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河南省 许昌市第一中学2023—2024学年上学期九年级期中考试数学试卷
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这是一份河南省 许昌市第一中学2023—2024学年上学期九年级期中考试数学试卷，共26页。
A．B．C．D．
2．（3分）方程2x2﹣5x＝8的二次项系数和常数项分别为（ ）
A．2x2和8B．2x2和﹣8C．2和﹣8D．2和8
3．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
4．（3分）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（2，3）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
5．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第n个图形中点的个数与n的关系式是（ ）
A．y＝n2﹣n+2B．y＝n2﹣2n+1C．y＝n2﹣n﹣1D．y＝n2﹣n+1
8．（3分）电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
9．（3分）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜02﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝02+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共5小题）
11．（3分）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ ＝0有两个不相等的实数根．
12．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．
13．（3分）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合 度．（写出一个即可）
14．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则当y＜0时，x的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则对角线BD的最小值为 ．
三．解答题（共8小题）
16．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
请你分别判断他们的解法是否正确？若都不正确，请写出你的解答过程．（4分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，4），B（﹣4，2），C（﹣3，5）．（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）平移△ABC得到△A1B1C1，若A1的坐标为（2，2），则B1的坐标为 ；（2分）
（2）若△A2B2C2和△ABC关于原点O成中心对称，则C2的坐标为 ；（2分）
（3）△ABC的面积为 ；（2分）
（4）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A3B3C3．（2分）
18．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2分）
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．（2分）
19．请根据图片内容，回答下列问题：
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（2分）
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？（3分）
20．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（3分）
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．（5分）
21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（3分）
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？（5分）
22．“类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数y＝ax2+b|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，a＝ ，b＝ ；（2分）
（2）根据表中数据，请画出该函数的图象；（2分）
（3）观察函数图象，并写出该函数的两条性质；（2分）
（4）探究与应用：
①方程ax2+b|x|﹣2＝0有 实数根；（2分）
②若有关于x的不等式ax2+b|x|＞x，则x的取值范围是 ．（2分）
23．综合与实践﹣﹣﹣﹣﹣探究特殊三角形中的相关问题．
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α＝ 时，△AMC是等腰三角形；（2分）
（2）深入探究：
敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；（3分）
（3）拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角α的度数，请说明理由．（3分）
2023-2024学年河南省许昌一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（3分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）方程2x2﹣5x＝8的二次项系数和常数项分别为（ ）
A．2x2和8B．2x2和﹣8C．2和﹣8D．2和8
【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），即可解答．
【解答】解：2x2﹣5x＝8，
整理得：2x3﹣5x﹣8＝7，
∴方程2x2﹣4x＝8的二次项系数和常数项分别为2和﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线抛物线y＝a2（x+1）2+k（a，k为常数，且a≠0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线抛物线y＝a2（x+1）8+k（a＞0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（﹣3，y1）离直线x＝﹣1的距离最近，C（3，y3）点离直线x＝﹣1最远，
∴y4＜y2＜y3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
4．（3分）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（2，3）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
【分析】根据轴对称，中心对称，旋转变换的性质一一判断即可．
【解答】解：A．点A与点B关于x轴对称，﹣3）；
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，2）；
