高一上学期期中数学试卷（基础篇）-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023春·广东湛江·高一校考阶段练习）已知集合A=−3,−2,0,1,2,3,7，B=xx∈A,−x∉A，则B=（ ）
A．0,1,7B．1,7C．−2,0,7D．−2,1,7
【解题思路】根据题意，结合B=xx∈A,−x∉A，逐个元素判定，即可求解.
【解答过程】由集合A=−3,−2,0,1,2,3,7，因为B=xx∈A,−x∉A，所以B=1,7．
故选：B．
2．（5分）（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）下列与函数y=x是同一个函数的是（ ）
A．y=x2xB．y=(x)2C．y=|x|D．y=3x3
【解题思路】定义域相同且对应关系相同，则两个函数相同，进而得到答案.
【解答过程】函数y=x定义域为R.
对A，函数定义域为x|x≠0，故错误；
对B，函数定义域为[0,+∞)，故错误 ；
对C，函数定义域为R，函数为y=|x|，对应关系不同，故错误；
对D，函数定义域为R，函数可化简为y=x，故正确.
故选：D.
3．（5分）（2023春·湖北黄冈·高一校联考期中）若集合A={1,m2}，B={2,9}，则“m=3”是“A∩B=9”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解题思路】由A∩B=9，可得m2=9，解得m，即可判断出结论．
【解答过程】由A∩B=9，可得m2=9，解得m=±3，
因为3−3,3，所以m=3是“A∩B=9”的充分不必要条件.
故选：A．
4．（5分）（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知a>b，c>d>0，则下列不等式成立的是（ ）
A．1a<1bB．dcC．ac>bdD．ac>bd
【解题思路】利用特殊值法判断A、C、D，利用作差法判断B.
【解答过程】.解：已知a>b，c>d>0，A：取a=1，b=−2，显然满足a>b，
但1a>1b，故A错误；
d+4c+4−dc=c(d+4)−d(c+4)c(c+4)=4(c−d)c(c+4)>0，则有d+4c+4>dc，故B正确；
取a=2，b=1，c=2，d=1，满足a>b，c>d>0，此时ac=bd=1，故C错误；
取a=−1，b=−2，c=2，d=1，满足a>b，c> d>0，此时ac=bd，故D错误.
故选:B.
5．（5分）（2023·全国·高一假期作业）若不等式ax2−x−c>0的解集为x−3A．3,0和−2,0B．−2,0
C．3,0D．−2和3
【解题思路】不等式ax2−x−c>0的解集为x−3【解答过程】若不等式ax2−x−c>0的解集为x−3则方程ax2−x−c=0的两个根为x1=−3,x2=2且a<0，
∴−3+2=1a−3×2=−ca，解得a=−1c=−6，
则函数y=ax2+x−c=−x2+x+6，
令y=−x2+x+6=0，解得x=−2或x=3，
故函数y=ax2+x−c的图象与x轴的交点为−2,0和3,0.
故选：A.
6．（5分）（2023春·黑龙江双鸭山·高二校考期末）设a,b为正实数，且a+b=10ab，则a+9b的最小值为（ ）
A．65B．1310C．85D．95
【解题思路】由a+b=10ab可得1101a+1b=1，则a+9b=110a+9b1a+1b，化简后利用基本不等式可求得结果.
【解答过程】因为a,b为正实数，且a+b=10ab，
所以1101a+1b=1，
所以a+9b=110a+9b1a+1b=11010+9ba+ab≥11010+29ba⋅ab=85，
当且仅当9ba=ab，即a2=9b2，即a=25,b=215时等号成立.
所以a+9b的最小值为85.
故选：C.
7．（5分）（2023·高一课时练习）如图，在一直角墙角内的点P处有一棵树，它与两墙的距离分别是3米和2米．现欲用10米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，要求这棵树被围在花圃内或边界上．设BC=x米，则矩形花圃的面积f(x) （单位：平方米）为（ ）

A．f(x)=−x2+5x(0≤x≤10)B．f(x)=−x2+10x(0≤x≤10)
C．f(x)=−x2+5x(3≤x≤8)D．f(x)=−x2+10x(3≤x≤8)
【解题思路】由篱笆总长10米和BC=x米，得出CD，由矩形面积公式表示出f(x)，再由这棵树被围在花圃内或边界上列出不等式组，求解即可得出答案．
【解答过程】因为BC=x米，篱笆总长为10米，
所以CD=(10−x)米，
所以f(x)=x(10−x)=−x2+10x，
又因为这棵树被围在花圃内或边界上，
所以x≥310−x≥2，解得3≤x≤8，
故选：D．
8．（5分）（2023春·内蒙古赤峰·高一校联考期末）已知函数fx+2是偶函数，当x1、x2∈2,+∞时，fx1−fx2x1−x2<0恒成立，设a=f1，b=f52，c=f−12，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．c【解题思路】根据题意先求出函数fx在2,+∞上为单调增函数且关于直线x=2对称，然后利用函数的单调性和对称性即可求解.
