中考数学二轮复习专题17探究函数图像与性质问题含解析答案

这是一份中考数学二轮复习专题17探究函数图像与性质问题含解析答案，共22页。试卷主要包含了已知函数，二次函数的图象交轴于原点及点等内容，欢迎下载使用。


1．在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A．
（1）当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ．
（2）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．
（3）当时，若函数的最小值为3，求m的值．
（4）分别过点、作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．
2．已知函数
（1）画出函数图象；
列表：
描点，连线得到函数图象：
（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；
（3）设是函数图象上的点，若，证明：．
3．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．
（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b= ．
描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．
（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：
①函数的图象关于y轴对称；
②当x=0时，函数有最小值，最小值为-6；
③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．
4．在△ABC中.BC边的长为x,BC边上的高为y,△ABC的面积为2．
(1)y关于x的函数关系式是________， x的取值范围是________；
(2)在平面直角坐标系中画出该函数图象；
(3)将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．

5．表格中的两组对应值满足一次函数，现画出了它的图象为直线，如图．而某同学为观察，对图象的影响，将上面函数中的与交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线．
（1）求直线的解析式；
（2）请在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线被直线和轴所截线段的长；
（3）设直线与直线，及轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出的值．
6．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；( )
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；( )
③当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；( )
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．
7．二次函数的图象交轴于原点及点．
感知特例
（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：
①补全表格；
②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．
形成概念
我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．
探究问题
（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；
②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；
③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．
8．《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：
【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：
【探索发现】(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．
(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．
【结论应用】应用上述发现的规律估算：
(3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？
(4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）
评卷人
得分
一、解答题
评卷人
得分
二、作图题
x
．．．
．．．
y
．．．
．．．
x
⋯
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
⋯
y
⋯

a
-2
-4
b
-4
-2


⋯
－1
0
－2
1
…
－5
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
5
…
…
－3
0
3
…
…
（___，___）
…
…
…
评卷人
得分
三、计算题
供水时间x（小时）
0
2
4
6
8
箭尺读数y（厘米）
6
18
30
42
54
参考答案：
1．(1)，抛物线与y轴交点的坐标为(0，)；(2)，；(3) m的值为或；(4) ，或
【分析】(1)将时代入直接可以求出顶点A的坐标，令中求出与y轴交点坐标；
(2)顶点，由点A在第一象限，且即可求出的值，进而求出解析式，再由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，由此即可求解；
(3)分m≥0和m＜0时讨论：当m≥0且时，函数的最小值为时取得；当，且时，时，函数的最小值为时取得；
(4)先算出P、Q、M、N四个点的坐标，然后再分情况讨论二次函数与矩形PQMN的两边交点，求出B、C坐标，由“B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等”即可求解．
【详解】解：(1)由题意可知，二次函数顶点坐标，
当时，顶点坐标为，
此时抛物线解析式为：，令，
∴，
∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，)；
(2)顶点坐标，
∴，
又已知，
∴，且A点在第一象限，
∴，此时抛物线的解析式为：，
抛物线的对称轴为，
由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，
∴y随x的增大而减小时的取值范围为：，
故答案为：，；
(3)函数的对称轴为，且开口向上，
当，且时，时，函数有最小值为，
由已知：函数的最小值为3，
∴，解得，
当，且时，时，函数有最小值为，
由已知：函数的最小值为3，
∴，解得或(正值舍去)，
故m的值为或；
(4)由题意可知，、、、，
①如图所示，当m>0时，当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上、点C在MN边上，
∴令y=2，则，
∴或（舍去），
∴，C（m，2m），
∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，
∴，
解得：，
如图所示，若点B在PM边上、点C在NQ边上，
∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，
∴，
解得：，
∵点B的纵坐标大于点C的纵坐标，
∴不符合题意，舍去，
∴，
如图所示，若点B在PQ边上、点C在NQ边上，
∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，
∴4=2-2m，
解得：m=-1<0，不符合题意，舍去，
②如图所示，当m<0时，若点B在NQ边上，点C在PM边上，
∵点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，
∴，
解得：，
或，
解得：，
综上，m的值为或或．
【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，二次函数的图像及性质，涉及到分类讨论思想，情况不定时需要分类讨论，难度较大，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键．
2．（1）见解析；（2）有，当时，最大值为3；当时，函数有最小值；（3）见解析
【分析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在图像中描点，画出图像即可；
（2）观察图像可得函数的最大值；
（3）根据，得到和互为相反数，再分，，，分别验证．
【详解】解：（1）列表如下：
函数图像如图所示：
（2）根据图像可知：
当x=1时，函数有最大值3；当时，函数有最小值；
（3）∵是函数图象上的点，，
∴和互为相反数，
当时，，
∴，，
∴；
当时，，
则；
同理：当时，，
，
综上：．
【点睛】本题主要考查正比例函数，反比例函数的图像和性质，描点法画函数图像，准确画出图像，理解是解题的关键．
3．（1），，作图见解析；（2）①√；②√；③×；（3）x＜-4或-2＜x＜1．
【分析】（1）把对应的x的值代入即可求出a和b的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；
（2）观察图象即可判断；
（3）找出函数的图象比函数的图象低时对应的x的范围即可．
【详解】（1）当时，；当时，；
∴，，
故答案为：，．
所画图象，如图所示．
（2）①观察图象可知函数的图象关于y轴对称，故该说法正确；
②观察图象可知，当x=0时，函数有最小值，最小值为，故该说法正确；
③观察图象可知，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，故该项题干说法错误．
（3）不等式表现在图象上面即函数的图象比函数的图象低，因此观察图象，即可得到的解集为：x＜-4或-2＜x＜1．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
4．（1）y=，x＞0；（2）见解析；（3）1
【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得出函数关系式，再根据实际意义得出x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出图像即可；
（3）得到平移后的一次函数表达式，再和反比例函数联立，得到一元二次方程，再结合交点个数得到根的判别式为零，即可求出a值.
【详解】解：（1）由题意可得：
S△ABC=xy=2，
则：y=，
其中x的取值范围是x＞0，
故答案为：y=，x＞0；
（2）函数y=（x＞0）的图像如图所示；
（3）将直线y=-x+3向上平移a(a>0)个单位长度后得到y=-x+3+a，
若与函数y=（x＞0）只有一个交点，
联立：，
得：，
则，
解得：a=1或-7（舍），
∴a的值为1.

