山西省太原市小店区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份山西省太原市小店区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共12页。

注意事项：
1. 本卷为闭卷笔答，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷；全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟；不允许使用科学计算器.
2. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本卷和答题卡上.
3. 答案全部在答题卡上完成，所有答案写在本卷上无效.
4. 答题结束，将本卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并将答题卡相应位置涂黑.
1. 一元二次方程的解为（ ）
A. B. ，C. D. ，
2. 若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
3. 如图，菱形ABCD的对角线，，则菱形的边长为（ ）
（第3题图）
A. 5B. C. D. 13
4. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C，直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F.若，，则DF的长为（ ）
（第5题图）
A. 2.4B. 3.6C. 6D. 7.2
6. 某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（ ）
（第6题图）
A. 先后两次掷一枚之地均匀的硬币，一次正面朝上一次反面朝上
B. 先后两次掷一枚之地均匀的硬币，两次都出现反面朝上
C. 掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是偶数
D. 掷一枚之地均匀的正六面体骰子，向上面的点数是2或4
7. 某校主教学楼示意图如下，教学楼围出一块长30m，宽20m的矩形区域，中间是绿化区域，三面有等宽的道路，矩形区域内三面道路的面积正好与绿化区域的面积相等.设道路的宽度为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，四边形ABCD是正方形，在正方形内部作等边三角形EDC，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
9. 某校矩形以《大国重器》为主题的演讲比赛，其中一个环节是即兴演讲，该环节共有三个题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一个题目，选手根据题目对应的内容进行90秒演讲.小亮和小敏都参加了即兴演讲，则电脑给他们派发的是同一个题目的概率是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形ABCD中，，，点E是边CD上一点，连接AE，矩形ABCD沿AE折叠，点D的对应点恰好落在BC上的点F处.则AE的长为（ ）
A. B. C. 2D.
第Ⅱ卷 选择题
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）请将结果写在答题卡对应的横线上.
11. 五边形五边形，相似比为，若，则______.
12. 玉米是山西省主要农作物之一.某种业公司在选育玉米种子时，在同一条件下对某个品种的玉米种子进行了发芽试验，统计数据如下表：
据此估计该品种的玉米种子发芽的概率为______.（结果精确到0.01）
13. 电流通过导线时会产生热量Q（单位：J）与通过导体的电流I（单位：A）有如下关系：，其中R表示通电电阻（单位：）、t表示通电时间（单位：s）.已知一台带有USB借口的小电风扇线圈电阻为，正常工作1分钟后线圈产生的热量为15J，则通过导体的电流为______A.
14. 2023杭州亚运会期间，吉祥物“宸宸”“琮琮”“莲莲”受到人们的广泛喜爱.某网店购进了一批吉祥物，由于销售火爆，销售单价经过两次调整，从每套160元上涨到每套230.4元.若销售价格每次上涨的百分率相同，则这个增长率为______.
15. 如图，在正方形ABCD中，，点E是BC边上一点，且，连接AE，点F是AB边上一点，过点F作交CD于点G，连接EF，EG，AG，则四边形AFEG的面积为______.
三、解答题（本大题含8个小题，共75分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本题共3个小题，每小题4分，共12分）
解一元二次方程：（1）（2）
（3）
17.（本题6分）
如图，在中，点D是AB边上的一点，.
（1）尺规作图：作直线交AC于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，求AE的长.
18.（本题7分）
2023中国人工智能大会于10月14日至15日在太原举办.哥哥和弟弟都想去，但他们只有一张主题展览门票，两人商量才去转转盘（如图，转盘盘面被分为面积相等且标有数字1，2，3，4的4个扇形区域）的游戏方式决定谁去参观.规则如下：两人各转动转盘一次，若两次转出的数字之和为奇数，则哥哥去；若两次数字之和为偶数，则弟弟去，该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由.
19.（本题9分）
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，延长BC至点E使得，延长DC至点F使得，依次连接BF，FE，ED.
（1）判断四边形BFED的形状并说明理由；
（2）若，，求四边形BFED的面积.
20.（本题8分）
山西隰县玉露香梨多汁、酥脆、含糖高，享誉全国.某水果店销售玉露香梨，进价为2元/斤，按4.5元/斤出售，每天可卖出200斤.经市场调查发现，这种玉露香梨每斤的售价每降低0.1元，每天可多卖出20斤.若该水果店想要每天销售玉露香梨盈利600元，且尽可能让利于顾客，售价应定为多少？
21.（本题8分）阅读下列材料，并完成相应的任务.
任务：根据上述材料请你用几何方法求方程的正数解.要求如下：
（1）在如图所示的区域内画出图形，并标出相应的线段长度.
（2）根据（1）所画图形直接写出方程的正数解.
（3）这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是______.（填写字母序号即可）
A. 分类讨论思想B. 数形结合思想C. 公理化思想
22.（本题12分）综合实践——用矩形纸板制作长方体盒子
如图1，有一块矩形纸板，长为30cm，宽为16cm，要将其余四角各剪去一个同样大小的正方形，折成图2所示的底面积为的无盖长方体盒子.（纸板厚度忽略不计）
图1 图2 图3
（1）求将要剪去的正方形的边长；
（2）如图3，小明先在原矩形纸板的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子.
