专题09 整式十大经典题型-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版）

这是一份专题09 整式十大经典题型-2023-2024学年七年级数学上册重难热点提升精讲与实战训练（人教版），文件包含专题09整式十大经典题型原卷版docx、专题09整式十大经典题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。


一、用字母表示数（代数式必备基本技能）
1．粗心的小倩在放学回家后，发现把数学练习册忘在教室了，担心教室关门，于是她跑步到学校取了练习册，再步行回家（取书时间忽略不计）．已知跑步速度为x，步行速度为y，则她往返一趟的平均速度是（ ）
A．xB．yC．x+y2D．2xyx+y
【答案】D
【详解】设从学校到家路程为s，
平均速度是：2s÷sx+sy=2s÷syxy+sxxy
=2s÷sx+yxy=2xyx+y；
故选：D．
2．一个两位数的个位上的数字是1，十位上的数字比个位上的数字大a，则这个两位数是 ．
【答案】10a+11
【详解】∵个位数是1，十位数比个位数大a
∴十位数是1+a
∴这个两位数为：10(a+1)+1=10a+11
故答案为：10a+11
3．设n为自然数，则奇数表示为 ，能被5整除的数为 ，被4除余3的数为 ．
【答案】 2n+1或2n－1 5n 4n+3
【详解】因为偶数中含有2这个因数，则偶数可以表示为2n，偶数2n的前一位或后一位都是奇数，则奇数可以表示为2n+1或2n－1；能被5整除的数必含5这个因数，则能被5整除的数可表示为5n；能被4除余3的数可表示为4n+3.
故答案为2n+1或2n－1；5n；4n+3.
4．某大型超市从生产基地以每千克a元的价格购进一种水果m千克，运输过程中重量损失了10%，超市在进价的基础上增加了30%作为售价，假定不计超市其他费用，那么售完这种水果，超市获得的利润是 元(用含m、a的代数式表示)
【答案】0.17am
【详解】由题意可得，
超市获得的利润是：a(1+30%)×[m(1﹣10%)]﹣am＝0.17am(元)，
故答案为0.17am．
二、列代数式（注意括号的灵活运用）
5．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图所示．

仿照前三个图，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图所示，若这个两位数的个位数字为x，则这个两位数为（ ）（用含x的代数式表示）．
A．11xB．x+50C．−x+50D．10x+5
【答案】B
【详解】由前三个图可知：表格中倒数第二行的数字是十位数字与个位数字的乘积的2倍，
设所求的数字的十位数字为a，
则2ax=10x，
解得：a=5，
∴这个两位数为5×10+x=x+50，
故选: B．
6．“a的2倍与b的3倍的差”用代数式表示为 ．
【答案】2a−3b
【详解】解：a的2倍与b的3倍的差用代数式表示为2a−3b，
故答案为：2a−3b．
7．某企业今年1月份产值为a万元，2月份比1月份减少了10%，3月份又开始了回暖，已知3，4月份平均月增长率为10%，则4月份的产值是（ ）
A．a−10%a+20%万元B．a1−10%1+10%2万元
C．a1−10%1+20%万元D．a1+10%万元
【答案】B
【详解】解：1月份的产值是a万元，
则：2月份的产值是1−10%a万元，
∵3，4月份平均月增长率为10%，
∴4月份的产值是a1−10%1+10%2万元，
故选：B．
8．已知轮船在静水中的速度为akm/h，水流速度为bkm/ha>b，甲、乙两地的航程为skm，船从甲地顺流而下到乙地需多少时间？从乙地返回甲地需多少时间？
【答案】船从甲地顺流而下到乙地需要sa+bh；从乙地返回甲地需要sa−bh
【详解】解：船顺流而下的速度为a+bkm/h，
∴船从甲地顺流而下到乙地需要sa+bh；
船逆流而上的速度为a−bkm/h，
∴船从乙地返回甲地需要sa−bh．
三、数形结合-列代数式表示图形的周长或面积
9．如图，某长方形广场四角均设计一块半径为r的四分之一圆形的花坛，正中是一个半径为r的圆形喷水池，广场长为a，宽为b，则广场空地面积为（ ）

