山东省济宁市任城区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制）

这是一份山东省济宁市任城区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各点中，在函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（﹣2，4）B．（2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（8，1）
2．（3分）抛物线y＝﹣3（x+2）2的对称轴是直线（ ）
A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝2D．x＝﹣2
3．（3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i＝1：，坝高BC为5m，则AB的长度为（ ）
A．10mB．5mC．5mD．10m
4．（3分）在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：Pa）与它的受力面积S（单位：m2）是反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．函数解析式为
B．物体承受的压力是100N
C．当p≤500Pa时，S≤0.2m2
D．当S＝0.5m2时，p＝200Pa
5．（3分）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．不能确定
6．（3分）如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（ ）
A．﹣1≤x≤6B．﹣1≤x＜6C．﹣1＜x≤6D．x≤﹣1或x≥6
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．30C．40D．48
8．（3分）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（ ）
A．x＝（x﹣10）tan 50°B．x＝（x﹣10）cs50°
C．x﹣10＝x tan 50°D．x＝（x+10）sin 50°
9．（3分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．18°B．36°C．41°D．58°
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③4ac﹣b2＞0；
④3a+c＜0；
⑤a+b≥am2+bm（m是任意实数）．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．③⑤
二、填空题（本大题满分18分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡上）
11．（3分）若二次函数y＝ax2的图象开口向上，则a的取值范围是 ．
12．（3分）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t，则足球距地面的最大高度是 m．
13．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝ ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是 ．
15．（3分）若将抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣2向右平移2个单位长度得到抛物线y＝﹣x2+bx+c，则b+c＝ ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别落在y轴、x轴的正半轴上，A（0，2），BC＝2AB．若反比例函数经过C，D两点，则k的值为 ．
三、解答题（本大题满分52分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（5分）计算：2sin30°﹣cs245°+cs60°．
18．（6分）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，AB＝2m，BP＝10m，水嘴高AD＝6m．
（1）以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求图中抛物线的解析式；
（2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC．
19．（6分）如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西60°方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货船相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？
20．（6分）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，则销售量相应减少20件，为销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点B，C，且B（﹣1，m），C（n，﹣4）．过点A作AD⊥y轴交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点D，连接BD．
（1）求反比例函数的表达式和点C的坐标．
（2）求△ABD的面积．
（3）请直接写出不等式＜﹣4x+2的解集．
22．（7分）西安市某学校的数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为37°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上，无人机大小忽略不计．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
23．（7分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝8，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标．