【解答过程】∵当2≤x1∴当2≤x1fx2，
∴函数fx在2,+∞上为单调减函数，
∵函数f(x+2)是偶函数，即f2+x=f2−x，
∴函数fx的图像关于直线x=2对称，∴a=f1=f3，c=f−12=f92
又函数fx在2,+∞上为单调减函数，∴f(2)>f52>f(3)>f(92)，
即f52>f(1)>f(−12)，∴b>a>c，
故选：C.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023·江苏·高一假期作业）下列说法错误的是( )
A．在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0}
B．方程x−2+|y+2|=0的解集为−2,2
C．集合{y|y=x2}与{x,y|y=x2}是同一个集合
D．若A={x∈Z|−1≤x≤1}，则−1.1∈A
【解题思路】根据集合的定义与表示逐项分析判断．
【解答过程】对于A：因为xy>0等价于x>0y>0或x<0y<0，
如果x>0y>0，则点在第一象限，如果x<0y<0，则点在第三象限，
所以在直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x,y)|xy>0}，故A正确；
对于B：由于方程x−2+|y+2|=0的解集等价于x−2=0y+2=0，解得x=2y=−2，
故解集为{(−2,2)}，故B错误；
对于C：集合{y|y=x2}表示y=x2的函数值y的取值范围，是数集，
集合{x,y|y=x2}表示抛物线y=x2的图象，是点集，所以两个集合不相同，故C错误；
对于D：因为A={x∈Z|−1≤x≤1}=−1,0,1，则−1.1∉A，故D错误，
故选：BCD．
10．（5分）（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）下列命题中的真命题有（ ）
A．当x>1时，x+1x−1的最小值是3
B．x2+5x2+4的最小值是2
C．当0D．若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x∣20
【解题思路】对于A、C：根据基本不等式分析判断；对于B：根据对勾函数分析判断；对于D：根据三个二次之间的关系分析判断.
【解答过程】对于选项A：因为x>1，则x−1>0，
所以x+1x−1=(x−1)+1x−1+1≥2(x−1)×1(x−1)+1=3，
当且仅当x−1=1x−1，即x=2时，等号成立，故选项A正确；
对于选项B：因为x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2，
等号成立的条件是x2=−3，所以等号不成立，不能使用基本不等式，
令t=x2+4≥2，则y=t+1t在2,+∞上单调递增，所以t=2时取得最小值52，
故选项B错误；
对于选项C：因为00
所以x(10−x)≤x+(10−x)2=5，
当且仅当x=10−x，即x=5时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D：因为关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为x∣2所以ax2+bx+c=0的根为2,3，
则a<0−ba=5ca=6，解得a<0b=−5ac=6a，
所以a−b+c=a+5a+6a=12a<0，故选项D错误.
故选：AC.
11．（5分）（2023春·江西九江·高二统考期末）已知幂函数fx=m−2xm2−2m，则（ ）
A．m=1
B．fx的定义域为R
C．f−x=−fx
D．将函数fx的图像向左平移1个单位长度得到函数gx=(x−1)3的图像
【解题思路】由幂函数的系数为1可求得m、fx,则A选项可判定;由fx解析式可求定义域，则B选项可判定; 由fx的奇偶性可判定是否满足f−x=−fx，则C选项可判定;把fx=x3中的x用x+1代可得向左平移1个单位长度后函数，则D选项可判定.
【解答过程】由幂函数的定义可知m−2=1，所以m=3，所以fx=x3，故A选项错误；
由fx=x3可知其定义域为R，故B选项正确；
fx=x3为奇函数，所以f−x=−fx，故C选项正确；
将fx=x3的图像向左平移1个单位长度得到函数y=(x+1)3的图像，故D选项错误；
故选：BC.
