福建省永安市第九中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份福建省永安市第九中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

完卷时间120分钟；满分150分
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．点关于坐标平面对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A．3B．C．3或D．3或4
3．平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
4．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．в．C．D．
5．在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（ ）
A．B．C．2D．3
8．设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．对于直线，下列说法正确的有（ ）
A．直线过点B．直线与直线垂直
C．直线的一个方向向量为D．直线的倾斜角为
10．下列说法正确的是（ ）
A．若是四面体的底面三角形的重心，则
B．在四面体中，若，则四点共面
C．已知平行六面体的棱长均为1，且，则对角线的长为
D．若向量，则称为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为（1，2，3），则在基底下的坐标为
11．已知曲线（，且），则下列结论正确的是（ ）
A．若曲线为椭圆或双曲线，则其焦点坐标为
B．若曲线是椭圆，则
C．若且，则曲线是双曲线
D．直线与曲线恒有两个交点
12．已知是抛物线的焦点，是上的两点，为原点，则（ ）
A．若，则的面积为
B．若垂直的准线于点，且，则四边形的周长为
C．若直线过点，则的最小值为1
D．若，则直线恒过定点
三、填空题：本大题共4小题，律小题5分，共20分．
13．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为______．
14．已知点在直线上，则的最小值为______．
15．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为______．
16．双曲线的左、右焦点分别为．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．的三个顶点为中点，求：
（1）边上的高所在直线的方程：
（2）中线所在直线的方程．
18．已知圆的圆心在直线上，且与轴相交于点和．
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程．
19．在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，．
（1）若的中点为，求证：平面；
（2）若与底面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
20．已知抛物线上一点到焦点的距离为4．
（1）求实数的值：（2）若过点的直线与抛物线交于两点，且，求直线的方程．
21．如图，在三棱锥中，为的中点．
（1）证明：平面：（2）若点在棱上，且二面角为，求的值．
22．已知椭圆的离心率是，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，且，求面积的最大值．
永安九中2023—2024学年第一学期期中考试
高二数学参考答案
一、单选题
8．由题意，得．设直线的方程为．将其代入，化简并整理，得．由，得．设，则，所以．因为是的中点，所以．由题意，知，所以．又，所以的面积．由已知条件知，所以，解得（满足，所以直线的斜率为．故选D．
二、多选题
9．解析：直线化成斜截式为，所以当时，，A对；直线的斜率为，倾斜角为，D错；直线的斜率为1，，所以两直线垂直，B对；直线的一个方向向量为，C错．故选：AB．
10．解析：A：令，又是底面三角形的重心，，成立，正确；
B：由，而，故四点不共面，错误；
C：如下图，，
，又
且棱长为，则，正确；
D：在基底下坐标为，则，故在基底下坐标为，正确．故选：ACD．
11．解析：若曲线表示椭圆，，则，即椭圆焦点在轴，则，得，此时焦点坐标为若曲线表示双曲线，由，得，此时双曲线的标准方程为，则，，
即焦点在轴，则，得，此时焦点坐标为，故A正确；若曲线表示椭圆，，则，故B正确；若曲线表示双曲线，由，得，故C错误；由得，得，得，即直线过定点，当曲线为双曲线时，，此时，当时，，此时，双曲线右顶点为，在点的右侧，此时直线不一定有两个交点，故D错误．故选：AB．
12．解析：对于选项A，设，由题意得，解得，所以，
从而，选项A正确；
对于选项B，由题意知，且垂直于轴，根据抛物线的定义可知．设与轴的交点为，易知，故，所以四边形的周长为，选项B错误；
对于选项C，若直线过点，则当轴时，最小，且最小值为1，选项C正确；
对于选项D，设直线，联立直线与抛物线方程得，则，所以，由可得，即，解得，故直线的方程为，即直线恒过定点，选项D正确．故选：ACD．
三、填空题
13．解析：根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，
解得，即实数的取值范围为．故答案为：
14．解析：可以理解为点到点的距离，又点在直线上，的最小值等于点到直线的距离，且．
15．解析：由题意知，．设双曲线的右焦点为，由是双曲线右支上的点，则，则，当且仅当三点共线时，等号成立．又，则．所以，的最小值为．
16．解析：如下图，垂直一条渐近线，则，
过作，故，又，又在中，故，由双曲线定义知：，则．
四、解答题
17．（1）．（2）．
解：边斜率，故边上的高线的斜率，故边上的高线所在直线的方程为，即．
（2）解：的中点，中线所在直线的斜率为，故边上的中线所在直线的方程为，即．
18．（1）．（2）
（1）由题设，中点为，则圆心在直线上，联立，可得圆心为，圆的半径为，
综上，圆的标准方程：．
（2）在圆外，
当直线斜率不存在时，直线方程为，则，显然符合题设；
当直线斜率存在时，设为，联立圆可得：
，若，则，，，可得：．
此时，直线，即．
综上，符合条件的直线有2条，分别为、．
19．（1）如图，取的中点，连接分别为的中点，
且且四边形是平行四边形，平面平面平面．
（2）若是中点，作，由底面为直角梯形且，，由侧面底面，面面面在面的投影在直线上，又与底面所成的角为，与底面所成角的平面角，则为等边三角形．以为原点，为轴建空间直角坐标系，如下图示：
，则，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设平面与平面的夹角为，则，
平面与平面的夹角的余弦值为．
20．（1）（2）或
（1）由抛物线的几何性质知：到焦点的距离等于到准线的距离，，解得：；
（2）由（1）知抛物线，则焦点坐标为，显然直线斜率不为0，设直线为：联立直线与抛物线方程：，得：，则，则所以，
解得，所以直线为：或；
综上，，直线为：或．
21．（1）在中，为的中点．则中线，且；同理在中有，则；因为为的中点．所以且；在中有，则，因为，平面，所以平面．
（2）由（1）得平面，故建立如图所示空间直角坐标系，
则，设，则，
而，，
设平面的一个法向量为，由得，，令，
又轴所在直线垂直于平面取平面的一个法向量，，平方得，令，．
22．（1）由题知，解得椭圆的标准方程为．
（2）当轴时，位于轴上，且，由可得，此时；
当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，
由，得．得，
从而已知，可得．
设到直线的距离为，则，结合化简得
此时的面积最大，最大值为2．当且仅当即时取等号，综上，的面积的最大值为2．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
B
A
C
C
D
D
D
9
10
11
12
AB
ACD
AB
ACD
13
14
15
16
2