数a的取值范围.
28．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）已知集合A为非空数集，定义：S=xx=a+b,a,b∈A,T=xx=a−b,a,b∈A，
(1)若集合A=1,3，直接写出集合S、T（无需写计算过程）；
(2)若集合A=x1,x2,x3,x4,x154,16a2+28a+44a−5>m−5x−15x−5恒成立，求m的取值范围.
30．（2023秋·高一课时练习）对于任意的n∈N∗，记集合En={1,2,3,⋯,n}，Pn=xx=ab,a∈En,b∈En，若集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1,x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N∗，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω.如当n=2时，E2={1,2}，P2=1,2,12,22，∀x1,x1∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N∗，使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω.
(1)写出集合P3，P4中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω.
(2)证明：不存在A､B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B.
(3)若存在A､B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值.
31．（2023秋·高一课时练习）若实数x，y，m满足|x−m|f(x)恒成立，求m的取值范围；
(2)若对任意x1∈[1,2]，存在x2∈[4,5]，使得gx1=fx2，求m的取值范围；
(3)若m=−1，对任意n∈R，总存在x0∈[−2,2]，使得不等式gx0−x02+n≥k成立，求实数k的取值范围．
37．（2023·全国·高一专题练习）设函数fx=ax2+b−2x+3a∈R，
(1)若不等式fx−4x+2的解集．
(3)若f1=4，b>−1，a>0，求1a+ab+1的最小值．
38．（2023秋·全国·高一期中）已知关于x的函数f(x)=a2x2+2ax−a2+1
(1)当a=2时，求f(x)≥0的解集；
(2)若不等式a2x2+2ax−a2+1≥0对满足a∈[−2,2]的所有a恒成立，求x的取值范围．
39．（2023秋·江苏盐城·高三校考开学考试）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：p=112−x,0≤x≤m34,x>m（其中m为小于12的正整数）.已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利3万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率＝次品数/生产量，如p=0.1表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）.
(1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数；
(2)当日产量为多少时，可获得最大利润？
40．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数fx=p2−3p+3xp2−32p−12是其定义域上的增函数．
(1)求函数fx的解析式；
(2)若函数ℎx=x+afx，x∈1,9，是否存在实数a使得ℎx的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
(3)若函数gx=b−fx+3，是否存在实数m,n(m1时fxf2x的解集．
46．（2023春·北京·高一东直门中学校考期中）设正整数n≥3，集合A=a∣a=x1,x2,⋯,xn,xk∈R,k=1,2,⋯,n，对于集合A中的任意元素a=x1,x2,⋯,xn和b=y1,y2,⋯,yn，及实数λ，定义：当且仅当xk=yk (k=1,2,⋯,n)时a=b；a+b=x1+y1,x2+y2,⋯,xn+yn；λa=λx1,λx2,⋯,λxn.
若A的子集B=a1,a2,a3满足：当且仅当λ1=λ2=λ3=0时，λ1a1+λ2a2+λ3a3=(0,0,0)，则称B为A的完美子集.
(1)当n=3时，已知集合B1={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}，B2={(1,2,3),(2,3,4),(4,5,6)}.分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由；
(2)当n=3时，已知集合B={(2m,m,m−1),(m,2m,m−1),(m,m−1,2m)}.若B不是A的完美子集，求m的值；
(3)已知集合B=a1,a2,a3⊆A，其中ai=xi,xi,⋯,xin(i=1,2,3).若2xii>x1i+x2i+x3i对任意i=1,2,3都成立，判断B是否一定为A的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.
47．（2023·全国·高一专题练习）已知函数f(x)=a2−4x2+4bx−b2(a∈R,b∈R)．
(1)问题：若关于x的方程f(x)=a2−3x2+(a−3+4b)x+a−b2______，求实数a的取值范围；
从下面给出的①②③三个条件中任选一个，补充到上面的问题中，并进行解答．
①有两个不等正实根；②有两个相异负实根；③有1个正实根和1个负实根．
（若选择多个方案分别解答，则按第一个解答记分．）
(2)当b=1时，解关于x的不等式f(x)≤0；
(3)当0