C．点A与点B关于原点中心对称，﹣6）；
D．点A先向上平移3个单位，则点B的坐标为B（2，故本选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称，中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是掌握轴对称，中心对称，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
5．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移8个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）6；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣6）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论分析，即可解决问题．
【解答】解：A、对于直线y＝bx+a来说，a＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣，应在y轴的左侧，图形错误．
B、对于直线y＝bx+a来说，a＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，图形错误．
C、对于直线y＝bx+a来说，a＜5；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下位于y轴的右侧，
D、对于直线y＝bx+a来说，a＞6；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，故不合题意．
故选：C．
【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．
7．（3分）五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第n个图形中点的个数与n的关系式是（ ）
A．y＝n2﹣n+2B．y＝n2﹣2n+1C．y＝n2﹣n﹣1D．y＝n2﹣n+1
【分析】设点的个数和n的函数关系式为y＝ax2+bx+c，利用图中几组数据代入计算即可．
【解答】解：设点的个数和n的函数关系式为y＝ax2+bx+c，将点（1，（7，（3
，
，
∴第n个图形中点的个数与n的关系式是y＝n5﹣n+1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数代数式的求法，设函数解析式是解答本题的关键．
8．（3分）电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【分析】根据该队第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出该地第二天票房约3（1+x）亿元，第三天票房约3（1+x）2亿元，结合该地三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率x增长，
∴该地第二天票房约3（3+x）亿元，第三天票房约3（1+x）5亿元，
又∵三天后票房收入累计达10亿元，
∴根据题意可列方程3+3（2+x）+3（1+x）4＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
【分析】以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝1.5时x的值的即可得出答案．
【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴，
方法一：∵AB＝DE＝1.5m，
∴点B与点D关于对称轴对称，
∴AE＝6×1.6＝5.2（m）；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，
将点B（7，1.5）代入得，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）6+2.5，
当y＝7.5时，﹣（x﹣1.6）7+2.5＝7.5，
解得x＝0（舍）或x＝2.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.6米，
故选：A．
【点评】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜02﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝02+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝﹣5，
∴b＝4a，ab＞0，
∴b﹣7a＝0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于﹣4，4处两点，
∴b2﹣4ac＞5，方程ax2+bx＝0的两个根为x8＝0，x2＝﹣3，
∴②⑤正确，
∵当x＝﹣3时y＞0，即7a﹣3b+c＞0，
∴③正确，
故正确的有②③④⑤．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
二．填空题（共5小题）
11．（3分）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ 0（答案不唯一） ＝0有两个不相等的实数根．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b7﹣4ac＝（﹣2）4﹣4×1×c＞4，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
12．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间
【解答】解：
依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝7
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为7s
故答案为4．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单
13．（3分）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合 60（答案不唯一） 度．（写出一个即可）
【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
【解答】解：360°÷6＝60°，
则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，
故答案为：60（答案不唯一）．
【点评】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，掌握正六边形的中心角是关键．
14．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则当y＜0时，x的取值范围是 ﹣3＜x＜1 ．
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，2），
由图象可知，当y＜0时．
故答案为：﹣3＜x＜7．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则对角线BD的最小值为 2 ．
