人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式优质导学案

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知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
知识点二：利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
知识点三：基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
知识点四：三个正数的基本不等式
如果，，，那么（当且仅当时，取“”号）
题型01对基本不等式的理解
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于B选项，成立的条件为，故错误；
对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；
对于D选项，由于，故，正确.
故选：D
【典例2】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州四十七中校考期末）以下结论正确的是（ ）
A．函数的最小值是4
B．若且，则
C．若，则的最小值为3
D．函数的最大值为0
【答案】BD
【详解】A.对于函数，当时，，所以A选项错误.
B.由于，所以，
所以，当且仅当时等号成立，所以B选项正确.
C.，
但无解，所以等号不成立，所以C选项错误.
D.由于，所以，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：BD
【变式1】（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】A. 当时，，故错误；
B. ，当且仅当 ，即 时，取等号，故正确；
C. 当时，，故错误；
D.由重要不等式得，故错误；
故选：B
题型02由基本不等式比较大小
【典例1】（多选）（2022秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）设为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】AC
【详解】A选项，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，A选项正确.
B选项，时，，但，B选项错误.
C选项，由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，C选项正确.
D选项，时，，但，D选项错误.
故选：AC
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知且，下列各式中最大的是_____.(填序号)
①；②；③；④.
【答案】④
【详解】因为，所以，，，，
所以，，当时，
由基本不等式可知，所以，
由上可知，，，所以四个式子中最大．
故答案为：④.
【变式1】（多选）（2022秋·广东汕头·高一汕头市聿怀中学校考期中）若．且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【详解】，当且仅当时等号成立，
则或，
则，
即AB错误，D正确.
对于C选项，，C选项正确.
故选：CD
题型03由基本不等式证明不等关系
【典例1】（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知是实数.
(1)求证：，并指出等号成立的条件；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析，当且仅当，时，不等式等号成立
(2)4
【详解】（1）证明：因为
，
所以，
当且仅当，时，不等式中等号成立.
（2），
当且仅当，即或时，不等式中等号成立.
所以的最小值为4.
【典例2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知，.
(1)若，求的最大值；
(2)若，证明：.
【答案】(1)9
(2)证明见解析
【详解】（1）因为，所以.
，
当且仅当，，时，等号成立，
故的最大值为9.
（2）证明：因为，
所以，又，
解得，
当且仅当时，等号成立.
故.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，且.
求证：（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1），，，由于当且仅当，即时取等号，但，因此不能取等号，；
（2），，，当且仅当时取等号，但，因此不能取等号，.
题型04利用基本不等式求积的最大值
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数 的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵， ,
∴，
当且仅当 时，即时等号成立，
因此，函数,的最大值为,
故选：C．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习），的最大值为_________.
【答案】/
【详解】因为，所以，，由基本不等式可得
，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最大值为.
故答案为：.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为________.
【答案】
【详解】，，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：.
题型05利用基本不等式求和的最小值
【典例1】（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设，则的最小值为（ ）
A．5B．3C．4D．9
【答案】A
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为，
故选：A.
【典例2】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________．
【答案】3
【详解】因为，由基本不等式得：，
当且仅当，且，即时等号成立．
故答案为：3
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值为______
【答案】8
【详解】因为，且，所以，则，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为8．
故答案为:
题型06利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值
【典例1】（2022·高一课时练习）已知，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】令，则，
所以，当且仅当，即时取等号，所以的在最小值为.
故答案为：.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值；
（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.
【答案】（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时.
【详解】（1）∵，
∴，
当且仅当即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时；
（2）令，
将代入得：
，
∵，
∴，
当且仅当，
即，
即时，等号成立.
故函数的最小值为5，此时.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________.
【答案】9
【详解】因为，则，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
∴已知函数的最小值为9.
故答案为：9.
题型07利用基本不等式求条件等式求最值
【典例1】（2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．3B．1C．9D．
【答案】B
【详解】因为，变形得.
由题意，当且仅当，即时，等号成立．
故选：B.
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______.
【答案】3
【详解】因为，，，
所以，即；
因为，当且仅当时取到等号，
所以，
解得或（舍）
所以当时，有最小值3.
故答案为：3
【变式1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）若正数x，y满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【详解】因为正数x，y满足，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为
故选：B
题型08基本不等式中的恒成立问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【详解】，当且仅当时等号成立，
解得，即.
