北京市通州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份北京市通州区2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共12页。试卷主要包含了 考试结束后，请将答题卡交回，4B， 已知，则______等内容，欢迎下载使用。

2023年11月
学校______ 班级______ 姓名______
考生须知
1. 本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟.
2. 请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名.
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5. 考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1. 下列长度的四条线段中，是成比例线段的是（ ）
A. 3cm，5cm，6cm，9cmB. 3cm，5cm，8cm，9cm
C. 3cm，9cm，10cm，30cmD. 3cm，6cm，7cm，9cm
2. 抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，点D、E分别在的AB，AC边上，且，如果，那么等于（ ）
第3题
A. B. C. D.
4. 将抛物线向下平移3个单位，得到的抛物线为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，图1是可折叠的熨衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，，根据图2中的数据可得x的值为（ ）
图1 图2
第5题
A. 0.4B. 0.8C. 1D. 1.6
6. 如图，已知D是的边AC上一点，根据下列条件，不能判定的是（ ）
第6题
A. B. C. D.
7. 若二次函数的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的自变量x的取值范围为全体实数，其中部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：
①函数图象关于y轴对称
②函数既有最大值，也有最小值
③当时，y随x的增大而减小
④当时，关于x的方程有4个实数根
其中正确的结论个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 已知，则______.
10. 请写出一个开口向下，图象经过原点的二次函数表达式______.
11. 两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为______.
12. 20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果.如图，利用黄金分割法，所做EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，.已知AB为2米，则线段BE的长为______米.
第12题
13. 如图，抛物线的对称轴为，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标为______.
第13题
14. 点，为抛物线上两点，则______.（用“＜”或“＞”号连接）
15. 如图，中，，，，，则CD的长为______.
第15题
16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边OB，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点A的坐标为，点P在矩形ABOC的内部，点E在BO边上，且满足，当是等腰三角形时，点P的坐标为______.
第16题
三、解答题（本题共68分，第17-18题每题4分；第19-21题每题5分；第22-27题每题6分；第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 已知一条抛物线的顶点坐标为，且经过点，求抛物线的表达式.
18. 如图，的高AD，BE相交于点O.
（1）写出一个与相似的三角形（不添加其他线段），这个三角形是______；
（2）证明：
19. 已知抛物线.
（1）求抛物线的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标；
（2）在平面直角坐标系xOy中画出函数图象.
20. 小华同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树的高度.
21. 如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F.
（1）求证：；
（2）若，，求CF的长.
22. 已知二次函数在和时的函数值相等.
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N.当时，求b的值.
23. 已知：如图，中，AD平分，E是AD上一点，且.判断BE与BD的数量关系并证明.
24. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线.如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为.
（1）求绳子所对应的抛物线表达式；
（2）身高1.70m的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
25. 如图，在等腰三角形ABC中，，，D是BC边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使.
（1）求证：；
（2）设，，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围.
26. 某水果经销商以每公斤8元的价格购进一批葡萄，若按每公斤20元的价格销售，平均每天可售出60公斤.结合销售记录发现，若售价每降低1元，平均每天的销售量增加10公斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售.
（1）若每公斤降价2元，则每天的销售利润为______元；
（2）销售单价定为每公斤多少元时，每天销售该品种葡萄获得的利润w最大？最大利润是多少元？
27. 已知抛物线.
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
（2）点，在该抛物线上，若，求a的取值范围.
28. 定义：两个相似三角形共边且位于一个角的平分线两侧，则称这样的两个相似三角形为叠似三角形.
图1 图2 图3
（1）如图1，四边形ABCD中，对角线AC平分，，求证：和为叠似三角形；
（2）如图2，和为叠似三角形，若，，，求四边形ABCD的周长；
（3）如图3，在中，D是BC上一点，连结AD，点E在AD上，且，F为AC中点，且，若，，求的值.
通州区2023—2024学年第一学期九年级期中质量检测
数学参考答案
2023年11月
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 10. （答案不唯一） 11. 12.
13. 14. ＜ 15. 16. 或
三、解答题（本题共68分，第17—18题每题4分；第19—21题每题5分；第22—27题每题6分；第28题9分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线表达式为……1分
∵抛物线经过点，
∴将代入得：……2分
∴……3分
∴.……4分
18.（1）解：，，（写出一个即可）……1分
（2）
证明：∵的高AD，BE相交于点O，
∴……2分
∵……3分
∴……4分
19.（1）解：∵，∴，
∴抛物线的顶点坐标为……1分
令，则，抛物线与y轴交点为……2分
令，则，，抛物线与x轴交点为和.……4分
（2）……5分
20. 解：∵，
又∵，∴……2分
∴……3分
∵，，，
∴，∴……4分
∴.
答：树的高度是5.5米.……5分
21.（1）证明：∵矩形ABCD，∴，
∴……1分
又∵，
∴……2分
（2）∵矩形ABCD，∴，，
在中，，，
∴……3分
∵E是边AB的中点，∴，
∵，∴，
∴……4分
∴，∴，
∴.……5分
22. 解：（1）∵二次函数在和时函数值相等，
∴对称轴为直线.……2分
（2）∵过作x轴的平行线与二次函数的图象交于不同的两点M、N，
设点M在点N的左侧，
∵对称轴为直线，，
∴点M的坐标为，点N的坐标为……4分
∴，，
∴，.……6分
23. 猜想：……1分
证明：∵AD平分，∴……2分
∵，∴……3分
∴，……4分
∴……5分
∴……6分
24. 解：（1）根据题意，抛物线经过点，.
∴……1分
解得……2分
∴绳子所对应的抛物线表达式为：……3分
（2）身高1.70m的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶.
理由如下：
∵，
当时，……5分
∵，
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶.……6分
25.（1）证明：∵等腰三角形ABC中，，，
∴，，
∵，∴……1分
∵，
又∵，
∴……2分
∴……3分
（2）解：∵，∴……4分
∵，，∴……5分
∴……6分
26.（1）800元；……1分
（2）解：设销售单价定为每公斤x元，
据题意可得，
……3分
当时，利润w最大，此时，……5分
答：销售单价定为每公斤17元时，每天销售该品种葡萄获得的利润最大，最大利润是810元.……6分
27. 解：（1）∵抛物线，∴，
∴抛物线的顶点坐标为.……2分
（2）当时，抛物线开口向上，
①若点P、Q在对称轴异侧
∵，∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，
∴，∴，
又∵，∴此情况不成立……3分
②若点P、Q在对称轴同侧
当时，y随x的增大而增大
∵，∴……4分
当时，抛物线开口向下，
①若点P、Q在对称轴异侧
∵，∴点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离
∴，∴，
∴……5分
②若点P、Q在对称轴同侧
当时，y随x的增大而减小，
∵，∴与矛盾，
∵此情况不成立……6分
综上所述，或.
28.（1）证明：∵AC平分，∴，
∵，
又∵中，，
∴……1分
∴，
∴和为叠似三角形.……2分
（2）解：∵，∴，
∵和为叠似三角形，
∴，∴，
∴……3分
∵和为叠似三角形，
∴，
∴，，
∴，∴，
∵，，∴……4分
∴……5分
（3）解：延长EF至点M，使，连结CM.
∵F为AC中点，∴，
∵，∴……6分
∴，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴……7分
∴，
∵，，∴……8分
∴，即，
∴.……9分
注：方法不唯一，酌情给分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
B
A
D
A
C