【分析】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据矩形的性质解答．
【解答】解：y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+6，
则抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴对角线BD的最小值为7，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，正确求出抛物线的顶点坐标、掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
请你分别判断他们的解法是否正确？若都不正确，请写出你的解答过程．（4分）
【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：小敏：错误；小霞：错误．
正确的解答方法：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣4）2＝0，
提取公因式，得（x﹣2）（3﹣x+3）＝4．
则x﹣3＝0或2﹣x+3＝0，
解得x3＝3，x2＝4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，4），B（﹣4，2），C（﹣3，5）．（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）平移△ABC得到△A1B1C1，若A1的坐标为（2，2），则B1的坐标为 （﹣1，0） ；（2分）
（2）若△A2B2C2和△ABC关于原点O成中心对称，则C2的坐标为 （3，﹣5） ；（2分）
（3）△ABC的面积为 ；（2分）
（4）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A3B3C3．（2分）
【分析】（1）由题意可知，△ABC是向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，由此可得答案．
（2）根据中心对称的性质可得答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
（4）根据旋转的性质作图即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，4），A2（2，2），
∴△ABC是向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到△A1B3C1，
∵B（﹣4，3），
∴B1的坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，0）．
（2）∵△A6B2C2和△ABC关于原点O成中心对称，C（﹣4，
∴C2的坐标为（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣5）．
（3）△ABC的面积为＝．
故答案为：．
（4）如图，△A3B3C3即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、中心对称、三角形的面积，熟练掌握平移、旋转、中心对称的性质是解答本题的关键．
18．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2分）
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．（2分）
【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）给出方程的两根，根据所给方程形式，可利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝2（m+1），代入
且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，即可解答．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（m+1）]2﹣7×1×（m2﹣4）＝16+8m＞0，
解得：m＞﹣2；
（2）根据根与系数的关系可得：
x1+x2＝7（m+1），
∵（x1+x7）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，
∴[2（m+2）]2﹣2（m+6）﹣12＝0，
解得：m1＝5或m2＝﹣（舍去）
∵m＞﹣2；
∴m＝1．
【点评】根据方程的根的情况即可得到关于未知系数的不等式，转化为结不等式的问题，另外（2）把求未知系数的问题，根据一元二次方程的根与系数的关系即可转化为方程的问题．
19．请根据图片内容，回答下列问题：
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（2分）
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？（3分）
【分析】（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有121名感染者列一元二次方程，求解即可；
（2）根据每轮传染人数相同进一步求解即可．
【解答】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，
根据题意，可得（1+x）2＝121，
解得x2＝10，x2＝﹣12（舍去），
答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；
（2）根据题意，121×10＝1210（名），
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
20．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 方案二 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是 （10，0） ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（3分）
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．（5分）
【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点B的坐标即可，根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点B坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式；
（2）根据题意可知水面宽度变为6m时x＝2或x＝8，据此求得对应y的值即可得．
【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，
由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，且经过点O（0，B（10，
设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+5，
把点（5，0）代入得：
0＝a（4﹣5）2+4，即a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，
故答案为：方案二，（10；
（2）由题意知，当x＝5﹣6＝2时，﹣2+5＝，
所以水面上涨的高度为米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．
