中考数学几何专项练习：相似模型--平行线构造“A、X”型相似三角形

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一、单选题
1．如图，点分别在的边上，且，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（ ）

A．4B．6C．8D．10
3．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（ ）

A．B．C．D．
4．如图，在中，为上一点，连接，，且与相交于点，，则（ ）

A．B．C．D．
5．如下图，如果，若，，，则（ ）
A．6B．8C．9D．10
6．如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（ ）

A．B．C．D．
7．如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）

A．1B．C．2D．3
8．如图中，，点D，E分别是边，的中点，点G，F在边上，四边形是正方形． 若，则的长为 （ ）

A．2cmB．cmC．4cmD．8cm
二、填空题
9．如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结交于点F．若，则 ．

10．如图，矩形中，，E是上一点，与交于点F．则的长为 ．
11．如图，在矩形中，若，，，则的长为 ．
12．如图，与位似，位似中心为点O．已知，若的周长等于4，则的周长等于 ．
13．如图，，，交于点E，若，，则的长为 ．

14．如图，在中，点D，E分别在上，若，，，则的长为 ．
15．如图，点F在平行四边形的边上，延长交的延长线于点E，交于点O，若，则＝ ．
16．如图，在矩形中，若，，，则的长为 ．
17．如图，在中，D，E分别是边，的中点，，相交于点F，则 ．
18．如图，在矩形中，E、F分别为边的中点，与分别交于点P、Q．已知，，则的长为 ．
19．如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是 ．
20．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=3，BC=1． 点D在AB边上，点E在CB的延长线上，已知AD=1，BE=1，连接ED并延长交AC于点F，则线段AF的长为 .
21．如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一直线上，且，，分别交，，于，，，则的长为 ．
22．如图，线段AB，AC是两条绕点A可以自由旋转的线段（但点A，B，C始终不在同一条直线上），已知AB=5，AC=7，点D，E分别是AB，BC的中点，则四边形BEFD面积的最大值是 .
23．如图，中，，分别在边，上，，相交于点，，点为中点，则的值是 ．

24．如图，是的中线，点E在上，交于点F．若，则 ．
25．如图所示，在中，，、分别是、的中点，动点在射线上，交于，的平分线交于，当时， ．

26．如图矩形中，，点分别在边上，且，连与分别交于点．则 ．

27．如图，在矩形中，，E，F分别为，边的中点．动点P从点E出发沿向点A运动，同时，动点Q从点F出发沿向点C运动，连接，过点B作于点H，连接．若点P的速度是点Q的速度的2倍，在点P从点E运动至点A的过程中，线段长度的最小值为 ．

28．如图，为矩形的对角线，平分交于点，为边的中点，连接分别交，于点，．若，，则线段的长为 ．

29．在中，，，是中点，连接，过点作交于点，则 ．

30．如图，在中，，延长到点D，，点E是的中点，交于点F，则的面积为 ．

三、解答题
31．如图，在中，对角线和相交于点O，在的延长线上取一点E，连接交于点F，，求的长度．

32．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
证明：连接．

结论应用：
（1）如图②，在中，，，、分别是边、的中点，、相交于点．若，则 ．
（2）如图③，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．过点G作交AB于点F，如果的面积是9，那么的面积是 ．
33．已知：如图，在中，点，分别在，上，，点在边上，，与相交于点．

(1)求证：．
(2)当点为的中点时，求证：．
34．阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．

(1)特例感知：如图（1），已知边长为2的等边的重心为点，则的面积为______；
(2)性质探究：如图（2），已知的重心为点，对于任意形状的，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由；
(3)性质应用：如图（3），在任意矩形中，点是的中点，连接交对角线于点，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由．
35．如图，中，为边上的高，的平分线分别交于点F，E．

(1)求证：；
(2)若，求的面积；
(3)若，求的值．
36．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1
(1)求证：；
(2)求BD的长，
37．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，E、F是CD上的点．
（1）求证：△MEF∽△MBA；
（2）若AF、BE分别是∠DAB，∠CBA的平分线，求证：DF=EC．
38．如图，在中，点E在上，，和相交于点F，过点F作，交于点G．

(1)求的值．
(2)若，
①求证：．
②求证：．
39．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．
(1)求证：四边形为矩形．
(2)若菱形中，，，求的长．
40．在中，点，分别在边，上，连接，交于点，且，
(1)求证：：
(2)当为边的中点时，且，
①若，求；
②若为等腰直角三角形，且，求四边形的面积．
41．如图，四边形为边长为8的正方形，点为边中点，，分别为边，上两动点，于.
(1)求证：；
(2)若点为中点，连接并延长交于点，求的长．
42．如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

