福建省永安市第九中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份福建省永安市第九中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
完卷时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知幂函数的图像过点，则对的表述正确的有（ ）
A．是奇函数，在上是减函数B．是奇函数，在上是增函数
C．是偶函数，在上是减函数D．是偶函数，在上是减函数
4.设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C．D．
5．“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
6.函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
7．函数部分图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
8．函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（共4小题，每小题5分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．下列命题中正确的是（ ）
A．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立
B．若a≠0，则a＋≥2 ＝4
C．若a，b∈R，则ab≤
D．若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64
11．下列说法正确的是（ ）
A．若是奇函数，则一定有
B．函数在定义域内是减函数
C．若的定义域为，则的定义域为
D．函数的值域为
12．对于定义在D函数若满足：
①对任意的，；
②对任意的，存在，使得．
则称函数为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（ ）．
A．B．
C．D．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．函数，且的图象恒过定点__________ .
14．“”为真命题，则实数的最大值为 .
15．若函数在上为增函数，则取值范围为_____.
16．已知函数且在上恒成立，则实数a的取值范围是___________.
四、解答题（共70分）
17．（1）计算：.
（2）已知且，求的值；
18．已知集合U为全体实数，或，.
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围.
19．设命题实数x满足，其中，命题实数x满足.
(1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；
(2)若P是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
20．（1）已知二次函数，且满足，，求的表达式；
（2）已知是一次函数，且，求的表达式.
21．已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，不需要证明；
(3)解关于的不等式：.
22．已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性并用定义证明；
(3)设，求在上的最小值.
永安九中2023-2024学年上学期期中考试及部分科目模块考试
高一数学
完卷时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】解不等式确定集合，然后由交集定义计算．
【详解】由题意或，，所以
故选：B．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，然后直接判断作答.
【详解】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“，”的否定是“，”.
故选：A
3．已知幂函数的图像过点，则对的表述正确的有（ ）
A．是奇函数，在上是减函数B．是奇函数，在上是增函数
C．是偶函数，在上是减函数D．是偶函数，在上是减函数
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义求解出函数的解析式，再根据解析式分析函数的奇偶性和单调性可得出答案.
【详解】依题意可设，
则，解得，所以，
故是偶函数，且在上是增函数，在上是减函数．
故选：C.
4.设，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】由指数函数的单调性比较
【详解】，，所以，而，
所以
故选：D
5．“不等式在R上恒成立”的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次不等式恒成立求出充要条件，再由充分不必要条件的概念求出选项.
【详解】不等式在R上恒成立，即，
对A，“”无法推出“”，反之“”也无法推出“”，
故“” 是不等式在R上恒成立的既不充分也不必要条件，故A错误；
对B，“”无法推出“”，反之，“”可以推出“”，
故“”是不等式在R上恒成立的必要不充分条件，故C错误，
对C，，但“”不能推出“”成立，
故是不等式在R上恒成立的充分不必要条件，故C正确，
对D，显然是充要条件，故D错误，
故选：C.
6.函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，进而解出即可得到答案.
【详解】令.
故选：A.
7．函数部分图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，然后再由的解及解的个数判断.
【详解】因为函数的定义域为R，又，
所以函数是偶函数，排除AD，
令，得，且只有一个解，排除C，
故选：B
8．函数的定义域为R，对任意的，有，且函数为偶函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由条件有在上单调递减，函数为偶函数，则的图像关于直线对称，由对称性和单调性可得的大小关系.
【详解】对任意的，有,
即对任意的,设，都有，
所以在上单调递减.
又函数为偶函数，即.
则的图像关于直线对称.
所以, 则.
故选：B.
【点睛】本题考查函数单调性的定义及其应用，考查函数的奇偶性和对称性，属于中档题.
二、多选题（共4小题，每小题5分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）
9．下列各组函数不是同一个函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】BCD
【分析】利用相同函数的意义，逐项分析判断作答.
【详解】对于A，两个函数定义域都为R，对应法则相同，只是表示自变量的符号不同，A是同一函数；
对于B，函数定义域为R，定义域为非零实数集，B不是同一函数；
对于C，函数定义域为，而定义域为，C不是同一函数；
对于D，函数定义域为R，定义域为非零实数集，D不是同一函数.
故选：BCD
10．下列命题中正确的是（ ）
A．对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab、a＋b≥2均成立
B．若a≠0，则a＋≥2 ＝4
C．若a，b∈R，则ab≤
D．若a>0，b>0，且a＋b＝16，则ab≤64
【答案】CD
【分析】根据重要不等式和基本不等式的成立条件判断选项的正误.
【详解】对于A，当，时，才能成立，A错误；
对于B，当时才能使用基本不等式求最小值，B错误；
对于C，因为，所以，即，C正确；
对于D，，，所以，D正确.
故选：CD.
11．下列说法正确的是（ ）
A．若是奇函数，则一定有
B．函数在定义域内是减函数
C．若的定义域为，则的定义域为
D．函数的值域为
【答案】CD
【分析】举例说明判断A；求出函数单调区间判断B；求出复合函数的定义域判断C；利用单调性求出函数值域判断D作答.