24．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P为线段CB上一个动点（不与点C，B重合），过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值；
（3）已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题满分30分，每小题3分.每小题只有一个符合题意的选项，请你将正
1．（3分）下列各点中，在函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．（﹣2，4）B．（2，4）C．（﹣2，﹣4）D．（8，1）
【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中，k＝﹣8，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣8的点在函数图象上，
四个选项中只有A选项符合．
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
2．（3分）抛物线y＝﹣3（x+2）2的对称轴是直线（ ）
A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝2D．x＝﹣2
【分析】根据二次函数顶点式的性质，直接得到抛物线y＝﹣3（x+2）2的对称轴是直线x＝﹣2．
【解答】解：抛物线y＝﹣3（x+2）2的对称轴是直线x＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数顶点式的性质，熟记顶点式求抛物线对称轴的方法是解决问题的关键．
3．（3分）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i＝1：，坝高BC为5m，则AB的长度为（ ）
A．10mB．5mC．5mD．10m
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：∵坡AB的坡度i＝1：，
∴BC：AC＝1：，
∵BC＝5m，
∴AC＝5m，
∴AB＝＝＝10（m），
故选：A．
【点评】本题考查的是坡度的概念，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
4．（3分）在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：Pa）与它的受力面积S（单位：m2）是反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．函数解析式为
B．物体承受的压力是100N
C．当p≤500Pa时，S≤0.2m2
D．当S＝0.5m2时，p＝200Pa
【分析】压力一定时，压强和受力面积成反比，根据当S＝0.1时，p＝1000写出解析式，根据解析式即可判定各个选项．
【解答】解：设p＝，
∵点（0.1，1000）在这个函数的图象上，
∴1000＝，
∴k＝100，
∴p与S的函数关系式为p＝，
故选项A，B不符合题意；
当p＝500时，S＝＝＝0.2，
∴当p≤500Pa时，S≥0.2m2，
故选项C符合题意；
当S＝0.5时，p＝200Pa，
当S＝0.2时，p＝
＝500，
∴当受力面积S＝0.2m2时，压强p＝500Pa，
故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数的应用，根据题意写出反比例函数的解析式是解题的关键．
5．（3分）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形B．钝角三角形
C．等边三角形D．不能确定
【分析】由已知求出∠A、∠B的度数，再由三角形的内角和定理求出∠C的度数，得∠A＝∠B＝∠C，即可得出结论．
【解答】解：∵∠A、∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴∠A＝∠B＝∠C，
∴△ABC为等边三角形．
故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形、等边三角形的判定、特殊角的三角函数值等知识，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值，求得∠A、∠B的度数．
6．（3分）如图，一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为（ ）
A．﹣1≤x≤6B．﹣1≤x＜6C．﹣1＜x≤6D．x≤﹣1或x≥6
【分析】根据图象关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y1＝kx+n（k≠0）与二次函数y2＝ax2+bx+c（a≠0）的图象相交于A（﹣1，4），B（6，2）两点，
根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：﹣1≤x≤6．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是关键．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．30C．40D．48
【分析】根据锐角三角函数可以计算出BC的长，再根据勾股定理可以得到AC的长，然后即可计算出△ABC的面积．
【解答】解：∵，
∴BC＝AB•sinA＝10×＝6，
∴AC＝＝＝8，
∴△ABC的面积为：＝＝24，
故选：A．
【点评】本题考查解直角三角形、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，计算出AC和BC的长．
8．（3分）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容：
设铁塔顶端到地面的高度FE为xm，根据以上条件，可以列出的方程为（ ）
A．x＝（x﹣10）tan 50°B．x＝（x﹣10）cs50°
C．x﹣10＝x tan 50°D．x＝（x+10）sin 50°
【分析】过D作DH⊥EF于H，则四边形DCEH是矩形，根据矩形的性质得到HE＝CD＝10，CE＝DH，求得FH＝x﹣10，得到CE＝x﹣10，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．
【解答】解：过D作DH⊥EF于H，
则四边形DCEH是矩形，
∴HE＝CD＝10，CE＝DH，
∴FH＝x﹣10，
∵∠FDH＝α＝45°，
∴DH＝FH＝x﹣10，
∴CE＝x﹣10，