(1)求证：；
(2)点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．
43．如图，在中，为的中点，，与分别相交于点，．
(1)求的值；
(2)若，且，．求的长．
44．已知是等边三角形，是直线上的一点．
(1)问题背景：如图，点，分别在边，上，且，与交于点，求证：；
(2)点，分别在边，上，与交于点，且．
①尝试运用：如图，点在边上，且，求的值；
②类比拓展：如图3，点在的延长线上，且，直接写出的值．
45．[基础巩固]
(1)如图①，在中，，于点，求证：．
[尝试应用]
(2)如图②，在矩形中，，点在上，，于点，求的长．
[拓展提高]
(3)如图③，在矩形中，点在边上，与关于直线对称，点的对称点在边上，为中点，连接交于点，，若，求的长．
46．如图，矩形的对角线、相交于点，延长到点，使，连接，连接交于点，交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)求证：；
(3)若，，求线段的长度．
47．如图，在中，，，是线段上的一点，连接，过点作，分别交，于点，，与过点A且垂直于的直线相交于点，连接
(1)求证：
(2)若是的中点，求的值．
(3)若，求的值．
48．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材64页的部分内容．
如图，在中，D是边的四等分点， ，，，．求四边形的周长．
问题解决：请结合图1给出解题过程．
问题探究
（1）如图2，在中，D是边上的一点，过点D作，交于点F，过点D作，交于点E，延长至H，使，连接交于G．若．的面积为2，则的面积为______．
（2）如图3，在中，D是边上的一点，且，连接，E为上一点，连接交于点F，若F为的中点，的面积为m，则的面积为______（含m的代数式表示）．
49．探究题：
(1)特例感知：如图①，在中，，点D是边上的中点，，交的延长线于点E，，，则 度；的长为 ；
(2)数学思考：如图②，在中，，点D是边上的一点，且，，交的延长线于点E，，．求的度数和的长．
(3)拓展应用：如图③，在四边形中，，，对角线相交于点E，且，，．求的长．
50．如图1，在正方形中，是上一点，作，垂足为点，交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，延长交的延长线于点；
①如果是的中点，求的值；
②如果，求的长度．
51．如图，矩形中，．是边上一动点（不与点重合），延长到，使，，交于点，连接并延长交于点．
(1)若，求证：；
(2)探究：当点运动时，点的位置是否发生变化？请说明理由；
52．已知是等边三角形，D是直线上的一点．
(1)问题背景：如图1，点D，E分别在边，上，且，与交于点，求证：；
(2)点G，H分别在边，上，与交于点，且．
①尝试运用：如图2，点D在边上，且，求的值；
②类比拓展：如图3，点D在的延长线上，且，直接写出的值．
53．综合与探究
(1)如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，且，则线段与的之间的数量关系为______；
(2)【类比探究】如图2，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，请写出线段与的数量关系，并证明你的结论．
(3)【拓展延伸】如图3，在中，，，，D为上一点，且，连接，过点B作于点F，交于点E，求的长．
54．【教材呈现】如图是苏科版版数学教材第86页的部分内容．
(1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．
(2)【定理应用】如图②，四边形中，M、N、P分别为的中点，边延长线交于点E，，则______．
(3)如图③，在中，，，E、F分别为上一点，M、N分别为的中点．当时，______．
55．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
(1)如图①，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，，求证．
【类比探究】
(2)如图②，在矩形中，，，点是边上一点，连接，，且，求的值．
【拓展延伸】
(3)如图③，在中，，点在边上，连接，过点作于点，的延长线交边于点若，，，求的值．
56．请阅读下列材料，非完成相应的任务．
任务：
(1)请补充材料中剩余部分的解答过程．
(2)上述解题过程主要用的数学思想是______．（单选）
A．方程思想 B．转化思想 C．分类思想 D．整体思想
(3)请你换一种思路求的值，直接写出辅助线的作法即可．
57．如图①在中；、分别是边、的中点，、相交于点．

(1)结论应用：连接，结合图①，求证：．
(2)在平行四边形中，对角线、交于点，为边的中点、交于点．如图②，若平行四边形为菱形，，且，求的长．
(3)如图③，连接交于点，若四边形的面积为，求平行四边形的面积．
58．如图，在中，直线与边相交于点D，与边相交于点E，与线段延长线相交于点F．
(1)若，，求的值．
(2)若，，其中，求的值．
(3)请根据上述（1）（2）的结论，猜想= (直接写出答案，不需要证明)．
59．【模型启迪】
（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______；

【模型探索】
（2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：；
【模型应用】
（3）如图3，在(2)的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长．
60．阅读下面材料，完成以下两问：
数学课上，老师出示了这样一道题．如图，中，D为中点，且，M为中点，连接并延长交于N．探究线段之间的数量关系，并证明．
同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现线段之间存在某种数量关系”．
小强：“通过倍长不同的中线，可以得到不同的结论，但都是正确的”．
小伟：“通过构造、证明相似三角形、全等三角形，就可以将问题解决”．

(1)小伟在探索时，做法为：过B作交延长线于Q，构造．
请你按照他的做法，判断与之间的数量关系为：________
(2)如图（2）：延长至H，使，连接，则结论：是否成立？请说明理由；
(3)如图（3）,证明：．例2如图，在中，、分别是边、的中点，、相交于点．
求证：．
证明：连接．

猜想：如图，在中，点D、E分别是与的中点，根据画出的图形，可以猜想：

，且．
对此，我们可以用演绎推理给出证明．
利用辅助平行线求线段的比
三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条平行线被两条直线所截，截得的线段对应成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后再利用这两个定理加以解决．
举例：如图1，是的中线，，的延长线交于点F．
求的值．
下面是该题的部分解题过程：
解：如图2，过点D作交于点H．
∵是的中线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
…