因为不等式恒成立，
所以，即，解得.
故选：B
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为、，由已知可得，
因为，当且仅当时等号成立，
故实数的取值范围为，
故选：D．
【典例3】（2023·高三课时练习）若对任意，恒成立，则的取值范围是_____．
【答案】
【详解】，
，当且仅当，即时等号成立，
.
故答案为：.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≤－2或m≥2B．m≤－4或m≥2
C．－2＜m＜4D．－2＜m＜2
【答案】D
【详解】∵x>0，y>0且，
当且仅当，即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得.
故选：D
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）对任意的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：，
即，
即
又
当且仅当“”，即“”时等号成立，
即，
故.
故选：C.
题型09基本不等式的应用
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润(单位：万元)与机器运转时间(单位：年)的关系为，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元.
【答案】.
【详解】每台机器运转年的年平均利润为，而，故，当且仅当时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为万元.
故答案为：
【典例2】（2023秋·内蒙古通辽·高一校联考期末）党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．
(1)设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；
(2)生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？
【答案】(1)，
(2)的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）．
【详解】（1）解：由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，
则，
，．
（2）解：由（1）可得，
，
当且仅当，即时等号成立，此时．
所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）．
【变式1】（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ）
A．1208平方米B．1448平方米C．1568平方米D．1698平方米
【答案】C
【详解】设米,，
则种植花卉区域的面积．
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
则，即当米，米时，
种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1568平方米,
故选：C
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）为了丰富全校师生的课后学习生活，共建和谐美好的校园文化，重庆十一中计划新建校园图书馆精品阅读区，该项目由图书陈列区（阴影部分）和四周休息区组成．图书陈列区的面积为，休息区的宽分别为2m和5m（如图所示）.当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为（ ）
A．20mB．50mC．mD．100m
【答案】B
【详解】设,则
所以阅读区的面积
当即时取等号，
当校园图书馆精品阅读区面积最小时，则图书陈列区的边长为，
故选：B.
题型10对钩函数
【典例1】（2023春·辽宁朝阳·高二北票市高级中学校考阶段练习）“”是“函数的最小值大于4”的（ ）．
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】解：若，则的最小值为；
若的最小值大于4，则，且，则，
故选：C．
【典例2】（2023·高三课时练习）设，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】设函数，则当时，单调递增，此时；
当时，单调递减，此时，
故，则的取值范围是，
故答案为：
【变式1】（2023秋·江西吉安·高一江西省万安中学校考期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．有最小值4B．有最大值4C．有最小值D．有最大值
【答案】D
【详解】解：，，
，
当且仅当，即时取等号，
有最大值.
故选：D．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数取得的最小值时，的值为___________．
【答案】4
【详解】.当且仅当，即时，
等号成立.故的最小值为6.
故答案为：4
题型11重点方法之凑配法
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．0C．4D．8
【答案】B
【详解】由得到，则，
，
当且仅当上式取等号，则的最大值为0.
故选：B.
【典例2】（2023·陕西榆林·统考三模）若不等式对恒成立，则的取值范围是__________，的最小值为__________．
【答案】
【详解】当时，不等式对不恒成立，不符合题意（舍去）；
当时，要使得对恒成立，
则满足，解得，所以实数的取值范围为.
因为，可得，所以，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．
故答案为：；.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）当时， 的最小值为10，则（ ）
A．1B．C．2D．4
【答案】A
【详解】当时
,
即，故.
故选:A.
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）已知，则的最小值为（ ）
A．－2B．0C．1D．
【答案】B
【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立．
故选：B．
题型12重点方法之换元法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若实数满足，则的最大值为___________.
【答案】
【详解】令，则，即，
所以，
当时，；
当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以.
所以的最大值为.
故答案为：.
【典例2】（2023·江西·高一宁冈中学校考阶段练习）的最大值为______.
【答案】
【详解】令，则，，
所以，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为.
故答案为：.
题型13重点方法之“1”的妙用法
【典例1】（2023春·湖南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】由已知可得，，所以.
又，
所以.
当且仅当，即，时，等号成立.
所以，的最小值是.
故选：C.
【典例2】（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）已知正数满足恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】B
【详解】由得，
于是，
当且仅当，且，，即，等号成立.
所以的最小值为.
