中考数学二轮复习专题38阿氏圆几何最值之隐形圆问题含解析答案

这是一份中考数学二轮复习专题38阿氏圆几何最值之隐形圆问题含解析答案，共37页。试卷主要包含了如图，在中，，cm，cm等内容，欢迎下载使用。


1．如图，矩形中，，以B为圆心，以为半径画圆交边于点E，点P是弧上的一个动点，连结，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4cm，CD是中线，点E、F同时从点D出发，以相同的速度分别沿DC、DB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE分别与CF、BC相交于G、H，则在点E、F移动过程中，点G移动路线的长度为（ ）
A．2B．πC．2πD．π
3．如图，等边ΔABC的边长为2，⊙A的半径为1，D是BC上的动点，DE与⊙A相切于E，DE的最小值是（ ）
A．1B．C．D．2
4．如图，在中，，cm，cm．是边上的一个动点，连接，过点作于，连接，在点变化的过程中，线段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
5．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 ．
6．如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为 ．
7．如图，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半径为2，点P是上一动点，则的最小值 的最小值
8．如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值 ．的最小值
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .

10．如图，P是矩形ABCD内一点，，，，则当线段DP最短时， ．
11．如图，已知的半径为，点为直径延长线上一点，．过点任作一直线，若上总存在点，使过所作的的两切线互相垂直，则的最大值等于 ．
12．如图，是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是 ．
13．如图，在中，弦，点在上移动，连接，过点作交于点，则的最大值为 ．
14．如图点是半圆上一个三等分点（靠近点这一侧），点是弧的中点，点是直径上的一个动点，若半径为3，则的最小值为 .
15．如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边距离的最小值是 .
16．已知点A是圆心为坐标原点O且半径为3的圆上的动点，经过点B（4，0）作直线l⊥x轴，点P是直线l上的动点，若∠OPA＝45°，则△BOP的面积的最大值为 ．
17．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为，当时，求的值；
（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．
18．如图，抛物线y=ax2-6ax+6(a≠0)与x轴交于点A(8,0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m,0)(0＜m＜8)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（）分别求出直线AB和抛物线的函数表达式；
（）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2=36：25，求m的值；
（）如图2，在（）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接、．
①在x轴上找一点Q，使，并求出Q点的坐标；
②求的最小值．

19．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点P．连接AC．
(1)求点P的坐标及直线AC的解析式；
(2)如图2，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OF，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接FA、FC．求AF+CF的最小值．
20．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B
（1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；
（3）如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．
21．如图，是的直径，点、是上的点，且OD∥BC，分别与、相交于点、．
(1)求证：点为的中点；
(2)若，，求的长；
(3)若的半径为2，，点是线段上任意一点，试求出的最小值．
22．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．C
【分析】连接BP，取BE的中点G，连接PG，通过两组对应边成比例且夹角相等，证明，得到，则，当P、D、G三点共线时，取最小值，求出DG的长得到最小值．
【详解】解：如图，连接BP，取BE的中点G，连接PG，
∵，，
∴，
∵G是BE的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，当P、D、G三点共线时，取最小值，即DG长，
．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相似三角形将转换成，再根据三点共线求出最小值．
2．D
【详解】解：如图，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，
∴∠ADE＝∠CDF＝90°，CD＝AD＝DB，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴∠DAE＝∠DCF，
∵∠AED＝∠CEG，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
∴A、C、G、D四点共圆，
∴点G的运动轨迹为弧CD，
∵AB＝4，ABAC，
∴AC＝2，
∴OA＝OC，
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴DO⊥AC，
∴∠DOC＝90°，
∴点G的运动轨迹的长为π．
故选：D．
3．B
【分析】连接AE，AD，作AH⊥BC于H，因为DE与⊙A相切于E，所以AE⊥DE，可得DE= ，当D与H重合时，AD最小，此时DE最小，求出AH的长，即可得出DE的最小值．
【详解】解：如图，连接AE，AD，作AH⊥BC于H，
∵DE与⊙A相切于E，
∴AE⊥DE，
∵⊙A的半径为1，
∴DE=，
当D与H重合时，AD最小，
∵等边△ABC的边长为2，
∴BH=CH=1，
∴AH=，
∴DE的最小值为：．
故选：B．
【点睛】本题考查圆的切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．
4．A
【分析】由∠AEC＝90°知，点E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），从而得BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），BE长度的最小值BE′＝BM−ME′．
【详解】如图，
由题意知，，
在以为直径的的上（不含点、可含点，
最短时，即为连接与的交点（图中点点），
在中，，，则．
，
长度的最小值，
故选：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
5．5
【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5．
详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵，，
∴，
∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PG＝PC，
当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．
故答案为5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
6．．
【分析】在AD上截取AH=1.5，根据题意可知，AP=，可得，证△APH∽△ADP，可知PH=，当B、P、H共线时，的最小，求BH即可．
【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BF⊥DA延长线，垂足为F，
∵AB=2，∠ABC=60°，
∴BE=AF=1，AE=BF=，
∴，
∵∠PAD =∠PAH，
∴△ADP∽△APH，
∴，
∴PH=，
当B、P、H共线时，的最小，最小值为BH长，
BH=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题．
7．
【分析】①在BC上取点D，使CD=BC=1，利用相似三角形的判定和性质推出，得到，即可求得的最小值AD的长；
②在AC上取点E，使CE=，同①的方法即可求得的最小值BE的长．
【详解】①在BC上取点D，使CD=BC=1，连接AD，PD，PC，
由题意知：PC=2，
∵，∠PCD=∠BCP，
∴，
∴，
且，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：；
②在AC上取点E，使CE=，连接PE，BE，PC，
∵，，
∴，且∠PCE=∠ACP，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，极值的确定，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形，也是解本题的难点．
8．
【分析】①在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．利用相似三角形的判定和性质推出，得到，由，推出当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可；
②连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性质推出，当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，
作DF⊥BC交BC延长线于F．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，
∴DF=CD•sin60°=2，CF=2，
在Rt△GDF中，DG，
故答案为：；
②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，
过M作MN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是菱形，且，
∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，
∴AO=AB=2，BO=，
∴BD=2 BO=，
∴，，
∴，
且∠MBP=∠PBD，
∴△MBP△PBD，
∴，
∴，
∴，
∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，
在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，
∴MN=BM=，BN=，
∴CN=4-，
∴MC=，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了圆综合题、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
9．
【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值．
【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4

∵AC=9，CD=6，CE=4
∴
∵∠ECD=∠ACD
∴△DCE∽△ACD
∴
∴ED=
在△EDB中，ED+DB≥EB
∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB
∴
在Rt△ECB中，EB=
∴
∴2AD+3DB=
故答案为：．
【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．
10．
【分析】因为AP⊥BP，则P点在AB为直径的半圆上，当P点为AB的中点E与D点连线与半圆AB的交点时，DP最短，求出此时PC的长度便可．
【详解】解：以AB为直径作半圆O，连接OD，与半圆O交于点P′，当点P与P′重合时，DP最短，
则AO=OP′=OB=AB=2，
∵AD=2，∠BAD=90°，
∴OD=2，∠ADC=∠AOD=∠ODC=45°，
∴DP′=OD-OP′=2-2，
过P′作P′E⊥CD于点E，则
P′E=DE=DP′=2-，
∴CE=CD-DE=+2，
∴CP′==．
故答案为．
【点睛】本题是一个矩形的综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，圆的性质，关键是作辅助圆和构造直角三角形．
11．
【分析】根据切线的性质和已知条件先证得四边形PMON是正方形，从而求得，以O为圆心，以长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，作出图形，根据切线的性质得出OP⊥PC，根据勾股定理求得PC的长，从而证得△OPC是等腰直角三角形，即可证得∠ACP的最大值为45°．
【详解】、是过所作的的两切线且互相垂直，
，
四边形是正方形，
根据勾股定理求得，
点在以为圆心，以长为半径作大圆上，
以为圆心，以长为半径作大圆，然后过点作大的切线，切点即为点，此时有最大值，如图所示，
是大圆的切线，
，
，，
，
，
，
的最大值等于，
故答案为．
【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是求得P点的位置．
12．．
【分析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值=PM，解直角三角形即可得到结论．
【详解】过O作于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值，
∵，，⊙O的半径为6，
∴，
∴，
∴，
∴则点P到AC距离的最大值是，
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．/0.5
【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．
【详解】解：连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO=90°，
∴，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD=CB=AB=×1=，
即CD的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出符合题意的点C的位置是解此题的关键．
14．
【分析】作A关于MN的对称点C，连接CB，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=CB是最小值，可证△OCB是等腰直角三角形，从而得出结果．
【详解】
作点A关于MN的对称点C，连接CB，交MN于点P，则PA+PB最小，
连接OC，AC．
∵点A与C关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠CON=∠AON=60°，PA=PC，
∵点B是的中点，
∴∠BON=30°，
∴∠COB=∠CON+∠BON=90°，
又∵OA=OC=3，
∴CB=．
∴PA+PB=PC+PB=CB=．
故答案是：．
【点睛】本题考查轴对称-最短路径问题，正确确定P点的位置是解题的关键．