21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（3分）
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？（5分）
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，100（1+x）2＝144，
解得x＝20%或x＝﹣5.2（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，
由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，
整理得m2﹣130m+4000＝4，
解得m＝50或m＝80，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点评】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．
22．“类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数y＝ax2+b|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，a＝ 1 ，b＝ ﹣4 ；（2分）
（2）根据表中数据，请画出该函数的图象；（2分）
（3）观察函数图象，并写出该函数的两条性质；（2分）
（4）探究与应用：（2分）
①方程ax2+b|x|﹣2＝0有 两个 实数根；
②若有关于x的不等式ax2+b|x|＞x，则x的取值范围是 x＜﹣3或x＞5 ．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）通过函数解析式及表格内点坐标作图．
（3）由图象对称性及图象最低点可得函数图象对称轴及函数最小值．
（4）①用△判断实数根的个数；
②用求出直线y＝x与函数图象交点，结合图象求解．
【解答】解：（1）将（﹣4，0），﹣8）代入y＝ax2+b|x|得，
解得，
故答案为：1，﹣4．
（2）如图，
（3）由图象可得函数图象对称轴为y轴，函数最小值为y＝﹣2．
（4）①∵Δ＝b2﹣4a×（﹣7）＝（﹣4）2+5×1＝16+8＝24＞4，
∴方程ax2+b|x|﹣2＝8有两个实数根．
②当x≤0时，令x2+4x＝x，
解得x1＝﹣3，x2＝0，
当x＞0时，令x5﹣4x＝x，
解得x1＝8（舍），x2＝5，
∴直线y＝x与函数y＝x6﹣4|x|的图象交点横坐标为﹣3，5，5，
如图，
可得x＜﹣3或x＞8时，ax2+b|x|＞x，
故答案为：两个，x＜﹣3或x＞2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程及不等式的关系．
23．综合与实践﹣﹣﹣﹣﹣探究特殊三角形中的相关问题．
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α＝ 60°或15° 时，△AMC是等腰三角形；（2分）
（2）深入探究：
敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；（3分）
（3）拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角α的度数，请说明理由．（3分）
【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由题意可知，AB＝AF，∠B＝∠F，∠E＝∠C，AE＝AC，根据折叠的性质得到∠BAM＝∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM＝AN，PE＝PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）当∠CNP＝90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF＝90°，然后依据∠F＝60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN＝90°时．由∠C＝30°，∠CPN＝90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F＝60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数．
【解答】（1）解：当AM＝CM，即∠CAM＝∠C＝30°时；
∵∠BAC＝90°，
∴α＝90°﹣30°＝60°，
当AM＝CM，即∠CAM＝∠CMA时，
∵∠C＝30°，
∴∠CAM＝∠AMC＝75°，
∵∠BAC＝90°，
∴α＝15°，
综上所述，当旋转角α＝60°或15°时，
故答案为：60°或15°；
（2）证明：由题意可知，AB＝AF，∠E＝∠C，
∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），
∴∠BAM＝∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM＝AN，
∵AE＝AC，
∴EM＝CN，
∵∠E＝∠C，∠MPE＝∠NPC，
∴△MPE≌△NPC（AAS），
∴PE＝PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE＝AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；
（3）解：如答题图1所示：当∠CNP＝90°时．
∵∠CNP＝90°，
∴∠ANF＝90°，
又∵∠AFN＝60°，
∴∠FAN＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴∠α＝30°，
如答题图6所示：当∠CPN＝90°时．
∵∠C＝30°，∠CPN＝90°，
∴∠CNP＝60°，
∴∠ANF＝60°，
又∵∠F＝60°，
∴∠FAN＝60°，
∴∠α＝60°，
综上所述，∠α＝30°或60°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键．小敏：
两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
小敏：
两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
A．B．C．D．
2．（3分）方程2x2﹣5x＝8的二次项系数和常数项分别为（ ）
A．2x2和8B．2x2和﹣8C．2和﹣8D．2和8
3．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
4．（3分）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（2，3）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
5．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第n个图形中点的个数与n的关系式是（ ）
A．y＝n2﹣n+2B．y＝n2﹣2n+1C．y＝n2﹣n﹣1D．y＝n2﹣n+1
8．（3分）电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