【详解】对于A，函数是奇函数，当时，函数值不存在，A不正确；
对于B，函数定义域为，在上都递减，在定义域上不单调，B不正确；
对于C，因为定义域为，则在中，由得：，
所以的定义域为，C正确；
对于D，函数的定义域为，且在上单调递增，
于是得时，，所以函数的值域为，D正确.
故选：CD
12．对于定义在D函数若满足：
①对任意的，；
②对任意的，存在，使得．
则称函数为“等均值函数”，则下列函数为“等均值函数”的为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据已知“等均值函数”的定义，逐项分析验证所给函数是否满足所给的两个条件，即可判断答案.
【详解】对于定义域为R，满足，满足，
对任意的，存在，使得,故A正确；
对于，
若，则，则 ，
若，则，则 ，即满足①；
对任意的，存在，使得，
对任意的，存在，使得，
即满足②，故B正确；
对于，定义域为，
对任意的，都有成立，满足①；
对任意的，存在，
使得，即满足②，故C正确；
对于，定义域为，
当时，，故对任意的，不成立，故D错误，
故选：ABC
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．函数，且的图象恒过定点__________ .
【答案】
【分析】根据指数函数恒过的定点，结合目标函数解析式，即可求得结果.
【详解】令，解得，又当时，，
故函数，且的图象恒过定点.
故答案为：.
14．“”为真命题，则实数的最大值为 .
【答案】
【分析】由可求出结果.
【详解】因为“”为真命题，
所以，即.
所以实数的最大值为.
故答案为：
15．若函数在上为增函数，则取值范围为_____.
【答案】
【详解】函数在上为增函数，则需，
解得，故填.
16．已知函数且在上恒成立，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】根据不等式在上恒成立，按照分段函数，分段处理，结合参变分离求最值即可得实数a的取值范围.
【详解】解：在上恒成立，
则当时，恒成立，所以，又，即，
故当时，，所以；
当时，恒成立，所以，
又
当且仅当，即时，等号成立，所以，所以；
综上，实数a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题（共70分）
17．（1）计算：.
（2）已知且，求的值；
【答案】（1）-1（2）3
【分析】（1）根据指数幂之间的关系，将平方即可得出结果；（2）根据根式与分数指数幂之间的关系化简即可求出其值.
【详解】（1）原式
.
（2）由题意可知，可得，
又因为所以即
所以
18．已知集合U为全体实数，或，.
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，利用补集、交集的定义求解作答.
（2）根据给定条件，结合集合的包含关系分类求解作答.
【详解】（1）当时，，而，
所以.
（2）由，得，
当时，，解得，满足；
当时，，即，则有或，解得或，
因此，
所以实数的取值范围是.
19．设命题实数x满足，其中，命题实数x满足.
(1)若，且p与q均是真命题，求实数x的取值范围；
(2)若P是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）分别假设为真命题，解二次不等式解得，再取两者交集即可；
（2）先解命题中的二次不等式，再由必要不充分条件得到集合间的关系，从而利用数轴法即可得解.
【详解】（1）当时，
若命题p为真命题，则由解得，
若命题q为真命题，则由解得，
因为与均是真命题，所以，即；
（2）由得，
又，则有，
因为是的必要不充分条件，
所以是的真子集，
则有，其中等号不能同时取得，解得，
故实数的取值范围是.
20．（1）已知二次函数，且满足，，求的表达式；
（2）已知是一次函数，且，求的表达式.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】（1）设的表达式为，由，可得，由，可列出关于和的方程组，解之即可；
（2）设的表达式为，由，可列出关于和的方程组，解之即可.
【详解】解：（1）设的表达式为，∵，，
∴，，
化简得，，∴，解得，
∴.
（2）设的表达式为，
∵，∴，即，
∴，解得或，
∴或.
21．已知是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性，不需要证明；
(3)解关于的不等式：.
【答案】(1)； (2)单调递增； (3).
【分析】（1）利用奇偶性求解析式即可；
（2）利用单调性的定义判断即可；
（3）利用奇偶性、单调性和定义域列不等式，解不等式即可.
【详解】（1）令，则，，又为奇函数，所以，
所以.
（2）在上单调递增.
（3），由为奇函数可得，
因为在上单调递增，所以，解得，
所以不等式的解集为.
22．已知函数是定义域为的奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性并用定义证明；
(3)设，求在上的最小值.
【答案】(1)；
(2)单调递增；证明见解析.
(3).
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义即可求得答案；
（2）判断出函数的单调性，按照单调性的定义即可证明；
（3）求出的表达式，换元将函数转化为二次函数，讨论二次函数图象的对称轴和区间的位置关系，即可确定函数的最小值，可得答案.
【详解】（1）∵为奇函数，∴ ，
可得 ，此时，满足，
即函数是定义域为的奇函数，
所以函数的解析式为；
（2）在上为增函数.
证明：设为R上任意两个实数，且，
,
,∴，
∴在上为增函数.
（3）由，
可得,
令 ，
由(2)知为增函数，∵ ，∴ ，
令 ,
当 时， 在 上单调递增,故 ；
当 时，在上单调递减，在 上单调递增,
故 ；
当 时, 在上单调递减，故;
综上所述, .
【点睛】关键点点睛：第三问是求指数型复合函数的最小值问题，解答的关键是采用整体换元，即令，从而将函数转化为二次函数的最值问题，求解二次函数的最值问题，讨论对称轴和给定区间的位置关系，即可确定最值.