∵tanβ＝tan50°＝＝，
∴x＝（x﹣10）tan 50°，
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键．
9．（3分）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ）
A．18°B．36°C．41°D．58°
【分析】根据已知三点和近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）可以大致画出函数图象，并判断对称轴位置在36和54之间即可选择答案．
【解答】解：由题意可知函数图象为开口向上的抛物线，由图表数据描点连线，补全图可得如图，
∴抛物线对称轴在36和54之间，约为41°，
∴旋钮的旋转角度x在36°和54°之间，约为41°时，燃气灶烧开一壶水最节省燃气．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的对称性质，判断对称轴位置是解题关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③4ac﹣b2＞0；
④3a+c＜0；
⑤a+b≥am2+bm（m是任意实数）．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．③⑤
【分析】根据所给函数图象，得出a，b，c的正负，再结合抛物线的增减性和对称性即可解决问题．
【解答】解：由所给函数图象可知，
a＞0，b＜0，c＜0，
所以abc＞0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴是直线x＝1，
所以，
即2a+b＝0．
故②正确．
因为抛物线与x轴有两个交点，
则b2﹣4ac＞0，
即4ac﹣b2＜0．
故③错误．
由函数图象可知，
当x＝﹣1时，函数值小于零，
则a﹣b+c＜0，
又因为b＝﹣2a，
所以3a+c＜0．
故④正确．
因为抛物线开口向上，且对称轴为直线x＝1，
则当x＝1时，函数有最小值为a+b+c．
所以当x＝m（m为任意实数）时，
总有a+b+c≤am2+bm+c，
即a+b≤am2+bm．
故⑤错误．
所以正确的结论有①②④．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，能根据所给函数图象得出a，b，c的正负，再巧妙利用数形结合的数学思想是解题的关键．
二、填空题（本大题满分18分，每小题3分，请你将答案填写在答题卡上）
11．（3分）若二次函数y＝ax2的图象开口向上，则a的取值范围是 a＞0 ．
【分析】由二次函数y＝ax2的图象开口向上，即可得到a的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2的图象开口向上，
∴a＞0，
故答案为：a＞0．
【点评】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握开口方向是解题的关键．
12．（3分）小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t，则足球距地面的最大高度是 7.2 m．
【分析】a＝﹣5开口方向向下，最大值为顶点y值，由公式可得答案．
【解答】解：∵h＝﹣5t2+12t，
a＝﹣5，b＝12，c＝0，
∴足球距地面的最大高度是：＝7.2m，
故答案为：7.2．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，关键函数的性质和公式．
13．（3分）如图，点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，C是OB的中点，连接AO，AC，若△AOC的面积为4，则k＝ 16 ．
【分析】由C是OB的中点推出S△AOB＝2S△AOC，则AB•OB＝8，所以AB•OB＝16，因此k＝16．
【解答】解：∵C是OB的中点，△AOC的面积为4，
∴△AOB的面积为8，
∵AB⊥x轴，
∴S△AOB＝AB•OB＝8，
∴AB•OB＝16，
∴k＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，明确S△AOB＝2S△AOC是解题的关键．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，CD⊥AB于点D，那么sin∠BCD的值是 ．
【分析】首先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB，再根据同角的余角相等得出∠A＝∠BCD，进而利用锐角三角函数关系即可求出sin∠BCD的值．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝＝13，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴sin∠BCD＝sinA＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系的定义，得出sin∠BCD＝sinA是解题关键．
15．（3分）若将抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣2向右平移2个单位长度得到抛物线y＝﹣x2+bx+c，则b+c＝ ﹣5 ．
【分析】先根据左加右减，上加下减的规律得出平移后的顶点式解析式，然后再化为一般式，求出b、c的值，再代入b+c，计算即可．
【解答】解：把抛物线y＝﹣（x﹣1）2﹣2向右平行移2个单位长度，
得：y＝﹣（x﹣1﹣2）2﹣2，即y＝﹣（x﹣3）2﹣2＝﹣x2+6x﹣11；
所以b＝6，c＝﹣11，
b+c＝6﹣11＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别落在y轴、x轴的正半轴上，A（0，2），BC＝2AB．若反比例函数经过C，D两点，则k的值为 24 ．
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，易证△AOB∽△BMC，根据相似三角形的性质可得AO：BM＝OB：CM＝AB：BC，设OB＝x，根据A（0，2），BC＝2AB，表示出点C坐标，再根据平移的性质可得点D坐标，再根据点C和点D都在反比例函数上列方程，求出x的值，进一步可得点C坐标，即可确定k的值．
【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，如图所示：