12．（5分）（2023秋·广东深圳·高三校考开学考试）已知函数fx定义域为R，fx+1是奇函数，gx=1−xfx，函数gx在1,+∞上递增，则下列命题为真命题的是（ ）
A．f−x−1=−fx+1B．函数gx在−∞,1上递减
C．若a<2−b<1，则g1ga+1，则a<12
【解题思路】根据fx+1是奇函数判断A，再判断g2−x=gx即可得到y=gx的图象关于直线x=1对称，从而判断B、C，根据对称性得到a+a+12<1，即可判断D.
【解答过程】对于A，因为fx+1是奇函数，所以f−x+1=−fx+1，故A错误；
因为fx+1是奇函数，所以y=fx的图象关于点1,0对称，即有fx=−f2−x，
所以g2−x=1−2−xf2−x=x−1f2−x=(1−x)f(x)=gx，所以y=gx的图象关于直线x=1对称，
函数gx在x∈1,+∞上单调递增，所以gx在x∈−∞,1上单调递减，故B正确；
因为a<2−b<1，所以g1因为ga>ga+1，且a故选：BCD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023春·江苏南京·高二统考期末）命题“∃x∈−1,1,x2−x+3<0”的否定是 ∀x∈−1,1,x2−x+3≥0 .
【解题思路】存在量词命题的否定是全称量词命题.
【解答过程】命题“∃x∈−1,1,x2−x+3<0”的否定是∀x∈−1,1,x2−x+3≥0.
故答案为：∀x∈−1,1,x2−x+3≥0.
14．（5分）（2023春·湖南岳阳·高一校考阶段练习）函数fx=2x+1的定义域为−2,2，则y=fx−1+fx+1的定义域为 −1,1 .
【解题思路】利用抽象函数的定义域可得出关于x的不等式组，即可求得函数y=fx−1+fx+1的定义域.
【解答过程】因为函数fx=2x+1的定义域为−2,2，
对于函数y=fx−1+fx+1，则有−2≤x−1≤2−2≤x+1≤2，解得−1≤x≤1.
因此，函数y=fx−1+fx+1的定义域为−1,1.
故答案为：−1,1.
15．（5分）（2023春·河北保定·高二校考阶段练习）若不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为 (−3,0] .
【解题思路】根据题意，分k=0和k≠0，两种情况，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【解答过程】由不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，
当k=0时，可得−38<0，此时对一切实数x都成立；
当k≠0时，则满足2k<0k2−4×2k×(−38)<0，解得−3综上可得，实数k的取值范围是(−3,0].
故答案为：(−3,0].
16．（5分）（2023秋·宁夏银川·高一校考期末）已知函数fx是定义在R上的偶函数，且fx在0,+∞上单调递增，则不等式f2x−1>fx的解集是 −∞,13∪1,+∞ .
【解题思路】根据条件得到当x越远离y轴时，fx越大，即绝对值越大得函数值越大，据此列不等式求解即可.
【解答过程】∵函数fx是定义在R上的偶函数，且fx在0,+∞上单调递增,
∴当x越远离y轴，fx越大，
又f2x−1>fx，
∴2x−1>x，
解得x<13或x>1，
即不等式f2x−1>fx的解集是−∞,13∪1,+∞.
故答案为：−∞,13∪1,+∞.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023秋·陕西西安·高二校考期末）判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．
(1)末尾数是偶数的数能被4整除；
(2)对任意实数x，都有x2−2x−3<0；
(3)方程x2−5x−6=0有一个根是奇数．
【解题思路】（1）利用全称命题的定义进行判断原命题，又2不能被4整除，可得命题的否定为真；
（2）利用全称命题的定义进行判断原命题，又当x=3时符合不等式，则命题的否定为真；
（3）利用特称命题的定义进行判断原命题，又方程的两根为6和−1，则则命题的否定为假．
【解答过程】（1）该命题是全称命题，
该命题的否定是：存在末尾数是偶数的数，不能被4整除；
该命题的否定是真命题．
（2）该命题是全称命题，
该命题的否定是：存在实数x，使得x2−2x−3≥0；
该命题的否定是真命题．
（3）该命题是特称命题，
该命题的否定是：方程x2−5x−6=0的两个根都不是奇数；该命题的否定是假命题．
18．（12分）（2023春·高一单元测试）已知全集U=R，集合A=x|m−1(1)当m=4时，求A∪B和A∩∁RB；
(2)若“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）根据集合并集、交集、补集运算求解即可；
（2）根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可
【解答过程】（1）当m=4时，集合A=x|x|3因为B=x|x<4，所以∁RB=x|x≥4.