9．（3分）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜02﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝02+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共5小题）
11．（3分）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ ＝0有两个不相等的实数根．
12．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．
13．（3分）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合 度．（写出一个即可）
14．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则当y＜0时，x的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则对角线BD的最小值为 ．
三．解答题（共8小题）
16．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
请你分别判断他们的解法是否正确？若都不正确，请写出你的解答过程．（4分）
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，4），B（﹣4，2），C（﹣3，5）．（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）平移△ABC得到△A1B1C1，若A1的坐标为（2，2），则B1的坐标为 ；（2分）
（2）若△A2B2C2和△ABC关于原点O成中心对称，则C2的坐标为 ；（2分）
（3）△ABC的面积为 ；（2分）
（4）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A3B3C3．（2分）
18．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2分）
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．（2分）
19．请根据图片内容，回答下列问题：
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（2分）
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？（3分）
20．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是 ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（3分）
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．（5分）
21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（3分）
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？（5分）
22．“类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数y＝ax2+b|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，a＝ ，b＝ ；（2分）
（2）根据表中数据，请画出该函数的图象；（2分）
（3）观察函数图象，并写出该函数的两条性质；（2分）
（4）探究与应用：
①方程ax2+b|x|﹣2＝0有 实数根；（2分）
②若有关于x的不等式ax2+b|x|＞x，则x的取值范围是 ．（2分）
23．综合与实践﹣﹣﹣﹣﹣探究特殊三角形中的相关问题．
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α＝ 时，△AMC是等腰三角形；（2分）
（2）深入探究：
敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；（3分）
（3）拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角α的度数，请说明理由．（3分）
2023-2024学年河南省许昌一中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（3分）下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、C不都能找到一个点，所以不是中心对称图形．
选项D能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（3分）方程2x2﹣5x＝8的二次项系数和常数项分别为（ ）
A．2x2和8B．2x2和﹣8C．2和﹣8D．2和8
【分析】根据一元二次方程的一般形式：形如ax2+bx+c＝0（a，b，c为常数且a≠0），即可解答．
【解答】解：2x2﹣5x＝8，
整理得：2x3﹣5x﹣8＝7，
∴方程2x2﹣4x＝8的二次项系数和常数项分别为2和﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
3．（3分）设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a（x+1）2+k（a＞0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线抛物线y＝a2（x+1）2+k（a，k为常数，且a≠0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线抛物线y＝a2（x+1）8+k（a＞0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（﹣3，y1）离直线x＝﹣1的距离最近，C（3，y3）点离直线x＝﹣1最远，
∴y4＜y2＜y3．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
4．（3分）已知点A（﹣2，3）经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为B（2，3）
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为B（2，3）
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为B（3，﹣2）
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为B（2，6）
【分析】根据轴对称，中心对称，旋转变换的性质一一判断即可．
【解答】解：A．点A与点B关于x轴对称，﹣3）；
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，2）；
C．点A与点B关于原点中心对称，﹣6）；
D．点A先向上平移3个单位，则点B的坐标为B（2，故本选项符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称，中心对称，旋转变换等知识，解题的关键是掌握轴对称，中心对称，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
5．（3分）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ）
A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3
