甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高三数学上学期第三次诊断考试试题（Word版附解析）

这是一份甘肃省武威市凉州区2023-2024学年高三数学上学期第三次诊断考试试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的运算求解即可.
【详解】由解得：，得集合，
又，
，
从而.
故选:B．
2. 复数z满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出等式右侧复数的模，然后表示出复数z，再化简变形求得结果.
【详解】由已知，可得，∴.
故选：C．
3. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（ ）
A. 等腰三角形B. 等边三角形
C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理角化边整理可得.
【详解】由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.
故选：C
4. 函数在区间内的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，结合特殊值的求解进行判断即可.
【详解】，，则
故为偶函数，排除C、D；又时，，排除A
故选：B
5. 已知，则的最小值是（ ）
A. 1B. C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．
【详解】解：
，即且，
，当且仅当时取等号，
故选：
【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
6. 若，则等于（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据，利用诱导公式得到，再由，利用二倍角公式求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：A
7. 点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】动点在曲线，则找出曲线上某点的斜率与直线的斜率相等的点为距离最小的点，利用导数的几何意义即可
【详解】不妨设，定义域为：
对求导可得：
令
解得：（其中舍去）
当时，，则此时该点到直线的距离为最小
根据点到直线的距离公式可得：
解得：
故选：A
8. 定义在R上的偶函数满足：对任意的，都有，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数偶函数可得原不等式等价于，再根据单调性解不等式.
【详解】因为是偶函数，且在上单调递减，
所以不等式等价于，
即，
解得或，
所以满足的x的取值范围是．
故选：B．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. 方程的实根有三个
【答案】CD
【解析】
【分析】利用命题的定义，结合函数图象的性质求解即可.
【详解】对于A，当时，，
因为，所以，
所以，故A错误；
对于B，由反函数的性质可知，
由于与的图象关于对称，
且的图象恒在图象的下方，所以恒成立，
故B错误；
对于C，，，即恒成立，
故C正确；
对于D，与有且仅有三个交点，故D正确.
故选:CD.
10. 下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算.
【详解】A选项，，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：ABC
11. 若函数恰有两个零点，则实数a的取值可能是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】BCD
【解析】
【分析】分离参数，函数 有2个零点等价于在 时，
有两个解，判断函数 的图像即可.
【详解】函数 有2个零点等价于在 时，
直线 与 有2个交点，
，显然当 时， ，当 时， ，
即在x=1处， 取得最小值=1，
图像如下：
若与 有2个交点，则 ；
故选：BCD.
12. 若函数的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A. 是函数图象的一个对称中心
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数在区间上单调递增
D. 函数的图像可由的图象向左平移个单位得到
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意利用函数的图象求出函数解析式，结合正弦函数的性质，即可得出结论．
【详解】解：根据函数，的部分图像，
可得，结合五点法作图可得，，
故函数．
令，求得，可得，是函数图象的一个对称中心，故A正确；
令，求得，不是最值，可得不是函数图象的一条对称轴，故B错误；
在区间，上，，，函数没有单调性，故C错误；
由的图象向左平移个单位，可得的图象，故D正确，
故选：AD．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线与曲线相切，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】设切点为，根据导数的几何意义可推导得到，根据切点坐标同时满足直线与曲线方程可构造方程求得，代入可得结果.
详解】设直线与曲线相切于点，
由得：，，，
又，，解得：，
.
故答案为：.
14. 若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角的正余弦公式展开后，根据弦化切的思想求解.
【详解】因为，
所以．
故答案为：
15. △ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC的面积为，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】因本题求角，则△ABC的面积，整理得，代入计算．
【详解】由题意可得，则可得
∴
故答案为：．
16. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则不等式的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】
令，对其求导，由时，，可知，从而在上单调递减，由奇偶性，可得是定义域上的偶函数，从而可得出在上的单调性，再结合，可求出的解集.
【详解】由题意，令，则，
因为时，，则，
故在上单调递减，
又是定义在上的奇函数，所以，
所以，即是上的偶函数，
根据偶函数的对称性，可知在上单调递增，且，
所以时，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数，求导并结合当时，，可求出函数在上的单调性，再结合函数的奇偶性，可求出在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期；
（Ⅱ）若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为：，；；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先将函数整理，得到，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递增区间与最小正周期；
（Ⅱ）若选①，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；若选②，可得，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.
【详解】（Ⅰ）解：因为
．
所以函数的最小正周期；
因为函数的单调增区间为，，
所以，，
解得，，
所以函数的单调增区间为，；
（Ⅱ）解：若选择①
由题意可知，不等式有解，即；
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，且最大值为，
所以；
若选择②
由题意可知，不等式恒成立，即．
因为，所以．
故当，即时，取得最小值，且最小值为．
所以．
【点睛】思路点睛：
求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.
18. 如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3
（1）求△CBD的面积；
（2）求边AC的长.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求得，即可得出，再由面积公式即可求解；
（2）由正弦定理即可求解.
【详解】（1）在中，由余弦定理可得，
则，
；
（2）在中，由正弦定理得，
即，解得.
19. 已知公差不为零的等差数列的前n项和为，若,且成等比数列
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，若数列前n项和，证明.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前项和求出首项和公差,进而求出数列的通项公式;
(2)利用裂项相消法求和,求得
（Ⅰ）由题意知：
解，故数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
则
点睛：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，（2）裂项相消法求和，一般如等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.
20. 已知等比数列中，，且成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）当数列为正项数列时，若数列满足，记数列的前项和为，试比较与的大小．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据等比数列，，且成等差数列，利用“”求解；
（2）由（1）题得，则，利用分组求和得到=，再利用作差法比较与的大小．
【小问1详解】
解：记的公比为，
由可得，解得或，
又由，可得，即，
当时，可解得，此时有
当时，可解得，此时有
综上，数列的通项公式为或 .
【小问2详解】
由（1）知：，则，
从而，
，
由，
故．
21. 若函数，当时，函数有极值．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的极值点并求出函数的极值.
【答案】（1）
（2）当时，有极大值，当时，有极小值
【解析】
【分析】
(1)先对函数进行求导,然后根据,可求出的值,进而确定函数的解析式.
(2)根据(1)中解析式然后求导,然后令导函数等于0，求出的值,然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,确定出函数的单调性,进而得到函数的极值;
【详解】(1)因为，由题意知，解得 ，
所以所求的解析式为;
(2)由(1)可得，
令,得或,
则当或时,，在和单调递增；当时, ，在单调递减,
因此,当时,有极大值,
当时,有极小值;
所以当时，有极大值，当时，有极小值。
【点睛】本题考查运用函数的导函数，研究函数的极值和函数的单调性等相关的性质，在求函数的极值，一定需得出在极值点两旁的单调性是不一致的，属于基础题.
22. 已知函数，其中．
（1）讨论单调性；
（2）若，，求的最大值．
【答案】（1）当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）
【解析】
【分析】（1），讨论或判断的单调性；（2）由题意可得：对任意恒成立，即，通过导数求的最小值．
【小问1详解】
，
当时，当恒成立，在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
【小问2详解】
依题意得对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则，
令，则在上单调递增，
，
当时，，即；当时，，即，
在上单调递减，在上单调递增，
，
，故的最大值为．