则∠BMC＝90°，
∵矩形ABCD的顶点A，B分别落在y轴、x轴的正半轴上，
∴∠AOB＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBM＝90°，
∴∠OAB＝∠CBM，
∵∠AOB＝∠BMC，
∴△AOB∽△BMC，
∴AO：BM＝OB：CM＝AB：BC，
设OB＝x，
∵A（0，2），BC＝2AB，
∴OA＝2，AB：BC＝1：2，
∴BM＝4，CM＝2x，
∴点C坐标为（x+4，2x），
根据平移，可得点D坐标为（4，2+2x），
∵反比例函数经过C，D两点，
∴2x（x+4）＝4（2+2x），
解得x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴点C坐标为（6，4），
将点C坐标代入，
得k＝6×4＝24，
故答案为：24．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式等，本题综合性较强，难度较大．
三、解答题（本大题满分52分，解答要写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（5分）计算：2sin30°﹣cs245°+cs60°．
【分析】把特殊角的三角函数值代入原式计算，得到答案．
【解答】解：2sin30°﹣cs245°+cs60°
＝2×﹣（）2+
＝1﹣+
＝1．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．（6分）“水幕电影”的工作原理是把影像打在抛物线状的水幕上，通过光学原理折射出图象，水幕是由若干个水嘴喷出的水柱组成的（如图），水柱的最高点为P，AB＝2m，BP＝10m，水嘴高AD＝6m．
（1）以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，求图中抛物线的解析式；
（2）求水柱落点C与水嘴底部A的距离AC．
【分析】（1）据D（0，6），顶点P（2，10），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，用待定系数法求解析式即可；
（2）当y＝0时，求出x的值解答即可．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣h）2+k，
∴y＝a（x﹣2）2+10，
把D（0，6）代入y＝a（x﹣2）2+10得，
4a＝﹣4．
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣2）2+10．
（2）当y＝0时，0＝﹣（x﹣2）2+10．
解得x1＝2+，x2＝（舍去）．
所以C（，0）．
答：水柱落点C与水嘴底部A的距离AC为（）m．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，根据实际问题求出点的坐标，恰当选择抛物线解析式的形式是解决问题的关键．
19．（6分）如图，在东西方向的海岸线上有A，B两个港口，甲货船从A港沿东北方向出发，同时乙货船从B港口沿北偏西60°方向出发，甲货船行驶10海里后和乙货船相遇在点P处．则A港与B港相距多少海里？
【分析】先作PC⊥AB于点C，根据甲货船从A港沿北东的方向以5海里/小时的速度出发，求出∠PAC和AP，从而得出PC的值，得出BC的值，即可求出答案．
【解答】解：作PC⊥AB于点C，
∵∠PAC＝45°，AP＝10海里，
∴PC＝AC＝5海里，
∵乙货船从B港口沿北偏西60°方向出发，
∴∠PBC＝30°，
∴BC＝PC＝5海里，
∴AB＝AC+BC＝（5+5）海里，
答：A港与B港相距（5+5）海里，
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．
20．（6分）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，则销售量相应减少20件，为销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】设销售单价为x元，销售利润为y元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：设销售单价为x元，销售利润为y元．
根据题意，得：
y＝（x﹣20）[400﹣20（x﹣30）]
＝（x﹣20）（1000﹣20x）
＝﹣20x2+1400x﹣20000
＝﹣20（x﹣35）2+4500，
∵﹣20＜0，
∴x＝35时，y有最大值．
所以，销售单价为35元，才能在半个月内获得最大利润4500元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
21．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+2的图象与y轴交于点A，与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点B，C，且B（﹣1，m），C（n，﹣4）．过点A作AD⊥y轴交反比例函数y＝（k≠0）的图象于点D，连接BD．
（1）求反比例函数的表达式和点C的坐标．
（2）求△ABD的面积．
（3）请直接写出不等式＜﹣4x+2的解集．
【分析】（1）先得到点B的坐标，再将B点坐标代入y＝（k≠0），利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式，进而即可求得C的坐标；
（2）根据一次函数y＝﹣4x+2的图象与y轴交于点A，求出点A的坐标为（0，2），再将y＝2代入y＝﹣，求出x的值，那么AD＝3．根据三角形面积公式即可求得；
（3）根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵B（﹣1，m）在一次函数y＝﹣4x+2的图象上，
∴﹣4×（﹣1）+2＝m．解得m＝6，
∴B（﹣1，6），
∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝﹣1×6＝﹣6
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
∵C（n，﹣4）在反比例函数y＝﹣的图象上
∴﹣4＝﹣，解得n＝，
∴点C的坐标为（，﹣4）；
（2）把x＝0代入y＝﹣4x+2，得y＝2，
∴A（0，2），
∵AD⊥y轴，
∴点D的纵坐标为2，
又∵点D在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴2＝﹣，解得x＝﹣3，