【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数的综合，以及一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意，将函数交点问题转化为一元二次方程根的问题.
5．（1）：；（2）作图见解析，所截线段长为；（3）的值为或或7
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到直线，联立两直线求出交点坐标，再根据两点间的距离公式即可求解；
（3）分对称点在直线l，直线和y轴分别列式求解即可．
【详解】（1）依题意把（-1，-2）和（0,1）代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
（2）依题意可得直线的解析式为，
作函数图像如下：
令x=0，得y=3，故B（0,3），
令，
解得，
∴A（1,4），
∴直线被直线和轴所截线段的长AB=；
（3）①当对称点在直线上时，
令，解得x=,
令，解得x=,
∴2×=a-3，
解得a=7；
②当对称点在直线上时，
则2×（a-3）=，
解得a=；
③当对称点在y轴上时，
则+（）=0，
解得a=；
综上：的值为或或7．
【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性质及坐标的对称性．
6．（1），；（2）①× ②√ ③√；（3）x＜−1或−0.3＜x＜1.8．
【分析】（1）代入x=3和x=-3即可求出对应的y值，再补全函数图象即可；
（2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断；
（3）根据图象求解即可．
【详解】解：（1）当x=-3时，，
当x=3时，，
函数图象如下：
（2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形；
故答案为：× ，
②结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值－3；
故答案为：√ ，
③观察函数图象可得：当或时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；
故答案为：√．
（3），
时，
得，，，
故该不等式的解集为： x＜−1或−0.3＜x＜1.8．
【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．
7．（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．
【分析】（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；
（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为 (3m，)，再根据题意即可求解．
【详解】（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称，
∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，
故答案为：2，0；
②描点，连线，得到的图象如图所示：
（2）①当m=−1时，抛物线L为，对称轴为，
它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，
画出草图如图所示：
∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，
则x的取值范围为：；
②画出草图，
由图象知，这条抛物线的解析式只能是；
故答案为：；
③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，
由题意可知△PMA≌△A，
得 (3m，0)，所以 (3m，)，
∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，
∴=m或=m，
解得m=1或0，
当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，
∴m=1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
8．(1)见解析；(2)在同一直线上，解析式为；(3)；(4)当天晚上的22:00．
【分析】(1)将各点在坐标系中直接描出即可；
(2)观察发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，由此可判断它们在同以直线上，设直线解析式为，再代入两个点坐标即可求解；
(3)当时代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数；
(4)当时代入(2)中解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间为8:00即可求解．
【详解】解：(1)将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示：
(2)分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，观察(1)中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上，
设直线解析式为，代入点(0，6)和点(2，18)，
得到，解得，
∴直线的表达式为：；
(3)当供水时间达到12小时时，即时，代入中，
解得cm，
∴此时箭尺的读数为；
(4)当箭尺读数为90厘米时，即时，代入中，
解得(小时)，
∴经过14小时后箭尺读数为90厘米，
∵实验记录的开始时间是上午8:00，
∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+14=22，即对应当天晚上的22:00．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的实际应用问题，读懂题目，掌握一次函数的图形及性质是解决本题的关键．
x
．．．
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
．．．
y
．．．
-1
-3
0
3
1
．．．