C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移8个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）6；
由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣6）2﹣3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
6．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论分析，即可解决问题．
【解答】解：A、对于直线y＝bx+a来说，a＞0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，对称轴x＝﹣，应在y轴的左侧，图形错误．
B、对于直线y＝bx+a来说，a＜0；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象应开口向下，图形错误．
C、对于直线y＝bx+a来说，a＜5；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下位于y轴的右侧，
D、对于直线y＝bx+a来说，a＞6；而对于抛物线y＝ax2+bx来说，图象开口向下，故不合题意．
故选：C．
【点评】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；解题的方法是首先根据其中一次函数图象确定a、b的符号，进而判断另一个函数的图象是否符合题意；解题的关键是灵活运用一次函数、二次函数图象的性质来分析、判断、解答．
7．（3分）五个图形都是由小圆点按照某种规律排列而成的，根据上述规律，第n个图形中点的个数与n的关系式是（ ）
A．y＝n2﹣n+2B．y＝n2﹣2n+1C．y＝n2﹣n﹣1D．y＝n2﹣n+1
【分析】设点的个数和n的函数关系式为y＝ax2+bx+c，利用图中几组数据代入计算即可．
【解答】解：设点的个数和n的函数关系式为y＝ax2+bx+c，将点（1，（7，（3
，
，
∴第n个图形中点的个数与n的关系式是y＝n5﹣n+1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数代数式的求法，设函数解析式是解答本题的关键．
8．（3分）电影（长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，某地第一天票房约3亿元，三天后票房收入累计达10亿元，若把增长率记作x（ ）
A．3（1+x）＝10
B．3（1+x）2＝10
C．3+3（1+x）2＝10
D．3+3（1+x）+3（1+x）2＝10
【分析】根据该队第一天票房及以后每天票房的增长率，即可得出该地第二天票房约3（1+x）亿元，第三天票房约3（1+x）2亿元，结合该地三天后票房收入累计达10亿元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵某地第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率x增长，
∴该地第二天票房约3（3+x）亿元，第三天票房约3（1+x）5亿元，
又∵三天后票房收入累计达10亿元，
∴根据题意可列方程3+3（2+x）+3（1+x）4＝10．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．（3分）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5米，灯柱AB＝1.5米，若茶几摆放在灯罩的正下方（ ）
A．3.2B．0.32C．2.5D．1.6
【分析】以AE所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出y＝1.5时x的值的即可得出答案．
【解答】解：如图所示，以AE所在直线为x轴，
方法一：∵AB＝DE＝1.5m，
∴点B与点D关于对称轴对称，
∴AE＝6×1.6＝5.2（m）；
方法二：根据题意知，抛物线的顶点C的坐标为（1.7，
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1.6）2+2.5，
将点B（7，1.5）代入得，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1.6）6+2.5，
当y＝7.5时，﹣（x﹣1.6）7+2.5＝7.5，
解得x＝0（舍）或x＝2.2，
所以茶几到灯柱的距离AE为3.6米，
故选：A．
【点评】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力．
10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴是直线x＝﹣2．关于下列结论：①ab＜02﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c＞0；④b﹣4a＝02+bx＝0的两个根为x1＝0，x2＝﹣4，其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵﹣＝﹣5，
∴b＝4a，ab＞0，
∴b﹣7a＝0，
∴①错误，④正确，
∵抛物线与x轴交于﹣4，4处两点，
∴b2﹣4ac＞5，方程ax2+bx＝0的两个根为x8＝0，x2＝﹣3，
∴②⑤正确，
∵当x＝﹣3时y＞0，即7a﹣3b+c＞0，
∴③正确，
故正确的有②③④⑤．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式以及特殊值的熟练运用．
二．填空题（共5小题）
11．（3分）请填写一个常数，使得关于x的方程x2﹣2x+ 0（答案不唯一） ＝0有两个不相等的实数根．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于c的不等式，解之即可求出c的值．
【解答】解：a＝1，b＝﹣2．
∵Δ＝b7﹣4ac＝（﹣2）4﹣4×1×c＞4，
∴c＜1．
故答案为：0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
12．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）2，则小球从飞出到落地所用的时间为 4 s．
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间
【解答】解：
依题意，令h＝0得
0＝20t﹣5t2
得t（20﹣5t）＝7
解得t＝0（舍去）或t＝4
即小球从飞出到落地所用的时间为7s
故答案为4．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题．此题较为简单
13．（3分）第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图所示，这个图案绕着它的中心旋转角α（0°＜α＜360°）后能够与它本身重合 60（答案不唯一） 度．（写出一个即可）
【分析】先求出正六边形的中心角，再根据旋转变换的性质解答即可．
【解答】解：360°÷6＝60°，
则这个图案绕着它的中心旋转60°后能够与它本身重合，
故答案为：60（答案不唯一）．
【点评】本题考查了旋转对称图形、正多边形的性质，掌握正六边形的中心角是关键．