A．ab−πr2B．ab−32πr2C．abD．ab−2πr2
【答案】D
【详解】解：广场的面积为ab，
草地的面积为：πr2，
喷水池的面积为：πr2，
则广场空地面积为：ab−πr2−πr2=ab−2πr2，
故选：D．
10．写出代数式：
(1)用代数式表示：x平方的倒数减去12的差；
(2)1千克桔子价格为a元，小明买了10千克桔子，用字母a表示小明买的桔子的总钱数；
(3)x与y的47的和；
(4)比a与b的差的一半小2；
(5)a、b的倒数的差与a、b的倒数和的积的2倍；
(6)a的2倍与b平方的差；
(7)a与b平方的2倍的差．
【答案】(1)1x2−12
(2)10a
(3)x+47y
(4)12（a−b)−2；
(5)2(1a−1b)(1a+1b)
(6)2a−b2；
(7)a−2b2
【详解】（1）解：x平方的倒数减去12的差；可表示为1x2−12；
（2）1千克桔子价格为a元，小明买了10千克桔子，用字母a表示小明买的桔子的总钱数；可表示为：10a；
（3）x与y的47的和；可表示为：x+47y；
（4）比a与b的差的一半小2；可表示为：12（a−b)−2；
（5）a、b的倒数的差与a、b的倒数和的积的2倍；可表示为：2(1a−1b)(1a+1b)；
（6）a的2倍与b平方的差；可表示为：2a−b2；
（7）a与b平方的2倍的差；可表示为：a−2b2．
11．某房间窗户如图所示．其中上方的装饰物由两个四分之一圆和一个半圆组成（它们的半径相同）．
（1）装饰物所占的面积是多少？
（2）窗户中能射进阳光的部分的面积是多少？
【答案】（1）装饰物所占的面积为πa24；（2）窗户中能射进阳光的部分的面积是ab−πa216．
【详解】（1）装饰物的面积正好等于一个半径为a4的圆的面积＝πa216；
（2）窗户中能射进阳光的部分的面积是ab−πa216．
12．如图，图中残留部分墙面的面积为 ．

【答案】12x
【详解】解：由题意可知：
图中墙面从上到下，第一行墙面面积为3x+2×12x=4x；
第二行墙面面积为3x；
第三行墙面面积为x+2×12x=2x；
第四行墙面面积为3x；
∴图中残留部分墙面的面积为4x+3x+2x+3x=12x，
故答案为：12x.
13．如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为 ．

【答案】8a+2b
【详解】解：根据题意，得该纸盒的容积为4a2b，
∴纸盒底部长方形的宽为4a2bab=4a，
∴纸盒底部长方形的周长为2(4a+b)=8a+2b，
故答案为：8a+2b.
四、规律类-超级重难点，压轴必会
14．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的黑白两种颜色的小正方形组成的．按照这样的规律，第8个图案中有黑色小正方形（ ）

A．31个B．32个C．33个D．34个
【答案】C
【详解】解：第一个图案中的黑色小正方形有：4×1+1=5（个），
第二个图案中的黑色小正方形有：4×2+1=9（个），
第三个图案中的黑色小正方形有：4×3+1=13（个），
……，
第n个图案中的黑色小正方形有：4n+1（个），
∴第8个图案中的黑色小正方形有：4×8+1=33（个）．
故选：C．
15．观察下列等式，探究其中的规律并回答问题：
1+8=32，
1+8+16=52，
1+8+16+24=72，
1+8+16+24+32=k2，
……
（1）第4个等式中正整数k的值是 ；
（2）第5个等式是： ；
（3）第n个等式是： （其中n是正整数）．
【答案】 9 1+8+16+24+32+40=112 1+8+16+⋅⋅⋅+8n=2n+12
【详解】解：（1）k2=1+8+16+24+32=81，
∴k=9或k=−9（舍去），
故答案为：9；
（2）第5个等式是1+8+16+24+32+40=112，
故答案为：1+8+16+24+32+40=112；
（3）第n个等式是：1+8+16+24+32+⋅⋅⋅+8n=(2n+1)2，
故答案为：1+8+16+24+32+⋅⋅⋅+8n=2n+12．
16．如图，每个图案均由边长为1个单位长度的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律第30个图案共有 个小正方形．

【答案】900
【详解】解：第1个图案中共有1个小正方形，
第2个图案中共有1+3=4=22个小正方形，
第3个图案中共有1+3+5=9=32个小正方形，
…，
第n个图案中共有1+3+5+…+2n−1=n2个小正方形，
所以，第30个图案中共有302=900个小正方形．
故答案为：900．
17．如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“L”型图形，观察图形：