15．1.2
【分析】过点F作FG⊥AB，垂足为G，过点P作PD⊥AB，垂足为D，根据垂线段最短，得当PD与FG重合时PD最小，利用相似求解即可．
【详解】∵，，，
∴AB=10，
∵，将沿直线翻折，点落在点处，
∴CF=PF=2，AF=AC-CF=6-2=4，
过点F作FG⊥AB，垂足为G，过点P作PD⊥AB，垂足为D，
根据垂线段最短，得当PD与FG重合时PD最小，
∵∠A=∠A，∠AGF=∠ACB，
∴△AGF∽△ACB，
∴，
∴，
∴FG=3.2，
∴PD=FG-PF=3.2-2=1.2，
故答案为：1.2．
【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，三角形相似，垂线段最短，准确找到最短位置，并利用相似求解是解题的关键．
16．2
【分析】当PA是⊙O的切线时，OP最长，则PB最长，故△BOP的面积的最大，连接OA，根据切线的性质和已知条件得出△OPA是等腰直角三角形，利用勾股定理确定OP，进而求得PB，根据三角形面积公式即可求得．
【详解】当PA是⊙O的切线时，OP最长，则PB最长，故△BOP的面积的最大，连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∵∠OPA＝45°，
∴△OPA是等腰直角三角形，
∴OA＝PA＝3，
∴OP＝3，
在Rt△BOP中，PB＝＝＝，
∴△BOP的面积的最大值为×4×＝2，
故答案为：2．
【点睛】考查了切线的性质、勾股定理的应用和三角形面积，解题关键是当PA是⊙O的切线时，△BOP的面积的最大．
17．（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．
【分析】对于（1），结合已知先求出点B和点C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
对于（2），在Rt△OAC中，利用三角函数的知识求出∠OAC的度数，再利用角平分线的定义求出∠OAD的度数，进而得到点D的坐标；接下来求出直线AD的解析式，表示出点P，H，F的坐标，再利用两点间的距离公式可完成解答；对于（3），首先求出⊙H的半径，在HA上取一点K，使得HK=14，此时K（-，）；然后由HQ2=HK·HA，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性质求出KQ=AQ，进而可得当E、Q、K共线时，AQ+EQ的值最小，据此解答.
【详解】（1）由题意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴抛物线的解析式为yx2x﹣3．
（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．
∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA•tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直线AD的解析式为yx﹣1，由题意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F（m，0）．
∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）
解得m或（舍弃），∴当FH＝HP时，m的值为．
（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．
∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．
∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．
∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．
∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．
【点睛】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.
18．（1）；；（2）4；（3）①，②．
【分析】（1）把点A（8，0）代入抛物线y=ax²-6ax+6，可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式，然后由抛物线解析式可求得点B的坐标，最后利用待定系数法可求得直线AB的解析式；
（2）由题意可得N（m，-m+6），P（m，+6），则可得PE、EN、PN的长，然后由△ANE∽△ABO，可求得AN的长，再由△NMP∽△NEA，依据相似三角形的性质可得到，从而可求得PN =12-m，然后依据PN=m²+3m，然后列出关于m的方程求解即可；
（3）①在（2）的条件下，m=4，则=OE=4，依据可得到，从而可求得OQ的值，于是可得到点Q的坐标；
②由①可知，当Q为（2，0）时，△OQE′∽△OE′A，且相似比为，于是得到BE′+AE′=BE′+QE′，当点B、Q、E′在一条直线上时，BE′+QE′最小，最小值为BQ的长．
【详解】（）把点代入抛物线中，得，
∴，
∴抛物线解析式为，
在中，令，得，
∴．
设直线的表达式为，
把，两点坐标分别代入中，
∴，
∴直线AB的表达式为．
（）∵过作轴垂线交于，交抛物线于，且(0＜m＜8)，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OA=8，OB=6，
∴由勾股定理得：AB=10，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：，，
∵，
∴．
（）①在（）的条件下，，
∴，
设，
由旋转性质得：，
若，
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
②由①可知，当为时，
，且相似比为，
∴，
∴，
∴当旋转到所在直线上时，最小，即为长度，
∵，，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、旋转的性质，列出关于m的方程是解答题问题（2）的关键，明确当点B、Q、在一条直线上时′取得最小值是解题的关键和难点．
19．(1)点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为yAC＝﹣x+3
(2)AF+CF的最小值为
【分析】（1）由抛物线y＝x2+x+3可求出点C，P，A的坐标，再用待定系数法可求出直线AC的解析式；
（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，求出AH的长，证△HOF∽△FOC，推出HF=，由AF+CF=AF+HF≥AH=可写出结论．
【详解】（1）在抛物线y＝x2+x+3中，
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
当y＝3时，x1＝0，x2＝2，
∴P（2，3），
当y＝0时，x1＝﹣4，x2＝6，
B（﹣4，0），A（6，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+3，
将A（6，0）代入，
得，k＝﹣，
∴yAC＝﹣x+3，
∴点P坐标为P（2，3），直线AC的解析式为yAC＝﹣x+3；
（2）在OC上取点H（0，），连接HF，AH，
则OH＝，AH＝，
∵，，且∠HOF＝∠FOC，
∴△HOF∽△FOC，
∴，
∴HF＝CF，
∴AF+CF＝AF+HF≥AH＝，
∴AF+CF的最小值为；
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，最值的求法，相似三角形的判定与性质，直角三角形存在性等，解题关键是要注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
20．（1）y＝x2﹣6x+5， B（5，0）；（2）当M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18；（3）PC+PA的最小值为，理由详见解析.