∴D（﹣3，2）．
∴AD＝3
∴S△ABD＝×3×（6﹣2）＝6；
（3）观察图象可知，不等式＜﹣4x+2的解集为x＜﹣1或0＜x＜．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度适中．求出反比例函数的解析式是解题的关键．
22．（7分）西安市某学校的数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为37°，测得教学楼楼顶点C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者和教学楼BC的距离为57米，求教学楼BC的高度．（注：点A，B，C，D都在同一平面上，无人机大小忽略不计．参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，根据正切的定义求出AE，根据题意求出BE，根据等腰直角三角形的性质求出DF，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥DE于F，
由题意得，AB＝57，DE＝30，∠DAB＝37°，∠DCF＝45°，
在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，
∴AE＝≈＝40，
∵AB＝57，
∴BE＝AB﹣AE＝17，
∵CB⊥BE，FE⊥BE，CF⊥EF，
∴四边形BCFE为矩形，
∴CF＝BE＝17，
在Rt△DFC中，∠CDF＝45°，
∴DF＝CF＝17，
∴BC＝EF＝DE﹣DF＝13，
答：教学楼BC的高度约为13米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（7分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝8，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标．
【分析】（1）由OA＝2，OC＝6得到A（﹣2，0），C（0，﹣6），用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）先确定BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，求出直线BC的解析式，再求出其与对称轴的交点即可．
【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝8，
∴A（﹣2，0），C（0，﹣8），
将A（﹣2，0），C（0，﹣8），代入y＝x2+bx+c，
得，
解得：b＝﹣2，c＝﹣8，
∴抛物线得解析式为：y＝x2﹣2x﹣8．
（2）在y＝x2﹣2x﹣8中，
对称轴为直线x＝1，
∵点A与点B关于对称轴x＝1对称，
∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，
而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，
在y＝x2﹣2x﹣8中，
当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝4，
∴点B的坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣8，
将点B（4，0）代入，
得，k＝2，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣8，
当x＝1时，y＝﹣6，
∴点D的坐标为（1，﹣6）；
故答案为：（1，﹣6）．
【点评】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，轴对称的性质等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．
24．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P为线段CB上一个动点（不与点C，B重合），过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q．
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段PQ的长，并求出线段PQ的最大值；
（3）已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段PQ取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形PBMN是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
​
【分析】（1）令y＝﹣x2+3x+4＝0，即可求解；
（2）由PQ＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，即可求解；
（3）当四边形PBMN是菱形时，则BP＝BM，即可求解．
【解答】解：（1）令y＝﹣x2+3x+4＝0，
解得：x＝﹣1或4，
故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（4，0）；
（2）设直线BC的表达式为：y＝kx+4，
将点B的坐标代入上式得：0＝4k+4，解得：k＝﹣1，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，
设点P（t，﹣t+4），则点Q（t，﹣t2+3t+4），
则PQ＝（﹣t2+3t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
∵﹣1＜0，故PQ有最大值，
当t＝2时，PQ的最大值为4；
（3）存在，理由：
当t＝2时，点P（2，2），
设点M（，m），而点B（4，0）；
∵四边形PBMN是菱形，
则BP＝BM，即（4﹣2）2+22＝（4﹣）2+m2，
解得：m＝，
即点M的坐标为（，）或（，﹣）．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，菱形的性质是解题的关键．
题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
CD＝10m，α＝45°，β＝50°
题目
测量铁塔顶端到地面的高度
测量目标示意图
相关数据
CD＝10m，α＝45°，β＝50°