(1)图1010中小正方形的数量是________个；图2023的周长是________个单位长度；
(2)若图1中小正方形个数记作a1，图2中小正方形个数记作a2，…，图n中小正方形个数记作an，则a1+a2+⋯+an=________个（用含n的代数式表示）．
【答案】(1)2023；8099
(2)n2
【详解】（1）解：图1中小正方形的数量是：3×2−1=5（个）
图2中小正方形的数量是：4×2−1=7（个）
图3中小正方形的数量是：5×2−1=9（个）
…
图n中小正方形的数量是：2×n+2−1个
故图1010中小正方形的数量是：2×1010+2−1=2023（个）
图1的周长比边长为3的正方形的周长少1，即3×4−1=11（个）单位长度
图2的周长比边长为4的正方形的周长少1，即4×4−1=15（个）单位长度
图3的周长比边长为5的正方形的周长少1，即5×4−1=19（个）单位长度
…
图n的周长比边长为n+2的正方形的周长少1，即4n+2−1=(4n+7)个单位长度
故图2023的周长是4×2023+7=8099(个)单位长度
故答案为：2023；8099
（2）解：由（1）知：a1=3×2−1,a2=4×2−1,a3=5×2−1,...,an=2×n+2−1
∴a1+a2+⋯+an=3×2−1+4×2−1+5×2−1+...+2×n+2−1
=3×2+4×2+5×2+...+n+2×2−n
=2×3+4+5++1+n+2−n
=2×1+2+3+4+5+...+n−n
=2×nn+12−n
=n2
故答案为：n2
18．我国著名数学家华罗庚先生说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合的思想方法是数学学习中的重要思想方法之一．
【规律探索】用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按下图方式拼成长方形：