故选：B．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）已知正数、满足，求的最小值为____________.
【答案】/
【详解】因为正数、满足，
所以
当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为，
故答案为：.
【变式1】（2023·海南海口·校联考模拟预测）若正实数，满足．则的最小值为（ ）
A．12B．25C．27D．36
【答案】C
【详解】解：因为，所以．
因为，所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以，的最小值为27．
故选：C
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数、满足，求的最小值为____________；
【答案】/
【详解】，
当且仅当，即时取等号，
的最小值为.
故答案为：.
题型14重点方法之消元法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为__________.
【答案】
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以
，
（当且仅当时取等号），
所以的最小值为，
故答案为：.
【典例2】（2023春·上海·高三上海市实验学校校考阶段练习）若正数，满足，则的最大值为__________．
【答案】
【详解】由，得，
则，解得，
则，
所以当，即时，取得最大值.
故答案为：.
【变式1】（2023·上海奉贤·校考模拟预测）已知，且，则的最小值为___________.
【答案】
【详解】因为，解得：，
则
当且仅当，时，“=”成立
故答案为：.
题型15易错题之忽视基本不等式中的“一正”
【典例1】（多选）（2023秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）下列关于使用基本不等式说法正确的是（ ）
A．由于，所以x＋＝x＋2＋－2≤－2－2＝－4
B．由于， 所以
C．由于，故最小值为2
D．由于，所以，故最大值为
【答案】AD
【详解】对于A，由于，所以，当时等号成立正确；
对于B，正具备，但不为定值，故错误；对于C，当且仅当时等号成立，但方程无解，最小值2取不到，故错误；对于D，一正，二定，三相等都具备，故正确.
故选：AD
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数 的最大值为________.
【答案】/
【详解】因为，则，
所以
≤，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：.
题型16易错题之忽视基本不等式中的“三相等”
【典例1】（2023·上海普陀·高一校考期中）下列不等式中等号可以取到的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；
对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；
对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；
对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.
故选：C.
【典例2】（2023·江西赣州·高三校联考期中）下列几个不等式中，不能取到等号的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】对A，当且仅当即等号成立；
对B，当且仅当即等号成立；
对C，当且仅当即时等号成立；
对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立．
故选：D．
题型17易错题之换元必换范围
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．
【答案】/
【详解】当时，不成立，所以.
由得.
因为，，所以，解得，即.
所以，
令，则，于是.
令，，则.
由对勾函数的图象知，在上单调递减，故.
所以，即的最大值为.故答案为：.
2.2基本不等式
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】因为，所以，当且仅当即时等号成立.
所以当时，函数有最小值4.
故选：C.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知正数满足 ，则的最大值（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为正数满足 ，
所以有，当且仅当时取等号，
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】由知，，所以，
当且仅当，即时等号成立，
又因为，所以，所以充分性成立；
由得，
所以即或，
所以必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选:C.
4．（2023秋·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期末）若两个正实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】C
【详解】∵，，，
∴，
当且仅当时取“＝”.
故选：C
5．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为，
由，得，
所以，
当且仅当时，等号成立.
故的最小值为.
故选：D
6．（2023·全国·高三专题练习）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【详解】由题意可得：该设备年平均费用，
∵，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以该设备年平均费用最少时的年限为9.
故选：C.
7．（2023春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期中）实数满足，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】 ，所以，当且仅当取等号；
故选：C.
8．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．D．9
【答案】C
【详解】依题意，
因为，所以，则
，
当且仅当，时，等号成立．
故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·高一专题练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】ABCD
【详解】A中，因为，由基本不等式可知成立；
B中，因为，所以，所以，所以成立；
C中，因为，由基本不等式可知成立；
D中，因为，由基本不等式可得成立.
故选：ABCD
10．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明.如图，在线段上任取一点（不含端点A，B），使得，过点作交以为直径，为圆心的半圆周于点，连接.下面不能由直接证明的不等式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】因为，，所以，
由题意得，，
由射影定理可得，，
由，得，当且仅当时取等号，A 正确，BCD 不正确．
故选：BCD．
三、填空题
11．（2023·全国·高三专题练习）已知（），则的最大值是________.
【答案】/1.5
【详解】因为，所以，
当且仅当，即时等号成立，故的最大值是.