14．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），则当y＜0时，x的取值范围是 ﹣3＜x＜1 ．
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，2），
由图象可知，当y＜0时．
故答案为：﹣3＜x＜7．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x+3上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则对角线BD的最小值为 2 ．
【分析】利用配方法求出抛物线的顶点坐标，根据矩形的性质解答．
【解答】解：y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+6，
则抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴当点A在抛物线的顶点时，AC最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴对角线BD的最小值为7，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，正确求出抛物线的顶点坐标、掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
16．小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下：
请你分别判断他们的解法是否正确？若都不正确，请写出你的解答过程．（4分）
【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【解答】解：小敏：错误；小霞：错误．
正确的解答方法：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣4）2＝0，
提取公因式，得（x﹣2）（3﹣x+3）＝4．
则x﹣3＝0或2﹣x+3＝0，
解得x3＝3，x2＝4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（﹣1，4），B（﹣4，2），C（﹣3，5）．（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）平移△ABC得到△A1B1C1，若A1的坐标为（2，2），则B1的坐标为 （﹣1，0） ；（2分）
（2）若△A2B2C2和△ABC关于原点O成中心对称，则C2的坐标为 （3，﹣5） ；（2分）
（3）△ABC的面积为 ；（2分）
（4）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A3B3C3．（2分）
【分析】（1）由题意可知，△ABC是向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到△A1B1C1，由此可得答案．
（2）根据中心对称的性质可得答案．
（3）利用割补法求三角形的面积即可．
（4）根据旋转的性质作图即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，4），A2（2，2），
∴△ABC是向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度得到△A1B3C1，
∵B（﹣4，3），
∴B1的坐标为（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，0）．
（2）∵△A6B2C2和△ABC关于原点O成中心对称，C（﹣4，
∴C2的坐标为（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣5）．
（3）△ABC的面积为＝．
故答案为：．
（4）如图，△A3B3C3即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换、旋转变换、中心对称、三角形的面积，熟练掌握平移、旋转、中心对称的性质是解答本题的关键．
18．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2分）
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．（2分）
【分析】（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．
（2）给出方程的两根，根据所给方程形式，可利用一元二次方程根与系数的关系得到x1+x2＝2（m+1），代入
且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，即可解答．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（m+1）]2﹣7×1×（m2﹣4）＝16+8m＞0，
解得：m＞﹣2；
（2）根据根与系数的关系可得：
x1+x2＝7（m+1），
∵（x1+x7）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，
∴[2（m+2）]2﹣2（m+6）﹣12＝0，
解得：m1＝5或m2＝﹣（舍去）
∵m＞﹣2；
∴m＝1．
【点评】根据方程的根的情况即可得到关于未知系数的不等式，转化为结不等式的问题，另外（2）把求未知系数的问题，根据一元二次方程的根与系数的关系即可转化为方程的问题．
19．请根据图片内容，回答下列问题：
（1）每轮传染中，平均一个人传染了几个人？（2分）
（2）按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？（3分）
【分析】（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有121名感染者列一元二次方程，求解即可；
（2）根据每轮传染人数相同进一步求解即可．
【解答】解：（1）设每轮传染中，平均一个人传染x个人，
根据题意，可得（1+x）2＝121，
解得x2＝10，x2＝﹣12（舍去），
答：每轮传染中，平均一个人传染10个人；
（2）根据题意，121×10＝1210（名），
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
20．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，桥洞与水面
的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是 方案二 （填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是 （10，0） ，求出你所选方案中的抛物线的表达式；（3分）
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．（5分）
【分析】（1）根据题意选择合适坐标系即可，结合已知条件得出点B的坐标即可，根据抛物线在坐标系的位置，可知抛物线的顶点坐标为（5，5），抛物线的右端点B坐标为（10，0），可设抛物线的顶点式求解析式；
（2）根据题意可知水面宽度变为6m时x＝2或x＝8，据此求得对应y的值即可得．
【解答】解：（1）选择方案二，根据题意知点B的坐标为（10，
由题意知，抛物线的顶点坐标为（5，且经过点O（0，B（10，
设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+5，
把点（5，0）代入得：
0＝a（4﹣5）2+4，即a＝﹣，