【分析】（1）由直线y＝﹣5x+5求点A、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点B坐标．
（2）从x轴把四边形AMBC分成△ABC与△ABM；由点A、B、C坐标求△ABC面积；设点M横坐标为m，过点M作x轴的垂线段MH，则能用m表示MH的长，进而求△ABM的面积，得到△ABM面积与m的二次函数关系式，且对应的a值小于0，配方即求得m为何值时取得最大值，进而求点M坐标和四边形AMBC的面积最大值．
（3）作点D坐标为（4，0），可得BD＝1，进而有，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根据两边对应成比例且夹角相等可证△PBD∽△ABP，得等于相似比，进而得PD＝AP，所以当C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小．用两点间距离公式即求得CD的长．
【详解】解：（1）直线y＝﹣5x+5，x＝0时，y＝5
∴C（0，5）
y＝﹣5x+5＝0时，解得：x＝1
∴A（1，0）
∵抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5
当y＝x2﹣6x+5＝0时，解得：x1＝1，x2＝5
∴B（5，0）
（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于点H
∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）
∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×5＝10
∵点M为x轴下方抛物线上的点
∴设M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）
∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5
∴S△ABM＝AB•MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8
∴S四边形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18
∴当m＝3，即M（3，﹣4）时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18
（3）如图2，在x轴上取点D（4，0），连接PD、CD
∴BD＝5﹣4＝1
∵AB＝4，BP＝2
∴
∵∠PBD＝∠ABP
∴△PBD∽△ABP
∴
∴PD＝AP
∴PC+PA＝PC+PD
∴当点C、P、D在同一直线上时，PC+PA＝PC+PD＝CD最小
∵CD＝
∴PC+PA的最小值为
【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判断与性质.
21．(1)见解析
(2)DF=2
(3)的最小值为
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再证明OF⊥AC，然后根据垂径定理得到点D为的中点；
（2）证明OF为△ACB的中位线得到OF＝BC＝3，然后计算OD−OF即可；
（3）作C点关于AB的对称点，D交AB于P，连接OC，如图，利用两点之间线段最短得到此时PC＋PD的值最小，再计算出∠DO＝120°，作OH⊥D于H，如图，然后根据等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系求出DH，从而得到PC＋PD的最小值．
【详解】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
即点为的中点．
（2）解：，
，
而，
为的中位线，
，
．
（3）解：作点关于的对称点，交于，连接，如图，
，
，
此时的值最小，
，
，
，
点和点关于对称，
，
，
作于，则，，
在中，，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
22．（1）抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；（2）点P的坐标为（1，）或（2，1）；（3）存在，理由见解析．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入求得a的值即可；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，先求得直线BC的解析式为y=﹣x+1，设点P（x，﹣x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），然后可得到PD与x之间的关系式，接下来，依据△PBC的面积为1列方程求解即可；
（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC=∠BAC=45°，设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，依据勾股定理可求得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y=﹣x与x=1的交点，从而可求得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．
【详解】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将C（0，1）代入得﹣3a=1，解得：a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+1；
（2）过点P作PD⊥x，交BC与点D，
设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得：k=﹣，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+1，
设点P（x，﹣ x2+x+1），则D（x，﹣ x+1），
∴PD=（﹣x2+x+1）﹣（﹣x+1）=﹣x2+x，
∴S△PBC=OB•DP=×3×（﹣x2+x）=﹣x2+x，
又∵S△PBC=1，
∴﹣x2+x=1，整理得：x2﹣3x+2=0，解得：x=1或x=2，
∴点P的坐标为（1，）或（2，1）；
（3）存在．
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OC=OA=1，
∴∠BAC=45°，
∵∠BQC=∠BAC=45°，
∴点Q为△ABC外接圆与抛物线对称轴在x轴下方的交点，
设△ABC外接圆圆心为M，则∠CMB=90°，
设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中，由勾股定理可知CM2+BM2=BC2，即2x2=10，
解得：x=（负值已舍去），
∵AC的垂直平分线的为直线y=﹣x，AB的垂直平分线为直线x=1，
∴点M为直线y=﹣x与x=1的交点，即M（1，﹣1），
∴Q的坐标为（1，﹣1﹣）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式、三角形的外心的性质，求得点M的坐标以及⊙M的半径的长度是解题的关键．