第（1）个图形中有2张正方形纸片：
第（2）个图形中有21+2=2+4=6张正方形纸片；
第（3）个图形中有21+2+3=2+4+6=12张正方形纸片；
第（4）个图形中有21+2+3+4=2+4+6+8=20张正方形纸片；
．．．．．．
请你观察上述图形与算式，完成下列问题：
【规律归纳】
（1）第（7）个图形中有______张正方形纸片（直接写出结果）；
（2）根据前面的发现我们可以猜想：2+4+6+…+2n=______（用含n的代数式表示）；
规律应用】
（3）根据你的发现计算：
①2+4+6+…+200
②202+204+206+…+600
【答案】（1）56；（2）n(n+1)；（3）①10100；②80200
【详解】解：（1）由题意观察可得：2×(1+2+3+4+5+6+7)=56，
故答案为56；
（2）2+4+6+…+2n
=2×(1+2+3+…+n)
=2×(1+n)×n÷2
=n(n+1)
故答案为n(n+1)；
（3）①2+4+6+⋅⋅⋅+200
=2×(1+2+3+…+100)
=100×(100+1)
=10100
②原式=202+204+206+⋅⋅⋅+600+2+4+6+⋅⋅⋅+200−2+4+6+⋅⋅⋅+200
=2+4+6+⋅⋅⋅+600−2+4+6+⋅⋅⋅+200
=300×301−100×101
=80200
五、代数式的规范书写
19．下列代数式书写规范的是（ ）
A．2x2y B．2m÷n C． a×5 D．123a
【答案】A
【详解】解：A、2x2y符合代数式书写规范，故该选项是正确的；
B、正确的书写格式是2mn，不符合要求，故该选项是错误的；
C、正确的书写格式是5a，不符合要求，故该选项是错误的；
D、正确的书写格式是53a，不符合要求，故该选项是错误的；
故选：A．
20．下列式子中符合书写要求的是（ ）
A．−52aB．413mC．x÷yD．ab4
【答案】A
【详解】A、−52a书写符合要求，故本选项符合题意；
B、413m书写不符合要求应写为133m，故本选项不符合题意；
C、x÷y书写不符合要求应写为xy，故本选项不符合题意；
D、ab4书写不符合要求应写为4ab，故本选项不符合题意；
故选：A．
21．下列说法正确的有（ ）个．
①在一个数前面添加一个“−”号，就变成原数的相反数；
②在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂；
③代数式a−b÷c，不符合代数式的书写要求；
④m是单项式，它既没有系数，也没有次数．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】解：①在一个数前面添加一个“−”号，就变成原数的相反数，原说法正确；
②在an中，a叫做底数，n叫做指数，an读作a的n次方，an看作是a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂，原说法正确；
③代数式a−b÷c，不符合代数式的书写要求，正确的书写是a−bc，原说法错误；
④m是单项式，它的系数是1，次数也是1，原说法错误，
∴说法正确的有①②，共2个，
故选B．
22．下列各式：①113x②2000x③4−b÷c ④m2−n26 ⑤x−y千克 ，不符合代数式书写要求的是（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】C
【详解】解：①113x=43x，不符合要求；
②20％x，符合要求；
③4−b÷c=4−bc ，不符合要求；
④m2−n26符合要求；
⑤x−y千克=(x−y) 千克，不符合要求；
因此有3个书写不符合要求，
故选：C．
六、单多项式的系数、次数、项数
23．关于多项式0.3x2y−2x3y2−3xy3+1，下列说法错误的是（ ）
A．这个多项式是五次四项式B．常数项是1
C．按y降幂排列为−3xy3−2x3y2+0.3x2y+1D．四次项的系数是3
【答案】D
【详解】解：A、这个多项式是五次四项式，故此项不符合题意；
B、常数项是1，故此项不符合题意；
C、按y降幂排列为−3xy3−2x3y2+0.3x2y+1，故此不项符合题意；
D、四次项的系数是−3，故此项符合题意；
故选：D．
24．下列说法：①−a表示负数；②0. 050精确到百分位；③−3πxy5的系数是−3π5；④a2+2ab+1是四次三项式；⑤若x=x，则x>0；⑥a−b和xy2都是整式，错误的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【详解】解：①∵ −a可表示正数、负数或0，∴语句①错误；②∵ 0. 050精确到千分位，∴语句②错误；③∵ −3πxy5的系数是−3π5，∴语句③正确；④∵ a2+2ab+1是二次三项式，∴语句④错误；⑤∵若x=x，则x≥0，∴语句⑤错误；⑥∵ a−b和xy2都是整式，∴语句⑥正确．
故选：C．
25．多项式3x2y−xy+7的二次项系数是 ．
【答案】−1
【详解】解：多项式3x2y−xy+7有三项，分别是3x2y,−xy,7三项，其中二次项是−xy，
所以多项式3x2y−xy+7的二次项系数是-1．
26．下列叙述：①x+1x是一次二项式；②−xy的系数为1．次数为2；③0是代数式；④多项式3x2y+3xy−12y2有三项，即3x2y、3xy和−12y2．其中正确的是 ．（填序号）
【答案】③④
【详解】解：①x+1x，分母含未知数，不是多项式，故说法错误；
②−xy的系数为−1，次数为2，故说法错误；
③0是代数式，说法正确；
④多项式3x2y+3xy−12y2有三项，即3x2y、3xy和−12y2，故说法正确；
故答案为：③④．
27．若−3xmyn（m，n为非负整数）是含有字母x和y的五次单项式，求mn的最大值．