所以A∪B=x|x<5，A∩∁RB=x|4≤x<5
（2）因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，
所以A是B的真子集，而A不为空集，
所以m+1≤4，因此m≤3.
19．（12分）（2023春·陕西西安·高二校考期中）（1）已知fx是二次函数，且f0=0，fx+1=fx+x+1，求fx的解析式；
（2）已知函数fx的定义域为（0，＋∞），且fx=2f1xx−1，求fx的解析式．
【解题思路】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）用1x代替x，利用代入法进行求解即可.
【解答过程】（1）设fx=ax2+bx+ca≠0，
因为f0=0，所以有c=0，
因为fx+1=fx+x+1，所以有
ax+12+bx+1=ax2+bx+x+1⇒ax2+2a+bx+a+b=ax2+b+1x+1，
所以2a+b=b+1a+b=1，解得a=b=12．
所以fx=12x2+12xx∈R；
（2）在fx=2f1xx−1中，
用1x代替x，得f1x=2fx1x−1，
将f1x=2fxx−1代入fx=2f1xx−1中，
可求得fx=23x+13．
20．（12分）（2023春·辽宁·高二校联考期末）已知正实数a,b满足2a+b=ab．
(1)求a+2b的最小值；
(2)求ab的最小值．
【解题思路】运用基本不等式求解.
【解答过程】（1）因为2a+b=ab，所以1a+2b=1．
a+2b=a+2b1a+2b=1+4+2ba+2ab≥5+22ba⋅2ab=9，
当且仅当a=b=3时，等号成立；
（2）因为a,b为正实数，所以ab>0，
又2a+b=ab≥22ab，所以(ab)2−8ab≥0，解得ab≥8，
当且仅当a=2,b=4时，等号成立；
综上，a+2b的最小值为9，ab的最小值为8.
21．（12分）（2023春·广西玉林·高二统考期末）已知关于x的不等式ax2−b≥2x−axa,b∈R.
(1)若不等式的解集为x−2≤x≤−1，求a、b的值；
(2)若a<0，解不等式ax−2x+1≥0.
【解题思路】（1）分析可知−2、−1是方程ax2+a−2x−b=0的两根，利用韦达定理可求得a、b的值；
（2）将所求不等式变形为x−2ax+1≤0，对2a、−1的大小进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集.
【解答过程】（1）解：原不等式可化为ax2+a−2x−b≥0，
由题知，−2、−1是方程ax2+a−2x−b=0的两根，
由根与系数的关系得a<0−a−2a=−3−ba=2，解得a=−1b=2.
（2）解：当a<0时，所以原不等式化为x−2ax+1≤0，
当2a>−1时，即a<−2时，解原不等式可得−1≤x≤2a；
当2a=−1时，即a=−2时，原不等式即为x+12≤0，解得x=−1；
当2a<−1时，即−2综上所述，当−2当a=−2时，不等式的解集为−1；
当a<−2时，不等式的解集为x−1≤x≤2a.
22．（12分）（2023·江苏镇江·扬中市校考模拟预测）已知函数fx=2ax+bx2+bx+a是定义在−1,1上的奇函数,且f12=45．
(1)确定函数fx的解析式;
(2)当x∈−1,1时,判断函数fx的单调性,并证明;
(3)解不等式f2x+1+f12x<0．
【解题思路】(1)根据奇函数可得f0=0,结合f12=45代入可得fx的解析式;
(2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可.
(3)将f12x移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为f2x+1【解答过程】（1）解:由题意可知fx为奇函数,
∴f0=0,
即ba=0,b=0,
∵f12=45,∴a=1,
∴fx=2xx2+1;
（2）当x∈−1,1时,函数fx单调递增,
证明如下:
设x1,x2为−1,1上的任意两个数,且x1∴fx2−fx1=2x2x22+1−2x1x12+1
=2x2−x11−x2x1x22+1x12+1,
∵x2−x1>0,x1,x2∈−1,1,
∴x2−x1>0,1−x1x2>0,
∴fx2−fx1>0,
故函数fx在−1,1上为增函数;
（3）∵f2x+1+f12x<0,
∴f2x+1<−f12x,
∵fx为奇函数,
∴f2x+1∵当x∈−1,1时,函数fx单调递增,
∴−1<2x+1<1−1<−12x<12x+1<−12x,
∴−1∴不等式的解集为−1,−25．