①请你在图3的矩形纸板中画出示意图（用阴影表示将要剪去的矩形并用虚线表示折痕）；
②若折成的有盖长方体盒子的表面积为，请计算剪去的正方形的边长.
23.（本题13分）综合与探究
问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动.已知正方形ABCD中，，点E是射线CD上一点（不与点C重合），连接BE，将BE绕点E顺时针旋转得到FE，连接DF.
特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，求的度数；
深入谈及：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由；
问题解决：（3）如图4，当点E在线段CD上，且时，请直接写出线段BF的长.
图1 图2 图3 图4
2023-2024学年九年级（上）期中学业质量诊断
数学参考答案
一、选择题
二、填空题
11. 6 12. 0.95【或或】 13. 0.5【或】 14. 20% 15. 5
三、解答题
16.【注：配方法、公式法、分解因式法各关键步骤赋分可互相参考】
解：（1）.
移项得.……1分
配方得.……2分
开平方得.……3分
所以，，.……4分
（2）.
这里，，，
.……5分
∴.……6分
∴，.……8分
（3）.
.……9分
.
.……10分
或.……11分
，.……12分
17. 解：（1）如图所示，直线DE即为所求.
【作图正确2分，结论1分；作图方法不唯一，思路正确、痕迹清晰规范即可】
……3分
（2）由作图可知，
∴.……4分
∴.……5分
∵，∴.……6分
18. 解：该游戏公平.……1分
理由：列表如下：【表中“结果”写成“和”或者“（，）”形式均可】
……2分
由列表可知一共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能相同，……4分
其中两次数字之和为奇数的结果有8种，两次数字之和为偶数的结果有8种，
所以，P（哥哥去），P（弟弟去），……6分
即P（哥哥去）＝P（弟弟去）.
所以游戏公平.……7分
19. 解：（1）四边形BFED是矩形.……1分
理由如下：∴，，
∴四边形BFED是平行四边形.……2分
∵四边形ABCD是菱形，∴.……3分
∴.
∴，即.……4分
∴平行四边形BFED是矩形.……5分
（2）法一：四边形ABCD是菱形，
∴，.……6分
∴，.
∵四边形BFED是矩形，
∴.∴.
∴.……7分
∴四边形ACED是平行四边形.
∴.……8分
.……9分
法二：
∵四边形ABCD是菱形，
∴，.……6分
∵，∴OC是的中位线，
∴.……7分
∴，即.……8分
.
20. 解：设每斤玉露香梨降价x元，……1分
根据题意列方程为.……4分
解，得，.……6分
因为要让利于顾客，所以x取1.…….7分
（元）.
答：售价应定为3.5元/斤.……8分
21. 解：（1）画出的图形如图所示：【图形正确2分；标示正确、全面2分】
……4分
（2）方程的正数解为.……6分
（3）B.……8分
22. 解：（1）设剪去的正方形的边长为.……1分
根据题意列方程为.……3分
解，得，.……4分
当时，，，
所以不符合题意舍去.……5分
答：剪去正方形的边长为3cm.……6分
（2）①画出的图形如图所示.【阴影及折叠线全部正确得2分】
……8分
②设剪去的正方形的边长为.
根据题意可列方程为.……10分
解得（舍），.……11分
答：剪去的正方形的边长为2cm.……12分
23. 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，.……1分
∴.……2分
由旋转可知，
∴.
（2）仍然成立.……4分
若选图2，证明如下：
如图，过点F作交CD的延长线于点G，则.……5分
∵四边形ABCD是正方形，
∴，.……6分
∴，.
由旋转的性质可知，.
∴.
∴.……7分
∴.……8分
∴，.
∴，即.
∴.……9分
又∵，∴.
∵，.……10分
若选图3，证明如下：
如图，过点F作交CD的延长线于点G，则.……5分
∵四边形ABCD是正方形，
，.……6分
∴，.
由旋转的性质可知，.
∴.
∴.……7分
∴.……8分
∴，.
∴，即.
∴.…….9分
又∵，∴.
∵，∴.……10分
（3）.试验种子粒数
100
200
500
1000
2000
5000
发芽种子粒数
92
188
476
951
1900
4752
一元二次方程的几何解法
通过学习，我们知道可以用配方法、提公因式法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月.下面是9世纪阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求解的过程.
解：如图，构造一个以未知数x为边长的正方形，在某四条边上向外作长和宽分别x和的矩形，再把这个图补成边长为的正方形.
于是大正方形的面积为：，
又已知，所以大正方形的面积为，
于是大正方形的边长为8，因此：.
几何法求解一元二次方程，只能得到正数解.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
A
C
D
C
D
A
D
第一次
结果
第二次
1
2
3
4
1
2
3
4
5
2
3
4
5
6
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8