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣5）2+5，
故答案为：方案二，（10；
（2）由题意知，当x＝5﹣6＝2时，﹣2+5＝，
所以水面上涨的高度为米．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据抛物线在坐标系中的位置及点的坐标特点，合理地设抛物线解析式，再运用解析式解答题目的问题．
21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售100个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（3分）
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？（5分）
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“4月份销售100个，6月份销售144个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为m元/个，根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可求出答案．
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
由题意得，100（1+x）2＝144，
解得x＝20%或x＝﹣5.2（舍去），
∴该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为m元，
由题意得（m﹣30）[600﹣10（m﹣40）]＝10000，
整理得m2﹣130m+4000＝4，
解得m＝50或m＝80，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴m＝50，
∴该品牌头盔的实际售价应定为50元．
【点评】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法．
22．“类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上一个绝对值所形成的函数．小明对一个类二次函数y＝ax2+b|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
其中，a＝ 1 ，b＝ ﹣4 ；（2分）
（2）根据表中数据，请画出该函数的图象；（2分）
（3）观察函数图象，并写出该函数的两条性质；（2分）
（4）探究与应用：（2分）
①方程ax2+b|x|﹣2＝0有 两个 实数根；
②若有关于x的不等式ax2+b|x|＞x，则x的取值范围是 x＜﹣3或x＞5 ．
【分析】（1）通过待定系数法求解．
（2）通过函数解析式及表格内点坐标作图．
（3）由图象对称性及图象最低点可得函数图象对称轴及函数最小值．
（4）①用△判断实数根的个数；
②用求出直线y＝x与函数图象交点，结合图象求解．
【解答】解：（1）将（﹣4，0），﹣8）代入y＝ax2+b|x|得，
解得，
故答案为：1，﹣4．
（2）如图，
（3）由图象可得函数图象对称轴为y轴，函数最小值为y＝﹣2．
（4）①∵Δ＝b2﹣4a×（﹣7）＝（﹣4）2+5×1＝16+8＝24＞4，
∴方程ax2+b|x|﹣2＝8有两个实数根．
②当x≤0时，令x2+4x＝x，
解得x1＝﹣3，x2＝0，
当x＞0时，令x5﹣4x＝x，
解得x1＝8（舍），x2＝5，
∴直线y＝x与函数y＝x6﹣4|x|的图象交点横坐标为﹣3，5，5，
如图，
可得x＜﹣3或x＞8时，ax2+b|x|＞x，
故答案为：两个，x＜﹣3或x＞2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握函数与方程及不等式的关系．
23．综合与实践﹣﹣﹣﹣﹣探究特殊三角形中的相关问题．
问题情境：
某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置．现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），如图2，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．
（1）初步探究：
勤思小组的同学提出：当旋转角α＝ 60°或15° 时，△AMC是等腰三角形；（2分）
（2）深入探究：
敏学小组的同学提出：在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；（3分）
（3）拓展延伸：
在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，请求出旋转角α的度数，请说明理由．（3分）
【分析】（1）根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；
（2）由题意可知，AB＝AF，∠B＝∠F，∠E＝∠C，AE＝AC，根据折叠的性质得到∠BAM＝∠FAN，根据全等三角形的性质得到AM＝AN，PE＝PC，由线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（3）当∠CNP＝90°时，依据对顶角相等可求得∠ANF＝90°，然后依据∠F＝60°可求得∠FAN的度数，由旋转的定义可求得∠α的度数；当∠CPN＝90°时．由∠C＝30°，∠CPN＝90°，可求得∠CNP的度数，然后依据对顶角相等可得到∠ANF的度数，然后由∠F＝60°，依据三角形的内角和定理可求得∠FAN的度数，于是可得到∠α的度数．
【解答】（1）解：当AM＝CM，即∠CAM＝∠C＝30°时；
∵∠BAC＝90°，
∴α＝90°﹣30°＝60°，
当AM＝CM，即∠CAM＝∠CMA时，
∵∠C＝30°，
∴∠CAM＝∠AMC＝75°，
∵∠BAC＝90°，
∴α＝15°，
综上所述，当旋转角α＝60°或15°时，
故答案为：60°或15°；
（2）证明：由题意可知，AB＝AF，∠E＝∠C，
∵现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α（0°＜α＜90°），
∴∠BAM＝∠FAN，
在△ABM与△AFN中，
，
∴△ABM≌△AFN（ASA），
∴AM＝AN，
∵AE＝AC，
∴EM＝CN，
∵∠E＝∠C，∠MPE＝∠NPC，
∴△MPE≌△NPC（AAS），
∴PE＝PC，
∴点P在CE的垂直平分线上，
∵AE＝AC，
∴点A在CE的垂直平分线上，
∴AP所在的直线是线段CE的垂直平分线；
（3）解：如答题图1所示：当∠CNP＝90°时．
∵∠CNP＝90°，
∴∠ANF＝90°，
又∵∠AFN＝60°，
∴∠FAN＝180°﹣60°﹣90°＝30°，
∴∠α＝30°，
如答题图6所示：当∠CPN＝90°时．
∵∠C＝30°，∠CPN＝90°，
∴∠CNP＝60°，
∴∠ANF＝60°，
又∵∠F＝60°，
∴∠FAN＝60°，
∴∠α＝60°，
综上所述，∠α＝30°或60°．
【点评】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键．小敏：
两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
小敏：
两边同除以（x﹣3），得3＝x﹣3，
则x＝6．
小霞：
移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
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