故答案为：
12．（2023·高一单元测试）若，则的最大值是______．
【答案】
【详解】因为,
因为,所以,
所以,
当且仅当即时取得等号，
所以，
所以当时的最大值是，
故答案为: .
四、解答题
13．（2023·全国·高一专题练习）（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
【答案】（1）7；（2）.
【详解】（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为.
14．（2023·全国·高三专题练习）求下列函数的最值，已知，求的最小值；
【答案】
【详解】由题得，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为.
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，为正实数，且，则下列选项错误的是（ ）
A．的最大值为2B．的最小值为4
C．的最小值为3D．的最小值为
【答案】C
【详解】因为，为正实数，故，
当且仅当即时取等号，
解得，即，故的最大值为2，A正确；
由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，B正确；
，
当且仅当，即时取等号，C错误；
，
当且仅当即时取等号，
此时取得最小值，D正确．
故选：C．
2．（2023·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：由图知：，
在中，，
所以，即，
故选：C
3．（多选）（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）下列结论中，正确的是（ ）
A．若，，则的最小值为8
B．若，则函数的最小值为
C．已知正数a，b满足，则
D．已知，，且，则
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，，所以，，且，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故A正确；
对于B，若，则，则，则，当且仅当，即时取等号，所以函数的最大值为，故B错误．
对于C，因为正数a，b满足，所以，且，，所以，当且仅当时等号成立，故C正确.
对于D，∵，，且，∴，∴，∴，当且仅当取等号，故D正确.
故选：ACD．
4．（2023春·山东德州·高二校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为__________.
【答案】/1.125
【详解】因为，所以
，当且仅当，即最取到等号.
故答案为：.
5．（2023·全国·高一专题练习）为迎接四川省第十六届少数民族传统运动会，州民族体育场进行了改造翻新，在改造州民族体育场时需更新所有座椅，并要求座椅的使用年限为15年，已知每千套座椅建造成本是8万元，设每年的管理费用为万元与总座椅数千套，两者满足关系式：．15年的总维修费用为80万元，记为15年的总费用．（总费用=建造成本费用+使用管理费用+总维修费用）．请问当设置多少套座椅时，15年的总费用最小，并求出最小值．
【答案】千套时，取得最小值为180万元
【详解】由题意得：建造成本费用为，
使用管理费：，所以，
，
当且仅当时，即千套时，取得最小值为180万元．
6．（2023·全国·高三对口高考）（1）已知，求函数的最大值.
（2）已知，求函数的最大值.
【答案】（1）当时，函数取最大值，最大值为；
（2）当时，函数取最大值，最大值为.
【详解】（1）可化为，
由基本不等式可得，，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
所以当时，函数取最大值，最大值为；
（2）设，则，
因为，所以，
所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以当时，函数取最大值，最大值为.
C综合素养
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克B．小于克
C．大于等于克D．小于等于克
【答案】C
【详解】设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，，
则由杠杆原理得：，于是，
故，当且仅当时取等号.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值是（ ）
A．10B．12C．13D．14
【答案】A
【详解】令，
，当且仅当，即时取等号.
故选：A
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）北京时间年月日凌晨，瑞典哥德堡田径室内赛展开多个项目角逐，在男子米比赛中，“中国飞人”苏炳添以秒夺冠，取得新赛季开门红．本站赛事是苏炳添的个人新赛季首秀，岁的他是名参赛者中年龄最大的选手，与他同场竞技的还有年出生的选手，这极大地激励了学生对百米赛跑的热爱．甲、乙、丙三名学生同时参加了一次百米赛跑，所用时间（单位：秒）分别为、、．甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑；乙全程以速度奔跑；丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑．其中，．则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【详解】对于甲，因为甲有一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，另一半的时间以速度（单位：米/秒）奔跑，
则，所以．
对于乙，全程以速度奔跑，则，
对于丙，丙有一半的路程以速度奔跑，另一半的路程以速度奔跑，则．
由基本不等式可得，，
所以，，当且仅当时等号全部成立，
故，故A选项正确，B选项错误；
，故C选项正确；，
当且仅当时等号成立，故D选项错误．
故选：AC．
4．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为米．
(1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围．
【答案】(1)当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
(2)当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
【详解】（1）因为体育馆前墙长为米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米，
设甲工程队报价为元，
所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
因为，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
课程标准
学习目标
①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。
②利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。
通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单问题的证明.