【答案】9
【详解】解：∵−3xmyn是含有字母x和y的五次单项式，
∴m+n=5，m≠0，n≠0，
∴m=1，n=4时，mn=14=1；
m=2，n=3时，mn=23=8；
m=3，n=2时，mn=32=9；
m=4，n=1时，mn=41=4，
∴mn的最大值为9．
28．已知多项式−3x2ym+1+xny−3xn+1−1是五次四项式，最高次项的系数为−3，且单项式3x2ny3−m与该多项式的次数相同，求三次项系数．
【答案】1和−3
【详解】解：∵多项式−3x2ym+1+xny−3xn+1−1是五次四项式，最高次项的系数为−3，
∴ m+1+2=5或n+1=5，
解得：m=2或n=4，
∵单项式3x2ny3−m与该多项式的次数相同，
∴ 2n+3−m=5，
把m=2代入得：2n+3−2=5，
解得：n=2，
∴m=2，n=2，
∴多项式为−3x2y3+x2y−3x3−1，
∴三次项系数为1和−3．
七、写出满足某种特征的单多项式
29．观察下面的一列单项式：−x，2x2，−4x3，8x4，−16x5，…根据你发现的规律，第8个单项式为 ，第n个单项式为 ．
【答案】 128x8 (−1)n2n−1xn
【详解】解：由系数及字母两部分分析的规律：
①系数：−1,2,−4,8,−16⋯，得系数规律为−1n2n−1，
②字母及其指数：x,x2,x3,x4,x5⋯，得到字母规律为xn，
综合起来规律为−1n2n−1xn，
∴第8个单项式是27x8=128x8，第n个单项式为−1n2n−1xn，
故答案为：128x8，−1n2n−1xn．
30．写出系数为-1，含有字母x、y的四次单项式 ．
【答案】−x3y
【详解】解：系数为-1，含有字母x、y的四次单项式为：−x3y．
故答案为：−x3y．
31．任意写出一个含有字母m，n的三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为-8的式子为 ．
【答案】6m3−2mn+n2−8（答案不唯一）
【详解】解：∵一个含有字母m,n三次四项式，其中最高次项的系数为6，常数项为−8，
此多项式是：6m3−2mn+n2−8．
故答案是：6m3−2mn+n2−8．
八、多项式系数、指数中字母求值
32．已知关于x的多项式(m−4)x|m|−2−3x+1是二次三项式，则m= ，当x=−1时，该多项式的值为 ．
【答案】 −4 −4
【详解】解：∵关于x的多项式(m−4)x|m|−2−3x+1是二次三项式，
∴m−2=2，且m−4≠0．
∴m=−4．
∴关于x的多项式(m−4)x|m|−2−3x+1为−8x2−3x+1．
当x=−1时，
原式=−8×（−1）2−3×（−1）+1
=−8×1+3+1
=−8+3+1
=−4．
故答案为：①−4，②−4．
33．若多项式4x2y|m|−(m−1)y2+1是关于x，y的三次三项式，则常数m= ．
【答案】−1
【详解】解：∵多项式4x2y|m|−(m−1)y2+1是关于x，y的三次三项式，
∴2+|m|=3，m−1≠0，
解得：m=−1．
故答案为：−1．
34．若多项式n−2xm+2−n−1x5−m+6是关于x的三次多项式，则多项式m+n的值为 ．
【答案】2或4/4或2
【详解】解：∵多项式n−2xm+2−n−1x5−m+6是关于x的三次多项式，
当m+2=3n−2≠0时，m=1，5−m=4，则n−1=0，
∴n=1
∴m+n=2；
当5−m=3n−1≠0，m=2，m+2=4，则n−2=0，
∴n=2，
∴m+n=4；
故答案为：2或4．
九、将多项式按某个字母升幂（降幂）排列
35．把多项式−x2y+2xy2+y3+x3按x的降幂排列可写成 ．
【答案】x3−x2y+2xy2+y3
【详解】按字母按x的降幂排列，
x3−x2y+2xy2+y3，
故答案为：x3−x2y+2xy2+y3．
36．把多项式−xy3+4x2y4−3x4y−7+3x3y2按x的指数从大到小排列为 .
【答案】−3x4y+3x3y2+4x2y4−xy3−7
【详解】解：−xy3+4x2y4−3x4y−7+3x3y2按x的指数从大到小排列为：−3x4y+3x3y2+4x2y4−xy3−7．
故答案为：−3x4y+3x3y2+4x2y4−xy3−7．
37．多项式a3b - a2+3ab2－4a5+3是 次 项式，按a的降幂排列的结果 ．
【答案】 五 五 -4a5+a3b-a2+3ab2+3
【详解】解：原多项式的最高次项是-4a5，次数是5次，一共有5项，因此是五项式；
∵a3b次数是4，3ab2次数是3，-a2次数是2，
∴按a的降幂排列的结果：−4a5+a3b−a2+3ab2+3；
故答案为：五、五、−4a5+a3b−a2+3ab2+3．
十、整式的判断
38．将下列代数式的序号填入相应的横线上．
①a2b+ab2+b3；②a+b2；③−xy23；④0；⑤−x+y3；⑥2xya；⑦3x2+2y；⑧2x；⑨x2．
（1）单项式： ；
（2）多项式： ；
（3）整式： ；
（4）二项式： ．
【答案】 ③④⑨ ①②⑤ ①②③④⑤⑨ ②⑤
【详解】（1）单项式有：③−xy23，④0，⑨x2；
（2）多项式有：①a2b+ab2+b3，②a+b2，⑤−x+y3；
（3）整式有：①a2b+ab2+b3，②a+b2，③−xy23，④0，⑤−x+y3，⑨x2；
（4）二项式有：②a+b2，⑤−x+y3；
故答案为：（1）③④⑨；（2）①②⑤；（3）①②③④⑤⑨；（4）②⑤
39．在①1－a；②x＋12；③2x＋1；④－38x2y3；⑤qp＋1；⑥x＋1x＋2＝0中， 是整式.（填写序号）
【答案】①②④.
【详解】在①1－a；②x＋12；③2x＋1；④－38x2y3；⑤qp＋1；⑥(x＋1)(x＋2)＝0中，整式有：①1－a；②x＋12；④－38x2y3.
故答案为①②④.